函数模型的应用课件-2025届高三数学一轮复习

第二章函数的概念与性质第11课时函数模型的应用考试要求了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.链接教材夯基固本第11课时函数模型的应用1．指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调____单调____单调递增增长速度越来____越来____相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与____平行随x的增大逐渐表现为与____平行随n值变化而各有不同递增递增越快越慢y轴x轴2．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． (

)(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度． (

)(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． (

)×√×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(

)A．y＝2x

B．y＝lgx

C．y＝x2

D．y＝2xD

[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．]2．(人教A版必修第一册P148例3改编)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．现有如下4个模拟函数：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．④

[由题图可知，上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．]④

1506904．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/千米，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/千米定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是_______________________．

典例精研核心考点第11课时函数模型的应用考点一用函数图象刻画实际问题[典例1]

(1)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(

)A

B

C

D

【教师备选资源】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(

)D

[依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．]A

BC

D名师点评

判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．

②

考点二已知函数模型的实际问题[典例2]

(2023·福建漳州三模)英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过tmin物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90℃的物体，若放在10℃的空气中冷却，经过10min物体的温度为50℃，则若使物体的温度为20℃，需要冷却(

)A．17.5min

B．25.5min

C．30min

D．32.5min

名师点评

已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．

名师点评构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤[跟进训练]3．(2024·东北师大附中模拟)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某