函数的零点与方程的解课件-2025届高三数学一轮复习

第二章函数的概念与性质第10课时函数的零点与方程的解考试要求理解函数的零点与方程的解的联系.了解用二分法求方程的近似解．理解函数零点存在定理，并能简单应用.链接教材夯基固本第10课时函数的零点与方程的解1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有____⇔函数y＝f(x)的图象与___有公共点．f(x)＝0零点x轴(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有_________，那么，函数y＝f(x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．提醒：函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．二分法对于在区间[a，b]上图象________且__________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．连续不断f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0连续不断f(a)f(b)<0零点[常用结论]1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (

)(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0． (

)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点． (

)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． (

)××××243题号1二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(

)A

B

C

DA

[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．]2．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(

)A．(1，2)

B．(2，3)C．(5，6)

D．(5，7)BCD

[由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，∴函数f(x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)，(5，7)．故选BCD.]243题号1x1234567f(x)－4－2142－1－3

243题号1

243题号1

－2，e典例精研核心考点第10课时函数的零点与方程的解

读想算思函数零点所在区间的判断问题定理法等价转化、数形结合图象法画y＝2x和y＝－log2x的图象

名师点评

确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．[跟进训练]1．(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

)A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．2(1)A

(2)2

[(1)函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0．所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．(2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝loga

x，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.]

名师点评

求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．

6①②④

[－1，＋∞)

名师点评

已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

[－1，＋∞)第三步：数形结合当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．第四步：归纳总结综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．[答案]

[