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课时规范练48数列中的增项、减项问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI202512341.(2024·山东泰安模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,满足a1=b2=2,S5=30,b4+2是b3与b5的等差中项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)从数列{an}中去掉数列{bn}的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn},设数列{cn}的前n项和为Tn,求T60.1234解

(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.∵a1=2,S5=10+

=30,∴d=2,∴an=2+2(n-1)=2n.∵b4+2是b3与b5的等差中项,∴2(b4+2)=b3+b5.又b2=2,∴2(2q2+2)=2q+2q3,解得q=2,∴bn=2n-1.(2)∵a60=120,∴数列{an}的前60项中与数列{bn}的公共项共有6项,且最大公共项为b7=26=64.又a66=132,b8=27=128,1234(1)求{an}的通项公式;(2)在{an}相邻两项的中间插入这两项的等差中项,求所得新数列{bn}的前2n项和T2n.123412343.(2024·天津耀华中学模拟节选)设数列{an}的前n项和为Sn=(n-1)2n+1+2,n∈N*.(1)求{an}的通项公式;1234(1)解

由Sn=(n-1)2n+1+2,得Sn-1=(n-2)2n+2(n≥2),两式相减得an=n·2n,n≥2.当n=1时,a1=2满足上式,所以an=n·2n.(2)证明

由(1)知,bn==2n,所以数列{cn}为22,23,25,26,28,29,…,它的奇数项组成以4为首项,8为公比的等比数列;偶数项组成以8为首项,8为公比的等比数列.∴当n为奇数,即n=2k-1(k∈N*)时,12344.(2024·辽宁丹东模拟)Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn=3-an-n2.(1)证明:an=3-2n;(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1之间插入数列{(n+1)2n}的前k项,使它们和原数列的项构成一个新的数列a1,2×21,a2,2×21,3×22,a3,2×21,3×22,4×23,a4,…,求这个新数列的前50项和.1234(1)证明

由S1=3-a1-1,得a1=1.由Sn=3-an-n2,可知Sn+1=3-an+1-(n+1)2.两式相减得2an+1=an-2n-1,所以an+1+2n-1=(a

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