第十一章　磁场 第58课时　磁场中的动态圆模型　重难突破课

第58课时磁场中的动态圆模型[重难突破课]CONTENTS着眼“四翼”·探考点题型规律方法聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用01着眼“四翼”·探考点题型规律方法模型解读“平移

圆”模型

（1）条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相

同，入射点不同但在同一直线上。（2）特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相

同，而且圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平

行。（3）用法：将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进

行平移，从而探索粒子运动的有关临界问题模型一

有界匀强磁场中的三类“动态圆”模型模型解读“放缩

圆”模型

（1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射

速度的方向一定，但大小不同。（2）特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定

位于沿着粒子在入射点所受洛伦兹力方向的射线上，速

度越大，半径越大，圆心离入射点越远。（3）用法：用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆

的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题模型解读“旋转

圆”模型

（1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射

速度的大小一定，但方向不同。（2）特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相

同，其轨迹圆的圆心在以入射点为圆心，半径等于轨迹

圆半径的圆周上。（3）用法：将半径相同的轨迹圆以入射点为圆心旋转，

从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题考法一

“平移圆”模型【典例1】

（多选）如下图所示，在等腰直角三角形ABC内充满着磁

感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。

一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁

场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速

度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确

的是（

）D.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变

答案：20cm

模型二

磁聚焦和磁发散模型磁发散磁聚焦带电粒子从圆形有界匀强磁场

边界上同一点射入，如果轨迹

半径与磁场半径相等，则粒子

出射方向与磁场圆上过入射点

的切线方向平行带电粒子平行射入圆形有界匀强磁

场，如果轨迹半径与磁场半径相等，

则粒子从磁场边界上同一点射出，磁

场圆上过该点的切线与入射方向平行

【典例4】

（多选）如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（

）A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长

（2021·湖南高考13题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制

备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为m、电荷量为＋

q）以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。

对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。（1）如图（a），宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0，r1）、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；

（2）如图（a），虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C

（0，－r2）。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，

使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴

正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁

场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；

（3）如图（b），虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。

02聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用

1234567B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域1234567

12345672.（多选）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd

区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用

下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后

刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成

30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是

（

）12345671234567

1234567

12345671234567

1234567模型二

磁聚焦和磁发散模型4.（多选）如图所示，扇形区域AOB内存在有垂直平面向里的匀强磁

场，扇形的两条半径OA和OB互相垂直，一个带电粒子从A点沿AO

方向进入磁场，从B点离开，若该粒子以同样的速度从C点平行于

AO方向进入磁场，则（

）A.粒子带正电B.C点越靠近B点，粒子偏转角度越大C.C点越远离B点，粒子运动时间越短D.只要C点在AB之间，粒子仍然从B点离开磁场1234567解析：

由题意，粒子从A点进入磁场从B点离开，由左手定则可以确定粒子带正电，故A正确；由题意知当粒子从A点入射时，从B点离开磁场，则粒子做圆周运动的半径等于磁场圆弧区域的半径，根据磁聚焦的原理（一束平行的带电粒子射向半径与粒子做圆周运动的半径相同的圆形磁场区域时，1234567这些粒子将从同一点射出圆形磁场，这种平行粒子束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦现象十分相似，因此叫磁聚焦），当入射方向平行时，这些粒子将从同一点射出，如图所示，从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场，则这些粒子从同一点B点射出，从图中看出，C点越靠近B点，偏转角越小，时间越短，离B点越远，偏转角越大，时间越长，故D正确，B、C错误。12345675.电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象

限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。现在某一

区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，

若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平

行，求：（1）荧光屏上光斑的长度；

1234567

1234567（2）所加磁场范围的最小面积。

1234567

6.（2020·浙江7月选考23题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。1234567（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点

的距离s；

已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。1234567

1234567（2）求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax；

（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平

均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系。答案：见解析1234567

1234567

1234567

1234567（2）经磁场偏转后，穿过OP射线的粒子中，