第四章　曲线运动 第21课时　平抛运动的综合问题　重难突破课

第21课时平抛运动的综合问题[重难突破课]CONTENTS02着眼“四翼”·探考点题型规律方法聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用0101着眼“四翼”·探考点题型规律方法

题型一

与斜面相关联的平抛运动

模型

方法分解速度，构建速

度矢量三角形，找

到斜面倾角θ与速度

方向的关系分解速度，构

建速度的矢量

三角形分解位移，构建位移矢

量三角形，隐含条件：

斜面倾角θ等于位移与

水平方向的夹角基本

规律【典例1】

如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球分别落在斜面上的A、B点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是（

）A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1B.甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ∶1C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tanθ∶1D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之

比为2tan2θ∶1

1.【顺着斜面的平抛运动】如图，在倾角为α的斜面顶端，将小球以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x，忽略空气阻力，则下列图像正确的是（

）

2.【对着斜面的平抛运动】

题型二

与曲面相关联的平抛运动运动情景物理量分析

运动情景物理量分析

小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ

垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等A.v1＜v2B.t1＜t2C.小球落到D点时，速度方向可能垂直于圆弧D.小球落到C点时，速度与水平方向的夹角一定大于45°【典例2】

（多选）如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两点A、

B与圆心O等高且在同一竖直平面内，在圆边缘A点将一小球以速度v1

水平抛出，小球落到C点，运动时间为t1，第二次从A点以速度v2水平

抛出，小球落到D点，运动时间为t2，不计空气阻力，则（

）

如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方

向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点

的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，

则A、B之间的水平距离为（

）

题型三

平抛运动中的临界极值问题1.常见的“临界术语”（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时

间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在临界点。（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明

题述的过程中存在着极值。2.平抛运动临界、极值问题的分析方法（1）确定研究对象的运动性质；（2）根据题意确定临界状态；（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。【典例3】

如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球。台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L。某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h'，调整v0为v0'，下列判断正确的是（

）A.h'的最大值为2hB.

h'的最小值为2h

1.【平抛运动的临界问题】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，竖直墙的厚度d

＝0.4

m，某人在距离墙壁L＝1.4m、距窗子上沿h

＝0.2m处的

P点，将

可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件

能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10m/s2。

则可以实现上述要求的速度大小是（

）A.2m/sB.4m/sC.8m/sD.10m/s

2.【平抛运动的极值问题】某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到

0.8m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2m，右端出口水平。

现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最

远，右端出口距离桌面的高度应设计为（

）A.0B.0.1mC.0.2mD.0.3m

03聚焦“素养”·提能力巧学妙解应用

题型一

与斜面相关的平抛运动1.（2022·广东高考3题）如图是滑雪道的示意图。可

视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑

下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（

）1234567891011解析：

根据题述可知，运动员在斜坡上由静止滑下做加速度小

于g的匀加速运动，在NP段做匀速直线运动，从P飞出后做平抛运

动，加速度大小为g，速度方向时刻改变、大小不均匀增大，所以

只有图像C正确。12345678910112.如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面

的位移最小，则飞行时间t为（重力加速度为g）（

）A.t＝v0tanθ

12345678910113.（多选）小兰和小亮周末去爬山，在一个倾角为α＝37°的山坡上玩

抛石块。如图所示，小兰爬上紧挨山坡底端的一棵树，从树上Q点

朝着山坡水平抛出一个石块甲，石块甲正好垂直打在山坡中点P；

小亮在山坡顶端的A点水平抛出一个石块乙，石块乙也落在P点。已

知山坡长度AC＝L，重力加速度为g，sin37°＝0.6，不计空气阻

力，则下列说法正确的是（

）A.石块甲的抛出点Q一定比A点高D.若两石块同时抛出，则他们一定同时击中P点1234567891011

1234567891011题型二

与曲面相关联的平抛运动4.（多选）如图所示，竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，AB为沿

水平方向的直径。一物体在A点以向右的水平初速度vA抛出，与此

同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，两物体都落到容

器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计

空气阻力，下列说法正确的是（

）A.B比A先到达P点B.两物体一定同时到达P点C.抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9D.抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶11234567891011

12345678910115.（多选）如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方P点，

将一个小球以速度v0沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，小球飞行

一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得该截面的圆

心O与Q点的连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球从P运动到Q所用

的时间是（

）1234567891011

1234567891011题型三

平抛运动中的临界极值问题6.如图所示，排球比赛中，某队员在距网水平距离为4.8m、距地面

3.2m高处将排球沿垂直网的方向以16m/s的速度水平击出。已知网

高2.24m，排球场地长18m，重力加速度g取10m/s2，可将排球视

为质点，下列判断正确的是（

）A.球不能过网B.球落在对方场地内C.球落在对方场地底线上D.球落在对方场地底线之外1234567891011

12345678910117.（多选）康杰中学举办的“学雷锋集爱心”义卖活

动中，有班级设置了套圈游戏，如图所示。某同学

从距水平地面高度1m处水平抛出一个半径为0.1m

的圆环，套前方地面上的水杯，假设圆环运动过

程始终保持水平，圆环中心到水杯的水平距离为

3.0m，水杯高度为0.2m，水杯大小忽略不计。重力加速度g＝10m/s2（忽略空气阻力），要想套住水杯，圆环刚抛出时的速度可能是（

）A.7.6m/sB.7.7m/sC.7.8m/sD.7.9m/s1234567891011

12345678910118.如图，倾角θ＝30°的斜面体ABC固定在水平面上，斜面AC长为L，

在斜面中点D处立有一根竖直的细杆，从斜面顶端A点水平抛出一

个小球，小球刚好能越过竖直细杆并落在斜面的底端C。不计空气

阻力，小球可视为质点，则细杆的长度为（

）1234567891011

1234567891011

9.如图所示，a、b两小球分别从半径大小为R的半圆轨道顶端和斜面

顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜

面竖直高度相等，斜面斜边长是其竖直高度的2倍，a、b均可视为

质点，结果a、b两球同时分别落在半圆轨道和斜面上，则小球的初

速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（

）1234567891011

123456789101110.（多选）主题口号为“一起向未来”的2022年北京冬奥会圆满落

幕。跳台滑雪比赛在河北张家口举行，如图，跳台滑雪赛道由助

滑道AB、着陆坡CD、停止区DE三部分组成。比赛中，甲、乙两

运动员先后以速度v1、v2从C点正上方B处沿水平方向飞出，分别

落在了着陆坡的中点P和末端D，运动员可看成质点，不计空气阻

力，着陆坡的倾角为θ，重力加速度为g，则（

）1234567891011B.v1、v2的大小关系为v2＝2v1C.甲、乙两运动员落到着陆坡前瞬间速度方向相同D.甲运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙的大1234567891011

1234567891011设甲、乙两运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向夹角分别为α1和α2，位移方向与水平方向成β1和β2，根据平抛运动推论可知tanα1＝2tanβ1，tanα2＝2tanβ