第八章　机械振动与机械波第40课时　机械振动　双基落实课教师用

第40课时机械振动[双基落实课]（人教版选择性必修第一册第37页“做一做”）如图，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动。判断下列说法正误：（1）钢球在O点时受到弹簧弹力和重力作用，二者平衡，故O点是钢球的平衡位置。（√）（2）自释放点开始计时，钢球在t时刻的位移是x＝Asin2πTt＋π2（3）若将此钢球与细线组成单摆让其做简谐运动，则钢球在最低点时回复力为零，合力也为零。（×）（4）若该系统在周期性驱动力的作用下振动，一定发生共振现象。（×）考点一简谐运动的规律[互动共研类]简谐运动的五个特征受力特征回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T对称性特征关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等【典例1】一个小物块拴在一个轻弹簧上，并将弹簧和小物块竖直悬挂处于静止状态，以此时小物块所处位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立Ox轴，如图所示。先将小物块竖直向上托起使弹簧处于原长，然后将小物块由静止释放并开始计时，经过π10s，小物块向下运动20cm第一次到达最低点，已知小物块在竖直方向做简谐运动，重力加速度g＝10m/s2，忽略小物块受到的阻力，下列说法正确的是（A.小物块的振动方程为x＝0.1sin10tB.小物块的最大加速度为2gC.小物块的最大速度为2m/sD.小物块在0～13π30s答案：D解析：由对称性可知弹簧振子的振幅为A＝10cm，弹簧振子的振动周期为T＝π5s，则ω＝2πT＝10rad/s，小物块运动的初始位置为负的最大位移处，所以小物块的振动方程为x＝0.1sin10t＋32πm，选项A错误；根据简谐运动的对称性，小物块在最高点和最低点时的加速度最大，根据牛顿第二定律可得小物块最大加速度为g，选项B错误；小物块在平衡位置时的速度最大，若仅有重力势能和动能的转化，有mgΔx＝12mv2，解得速度v＝2m/s，由于弹簧有弹性势能，所以最大速度不是2m/s，选项C错误；13π30s为216个周期，根据x＝0.1sin10t＋32πm可得小物块16个周期的位移x＝0.05m1.【简谐运动中各物理量的变化分析】真空中有一点P与微粒Q，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力，则下列情况有可能发生的是（）A.速度增大，加速度增大B.速度增大，加速度减小C.速度增大，加速度不变D.速度减小，加速度不变解析：B由题意知，Q在运动中受到指向P且大小与离开P的位移成正比的回复力，即F＝－kx，则说明微粒Q以P为平衡位置做简谐振动，则微粒Q靠近平衡位置可能出现速度增大，加速度减小，故选B。2.【简谐运动的周期性与对称性】一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当t＝0时刻，振子经过O点，t1＝0.4s时，第一次到达M点，t2＝0.5s时振子第二次到达M点，则弹簧振子的周期可能为（）A.0.6s B.1.2sC.2.0s D.2.6s解析：A若振子按下面图示路线从O点开始向右振动，则振子的振动周期为T1＝4×0.4+0.若振子按下面图示路线从O点开始向左振动，M1为与M点关于平衡位置O的对称位置，则振子的振动周期为T2＝4×（0.4－故B、C、D错误，A正确。考点二简谐运动的图像[素养自修类]1.【简谐运动图像的理解】如图甲所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，以振子从A点开始运动的时刻作为计时起点，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（）A.t＝0.4s时，振子的速度方向向左B.t＝0.8s时，振子的加速度方向向右C.t＝0.8s到t＝1.2s的时间内，振子的回复力逐渐增大D.t＝1.2s到t＝1.6s的时间内，振子的动能逐渐减小解析：D由振动图像可知t＝0.4s时，振子由平衡位置向正方向运动，说明振子的速度方向向右，故A错误；由振动图像可知，t＝0.8s时，振子在正向最大位移处，所以振子的加速度方向向左，故B错误；t＝0.8s到t＝1.2s的时间内，振子从最大位移处往平衡位置运动，所以振子的回复力逐渐减小，故C错误；t＝1.2s到t＝1.6s的时间内，振子从平衡位置往最大位移处运动，振子的速度逐渐减小，振子的动能逐渐减小，故D正确。2.【两个简谐运动图像的比较】劲度系数相同的两根弹簧分别与甲、乙两个小钢球组成弹簧振子，让两弹簧振子各自在水平面内做简谐运动，某时刻开始计时，两者的振动图像如图所示。已知弹簧振子的振动周期T＝2πmk，其中m为振子质量、k为弹簧劲度系数，下列说法正确的是（A.甲球质量小于乙球质量B.甲球的加速度始终大于乙球的加速度C.t＝0.15s时，弹簧对甲小球的作用力大于弹簧对乙小球的作用力D.两个小球分别经过平衡位置时的动能相等解析：C由图像知，甲、乙周期相同，均为0.4s，由T＝2πmk知，两个小球质量相同，A错误；甲、乙都做简谐振动，由图像可知，甲、乙的振动不是同步的，因此甲球的加速度不可能始终大于乙球的加速度，B错误；对甲有x甲＝2cosω甲t＝2cos5πt（cm），对乙有x乙＝－sinω乙t＝－sin5πt（cm），t＝0.15s时，则有x甲＝2cosω甲t＝2cos5π×0.15（cm）＝－2cm，x乙＝－sinω乙t＝－sin（5π×0.15）（cm）＝－22cm，弹簧劲度系数相同，由F＝－kx可知，弹簧对甲小球的作用力大于弹簧对乙小球的作用力，C正确；两球质量相等，甲球振幅大，则甲球经过平衡位置时动能大，1.对简谐运动图像的理解（1）简谐运动的图像是一条正弦曲线或余弦曲线，分别如图甲、乙所示。（2）图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。2.由简谐运动图像可获取的信息（1）判定振动的振幅A和周期T，如图所示。（2）判定振动物体在某一时刻的位移。（3）判定某时刻质点的振动方向①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；②下一时刻位移若减小，质点的振动方向是指向平衡位置。（4）判定某时刻质点的加速度（回复力）的大小和方向。（5）比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。考点三单摆及其周期公式[互动共研类]1.单摆的受力特征（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsinθ＝－mglx＝－kx，负号表示回复力F回与位移x（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ。（3）两点说明①当摆球在最高点时，F向＝mv2l＝0，FT＝mg②当摆球在最低点时，F向＝mvmax2l，F向最大，FT＝mg2.周期公式T＝2πlg（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。（2）g为当地重力加速度。3.类单摆模型（1）有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即为类单摆，则T＝2πlg中，l为等效摆长，g为等效重力加速度。如图所示，BC为竖直面内的光滑圆弧，且BC≪R，当小球在BC间运动时，其运动为类单摆运动，等效摆长为R（2）等效重力加速度①对于不同星球表面，有g＝GMR②单摆处于超重或失重状态时：g效＝g±a。③重力场与匀强电场中时：g效＝G效（3）类单摆问题的解题方法：确定等效摆长l及等效重力加速度g效后，利用公式T＝2πlg【典例2】如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。现将摆球A在两摆线所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两摆球分开各自做简谐运动。以mA、mB分别表示摆球的质量，则（）A.当mA＞mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B.当mA＜mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C.只有当mA＝mB时，下一次碰撞才发生在平衡位置D.无论两球的质量关系如何，下一次碰撞一定还发生在平衡位置答案：D解析：根据单摆的周期公式T＝2πlg，可知两单摆的周期相同，所以相撞后两球分别经过12T后回到各自的平衡位置，下一次碰撞一定还发生在平衡位置，1.【单摆振动图像】（多选）如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度地摆动，可以用来拆除混凝土建筑。它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（）A.单摆振动的周期是6sB.t＝2s时，摆球的速度最大C.球摆开的角度增大，周期增大D.该单摆的摆长约为16m解析：BD由图乙可知，单摆振动的周期为8s；t＝2s时，摆球位于平衡位置，速度最大；根据单摆周期公式T＝2πlg可知，周期与球摆开的角度无关；把T＝8s代入周期公式可得，摆长为l≈16m。故B、D正确，A、C2.【单摆周期公式的应用】如图所示，表面光滑、半径为R的圆弧形轨道AP与水平地面平滑连接，AP弧长为s，s≪R。半径为r的小球从A点由静止释放，运动到最低点P时速度大小为v，重力加速度为g，则小球从A运动到P的时间是（）A.t＝2sv B.tC.t＝π4Rg D.解析：B因为AP弧长为s，且s≪R，所以小球的运动等效为单摆运动，根据单摆的周期公式可得T＝2πlg，由题意可知，摆长l＝R－r，小球从A运动到P所用的时间为四分之一个周期，即有t＝π2R－考点四受迫振动和共振[素养自修类]1.【受迫振动】如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz。现匀速转动摇把，转速为240r/min。则（）A.当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5sB.当振子稳定振动时，它的振动频率是6HzC.当转速增大时，弹簧振子的振幅增大D.当转速减小时，弹簧振子的振幅增大解析：D摇把匀速转动的频率f＝n＝24060Hz＝4Hz，周期T＝1f＝0.25s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A、B错误；当转速减小时，其频率更接近振子的固有频率，弹簧振子的振幅增大，C错误，2.【受迫振动与共振曲线的理解】（多选）两单摆分别在受迫振动中的共振曲线如图所示，则下列说法正确的是（）A.若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线B.若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4C.若图线Ⅱ表示在地球上完成的，则该单摆摆长约为1mD.若摆长均为1m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的解析：ABC题图中振幅最大处对应的频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，由题图可知，两摆的固有频率fⅠ＝0.2Hz，fⅡ＝0.5Hz。当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据关系式f＝12πgL可知，g越大，f越大，所以gⅡ＞gⅠ，因为g地＞g月，因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若两摆在地球上同一地点做受迫振动，g相同，则fⅠfⅡ＝LⅡLⅠ，且有fⅠfⅡ＝0.20.5，所以LⅠLⅡ＝254，B正确；fⅡ＝0.5Hz，若图线3.【共振现象的应用】（多选）（2021·浙江1月选考15题）为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则（）A.针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同解析：AD不同树木的固有频率不同，因此针对不同的树木，要使之发生共振需要的振动频率不同，选项A正确；根据共振曲线，小于固有频率时，逐渐增加驱动力频率，振幅会加大，而在大于固有频率时增加频率，振动幅度会减小，选项B错误；稳定后，不同粗细的树干的振动为受迫振动，因此与振动器的振动频率相同，选项D正确；打击杆打击树干后，树干做阻尼振动，阻尼振动频率取决于固有频率，粗细不同的树干固有振动频率不同，选项C错误。1.自由振动、受迫振动和共振的比较振动类型自由振动受迫振动共振受力情况仅受回复力受驱动力受驱动力振动周期或频率由系统本身的性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动类型自由振动受迫振动共振振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆（θ≤5°）机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等2.对共振的理解（1）共振曲线如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。（2）受迫振动中系统能量的转化做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。考点一简谐运动的规律1.钓鱼可以修身养性，颇受人们喜爱。如图为某鱼漂的示意图，鱼漂上部可视为圆柱体。当鱼漂受到微小扰动而上下振动，某钓友发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面，向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面。忽略水的阻力和水面波动影响，则（）A.鱼漂的振动为简谐运动B.鱼漂振动过程中机械能守恒C.M点到达水面时，鱼漂的动能最大D.N点到达水面时，鱼漂的加速度最小解析：A设鱼漂静止时水下部分的长度为x0，根据平衡条件得mg＝ρgSx0，取向下为正方向，鱼漂从平衡位置再向下位移为x时，鱼漂的合力为F＝mg－ρgS（x0＋x），解得F＝－ρgSx，设k＝ρgS，则F＝－kx，鱼漂的振动为简谐运动，A正确；鱼漂振动过程中水的浮力做功，所以鱼漂的机械能不守恒，B错误；M点到达水面时，鱼漂位于最低点，鱼漂的动能最小等于零，C错误；N点到达水面时，鱼漂位于最高点，相对于平衡位置的位移最大，合力最大，鱼漂的加速度最大，D错误。2.（多选）某种弹簧振子做简谐运动时，动能与弹性势能随时间变化的图像如图所示，下列说法中正确的是（）A.此弹簧振子在光滑的水平面上振动B.t0时刻弹簧振子处在位移最大处C.弹簧振子的周期为4t0D.弹簧振子的周期为2t0解析：AC由图像分析可得，弹簧振子只有动能和弹性势能互相转化，且机械能守恒，只有弹簧的弹力做功，重力不做功，则弹簧振子在光滑的水平面上振动，A正确；t0时刻弹簧振子的动能最大，弹簧振子处在平衡位置处，B错误；动能从0增加到最大，时间为T4，因此弹簧振子的周期为4t0，C正确，D3.（多选）如图所示，质量为1.44kg的小球（视为质点）在B、C两点间做简谐运动，O点是它振动的平衡位置。若从小球向右经过O点开始计时，在t1＝0.1s时刻小球第一次经过O、B两点间的M点（图中未画出），在t2＝0.5s时刻小球第二次经过M点，已知弹簧振子的周期T＝2πmk，其中m为小球的质量，k为弹簧的劲度系数，取π2＝10，则下列说法正确的是（A.弹簧振子的周期为1.2sB.弹簧的劲度系数为80N/mC.在t3＝1.3s时刻，小球第三次经过M点D.O、M两点间的距离为5cm解析：ACD根据题意，M点到B点的时间为t0＝t2－t12＝0.2s，则有T4＝t0＋t1＝0.3s，可得周期为T＝1.2s，故A正确；根据弹簧振子的周期公式T＝2πmk，代入数据得k＝40N/m，故B错误；小球第三次经过M点时间为t3＝T＋t1＝1.3s，故C正确；小球做简谐运动，振幅为A＝10cm，角速度为ω＝2πT＝5π3rad/s，则简谐运动的表达式为y＝Asinωt＝10sin2πTt＝10sin5π3t（cm考点二简谐运动的图像4.扬声器是语音和音乐的播放装置，在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是（）A.t＝1×10－3s时刻纸盆中心的位移最大B.t＝2×10－3s时刻纸盆中心的加速度最大C.在0～2×10－3s之间纸盆中心的速度方向不变D.纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.0×10－4cos50πt（m）解析：At＝1×10－3s时刻纸盆中心的位移最大，故A正确；t＝2×10－3s时刻纸盆中心位于平衡位置，加速度为零，故B错误；在0～2×10－3s之间纸盆中心的速度方向先沿正方向再沿负方向，故C错误；纸盆中心做简谐运动的方程为x＝Asin2πtT＝1.0×10－4sin500πt（m），5.（多选）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时，以竖直向上为正方向，一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（）A.振子在O点受到的弹簧弹力等于小球的重力B.振子在C点和D点的回复力相同C.t＝0.3s时，振子的速度方向为竖直向上D.t＝0.75s到t＝1.25s的时间内，振子通过的路程为（6－2）cm解析：AC振子在O点受到的合力等于零，可知弹簧弹力与其自身重力平衡，故A正确；由简谐运动的对称性可知，振子在C点和D点的回复力大小相同，方向相反，故B错误；由图乙可知，t＝0.3s时，振子由D点向O点运动，其速度方向为竖直向上，故C正确；由图乙可知，t＝0.75s到t＝1.25s的时间内，振子通过的路程为s＝2（3－3sin45°）cm＝（6－32）cm，故D错误。考点三单摆及其周期公式6.（多选）如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（）A.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力为零，但回复力不为零B.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，但回复力减小C.摆球在B点时，重力势能最小，机械能最小D.摆球在B点时，动能最大，细线拉力也最大解析：BD假设摆动过程中，细线与竖直方向夹角为θ，重力沿细线方向分力为mgcosθ，垂直于细线方向分力为mgsinθ。摆球在A点和C点时，速度为零，沿细线方向的合力为零，有细线的拉力F＝mgcosθ，F回＝mgsinθ，即细线的拉力与重力沿细线方向分力等大且不为零，回复力与重力沿切线方向的分力等大，也不为零，故A错误；摆球由A点向B点摆动过程中，速度变大，根据F－mgcosθ＝mv2L，F回＝mgsinθ，可得细线拉力增大，回复力减小，故B正确；摆球在摆动过程机械能守恒，从最高点摆到B点过程中，重力做正功，其重力势能一直在减小，动能一直在增加，所以摆球在B点时，重力势能最小，动能最大，机械能不变，故C错误；摆球在B点时对其受力分析，可得F－mg＝mv2L，可知此时细线拉力最大，合力不为零7.将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作单摆，摆长为L。从手机加速度传感器中得到了其垂直手机平面方向的a-t关系图像如图乙所示。则以下说法正确的是（）A.秋千从摆动到停下的过程机械能守恒B.当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力C.秋千摆动的周期为t2－t1D.该地的重力加速度g＝4解析：D秋千从摆动到停下的过程受到阻力的作用，机械能不守恒，故A错误；在最低点，根据牛顿第二定律FN－mg＝mv2L，可得秋千对手机的支持力FN＝mg＋mv2L，可知秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，故B错误；秋千的周期为从最大偏角到另外一最大偏角位置再回到原来最大偏角位置所用的时间，所以两次经过最低点，有两次向心加速度最大，周期为T＝t3－t1，故C错误；根据单摆周期公式T＝t3－t1＝2πLg，可得当地重力加速度g＝考点四受迫振动和共振8.（多选）如图，飞力士棒是一种物理康复器材，其整体结构是一根两端带有配重的弹性杆。用户在健身训练时，使杆体发生振动，从而使杆体带动手臂肌肉运动，改变配重可以改变杆体振动快慢，以达到最佳锻炼效果。若杆体振动越快，则（）A.手臂肌肉的振动快慢程度保持不变B.手臂肌肉的振动一定越快C.手臂肌肉的振动幅度一定越大D.手臂肌肉的振动幅度不一定越大解析：BD手臂肌肉在杆体带动下做受迫振动，则杆体振动越快，手臂肌肉的振动一定越快，选项A错误，B正确；驱动力的频率越接近固有频率，受迫振动的振幅越大，则杆体振动越快时，手臂肌肉的振动幅度不一定越大，选项C错误，D正确。9.轿车的“悬挂系统”是指由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的整个支持系统。已知某型号轿车“悬挂系统”的固有频率是2Hz。如图所示，这辆汽车正匀速通过某路口的条状减速带，已知相邻两条减速带间的距离为1.0m，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是（）A.当该轿车通过减速带时，车身上下振动的频率均为2Hz，与车速无关B.该轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸的越剧烈C.当该轿车以2m/s的速度通过减速带时，车身上下颠簸的最剧烈D.当该轿车以不同速度通过减速带时，车身上下颠簸的剧烈程度一定不同解析：C当轿车以速度v通过减速带时，车身上下振动的周期为T＝Lv，则车身上下振动的频率为f＝1T＝vL，该值与车速有关，故A错误；车身上下振动的频率与车身系统的固有频率越接近，车身上下振动的幅度越大，即当车速满足f＝vL＝2Hz，即v＝2m/s，车身上下颠簸的最剧烈，故B错误，C正确；当该轿车以不同速度通过减速带时，车身上下振动的频率可能分别大于或小于车身系统的固有频率，车身上下颠簸的剧烈程度可能相同10.（多选）很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动。台北101大楼使用的阻尼器是重达660吨的调谐质量阻尼器，阻尼器相当于一个巨型质量块。简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方，它的摆动会产生一个反作用力，在建筑物摇晃时往反方向摆动，会使大楼摆动的幅度减小。关于调谐质量阻尼器，下列说法正确的是（）A.阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同B.阻尼器与大楼摆动幅度相同C.阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反D.阻尼器摆动幅度不受风力大小影响解析：AC由题意可知阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同，故A正确；阻尼器与大楼摆动幅度不相同，故B错误；由题意可知，大楼对阻尼器的力与阻尼器对大楼的力为一对相互作用力，根