第五章　万有引力与宇宙航行 第26课时　万有引力和相对论　双基落实课

第26课时万有引力和相对论[双基落实课]如图所示为太阳系的八大行星图，对于行星的公转运动，判断下列说法的正误：（1）八大行星的公转轨道都是圆，太阳位于圆的中心。（×）（2）八大行星的公转是太阳的万有引力作用的结果。（√）（3）在同一段时间内，地球与太阳的连线扫过的面积一定等于火星与太阳的连线扫过的面积。（×）（4）对于地球绕太阳的公转和月球绕地球的公转，其轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比a3T2是相等的。（考点一开普勒定律的理解和应用[素养自修类]1.【开普勒第一定律的理解】（多选）下列说法正确的是（）A.太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点B.行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向C.行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直D.太阳是静止不动的解析：AB太阳系中八大行星绕太阳运动的轨迹都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，故A正确；行星的运动轨迹为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B正确；椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线，故C错误；太阳并非静止，它围绕银河系的中心不断转动，故D错误。2.【开普勒第三定律的应用】火星绕太阳的公转周期约是金星绕太阳的公转周期的3倍，则火星轨道半径与金星轨道半径之比约为（）A.2∶1 B.3∶1C.6∶1 D.9∶1解析：A根据开普勒第三定律得r火3T火2＝r金3T金2，解得r3.【开普勒第二定律的应用】如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，则（）A.v1v2＝r2rC.a1a2＝v12解析：A由于哈雷彗星做的不是圆周运动，在近日点做离心运动，在远日点做近心运动，因此不能通过万有引力充当向心力计算其在近日点和远日点的线速度之比，需通过开普勒第二定律求解，设在极短时间Δt内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，即有12v1Δtr1＝12v2Δtr2，可得v1∶v2＝r2∶r1，故A正确，B错误；对近日点，根据牛顿第二定律有GMmr12＝ma1，对远日点，根据牛顿第二定律有GMmr22＝ma2，联立解得a1∶a21.开普勒定律具有普遍适用性，既适用于行星绕太阳的运动，也适用于月球、卫星绕地球的运动等。2.根据开普勒第二定律可知行星在近日点速度最大，远日点速度最小。3.开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k考点二万有引力定律及重力加速度的理解[互动共研类]1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F产生两个作用效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。2.重力加速度的计算公式（1）地球赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2（2）地球两极上：GMmR2＝mg（3）地面一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F（4）距离地面高度h处：GMm（R＋h结论：①纬度越高，g值越大；高度越大，g值越小。②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝【典例1】假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g。地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的半径为（）A.（g0－C.g0T2答案：A解析：在地球两极，万有引力等于物体的重力，则有GMmR2＝mg0，在赤道处，万有引力提供重力及物体做圆周运动的向心力，则有GMmR2－mg＝m4π2RT2，联立解得R＝（g01.【用填补法计算万有引力】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝R2，则原球体剩余部分对质点P的万有引力为（A.12F B.1C.78F D.1解析：C设球心O点与球外质点P的距离为r0，没挖去前，球体质量为m，球外质点质量为M，挖去部分的质量为m0。根据m＝43πR3ρ，m0＝43πr知，m0＝18m，则没挖去前，球体对质点P的万有引力F＝GMmr02，挖去的部分对球外质点P的万有引力F'＝GMm0r02＝18F，则球体剩余部分对球外质点P的引力F″＝2.【天体表面的重力加速度】火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值约为（A.0.4 B.2C.3 D.5解析：A根据万有引力定律，在天体表面有mg＝GMmR2，解得g＝GMR2，故火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值g火g地＝M火考点三中心天体质量和密度的计算[互动共研类]天体质量、密度的计算项目使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGMmr2＝M＝4只能得到中心天体的质量r、vGMmr2＝M＝rv、TGMmr2＝mv2r，GM＝v项目使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmM＝g—项目使用方法已知量利用公式表达式备注密度的计算利用运行天体r、T、RGMmr2＝mrM＝ρ·43πRρ＝3π当r＝R时，ρ＝3利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2，M＝43πRρ＝3—【典例2】1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（）A.地球的质量m地＝GB.太阳的质量m太＝4C.月球的质量m月＝4D.由题中数据可求月球的密度答案：B解析：若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有Gm地mR2＝mg，则m地＝gR2G，故A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有Gm太m地L22＝m地4π2T22L2，则【特别提醒】（1）利用“借助外援”T、r法计算的质量和密度对应中心天体，而不是环绕天体，因为计算过程中环绕天体的质量被约掉了。（2）注意区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的R（多选）我国火星探测器已成功登陆火星表面。若探测器到达火星后，在火星表面做了如下实验：将轻绳一端固定在传感器上的O点，另一端系质量为m且可视为质点的小球，如图所示。把小球拉至与圆心O等高的A点由静止释放，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，传感器测出绳子拉力最大值为F。引力常量为G，火星可视为半径为R的均质球体，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（）A.火星表面的重力加速度为FB.火星的平均密度为3C.环绕火星表面运行的卫星的角速度为FD.环绕火星表面运行的卫星的速率为FR解析：AC设绳子的长度为l，从A点运动到最低点由动能定理有mg火l＝12mv2，在最低点由牛顿第二定律有F－mg火＝mv2l，解得g火＝F3m，故A正确；在火星表面有GMmR2＝mg火＝mω2R＝mv2R，ρ＝M43πR3，解得ρ＝F4πGRm考点四相对论[素养自修类]1.【长度收缩效应】一艘太空飞船静止时的长度为30m，它以0.6c（c为光速）的速度沿长度方向飞行越过地球，下列说法正确的是（）A.飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30mB.地球上的观测者测得该飞船的长度小于30mC.飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于cD.地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c解析：B飞船上的观测者测得飞船的长度不变，仍为30m，由l＝l01－vc2＜l0可知，地球上的观测者测得该飞船的长度小于30m，A错误，B正确；由光速不变原理可知2.【时间延缓效应】（多选）接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有（）A.飞船上的人观测到飞船上的钟较快B.飞船上的人观测到飞船上的钟较慢C.地球上的人观测到地球上的钟较快D.地球上的人观测到地球上的钟较慢解析：AC相对论告诉我们，运动的钟会变慢，由于飞船上的人相对飞船上的钟是静止的，而观测到地球上的钟是高速运动的，因此飞船上的人观测到飞船上的钟相对于地球上的钟快，A正确，B错误；同样，地球上的人观测到飞船上的钟是高速运动的，因此地球上的人观测到地球上的钟比飞船上的钟快，C正确，D错误。1.两种时空观（1）经典时空观空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。（2）相对论时空观物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。2.狭义相对论的三个有用的结论（1）运动的时钟变慢了。（2）运动的尺子长度缩短了。（3）运动的物体质量增大了。以上三个结论均为相对观察者运动时产生的现象。考点一开普勒定律的理解和应用1.某行星绕太阳运动的轨道如图所示，则以下说法正确的是（）A.该行星在a点所受太阳的万有引力比在b、c两点的都大B.该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都更小C.行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是不相等的D.行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳在圆心上解析：A根据F＝GMmr2得该行星在a点所受太阳的万有引力比在b、c两点的都大，A正确；根据开普勒第二定律可知近日点速度大、远日点速度小，所以该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都更大，B错误；由开普勒第二定律得相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积是相等的，C错误；由开普勒第一定律可知，太阳一定在椭圆的一个焦点上，行星绕太阳做椭圆运动，2.如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（）A.夏至时地球的运行速度最大B.从冬至到春分的运行时间为公转周期的1C.若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则a3T2＝k，D.太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上解析：D根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，根据S＝12r·vΔt，可知地球在近日点的运行速度最大，在远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，A错误；根据对称性可知，地球从冬至到夏至的运行时间为公转周期的12，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知地球从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故地球从冬至到春分的运行时间小于公转周期的14，B错误；根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有a3T2＝k，其中k与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的k值相同，C错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，考点二万有引力定律及重力加速度的理解3.（2022·全国乙卷14题）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（）A.所受地球引力的大小近似为零B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小解析：C航天员在“天宫二号”空间站中可以自由漂浮，是由于航天员在“天宫二号”空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员的作用力近似为零，所受地球引力大小不为零，选项A、B错误；航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大小近似相等，选项C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随空间站运动所需向心力的大小，选项D错误。4.若某黑洞的半径R约为45km，质量M和半径R的关系满足MR＝c22G（其中光速c＝3×108m/s，G为引力常量），A.108m/s2 B.1010m/s2C.1012m/s2 D.1014m/s2解析：C黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面某一质量为m的物体，有GMmR2＝mg，又有MR＝c22G，联立解得g＝c22R，考点三中心天体质量和密度的计算5.2022年8月10日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为p。已知万有引力常量为G，由此可知地球的质量为（）A.2πpG B.4πpG解析：C卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有GMmr2＝mr2πT2，又由开普勒第三定律可知r3＝pT2，联立解得M＝6.（2023·辽宁高考7题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（）A.k3T1T22C.1k3T解析：D设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据GMmr2＝m4π2T2r可得Gm地m月r12＝m月4π2T12r1，Gm地m日r22＝m地4π2T22r考点四相对论7.（多选）用狭义相对论的观点判断下列说法正确的是（）A.时间和空间都是绝对的，在任何参考系中一个事件发生的时间和一个物体的长度都不会改变B.在地面上的人看来，以10km/s的速度运动的飞船中的时钟会变快，但飞船中的宇航员却认为时钟是准确的C.在地面上的人看来，以10km/s的速度垂直地面向上运动的飞船在运动方向上会变窄，而飞船中的宇航员却感觉地面上的人看起来比飞船中的人扁一些D.当物体运动的速度v远小于c时，长度收缩效应和时间延缓效应都可以忽略不计解析：CD根据狭义相对论，时间和空间都是相对的，没有绝对准确的时间和空间，A错误；由Δt＝Δt'1－v2c2知，在地面上看运动的时钟会变慢，B错误；由l'＝l1－v2c2可知两处的人都感觉l'＜l，C正确8.如图所示，质量与身高均相同的甲、乙两人分别乘坐速度为0.6c和0.8c（c为光速）的飞船同向运动。则下列说法正确的是（）A.乙观察到甲身高变高B.甲观察到乙身高变低C.若甲向乙挥手，则乙观察到甲动作变快D.若甲向乙发出一束光进行联络，则乙观察到该光束的传播速度为c解析：D因为人是垂直于飞船速度方向的，竖直方向上没有长度收缩效应，即甲、乙观察对方时对方的身高不变，A、B错误；根据相对论的时间延缓效应，可以推测两人在高速运动时，相对地球来说时间都变慢了，又v乙＞v甲，因此可以推测，乙观察到甲动作变慢，C错误；根据光速不变原理，可知乙观察到该光束的传播速度仍为c，D正确。9.假设地球可视为质量分布均匀的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为（）A.3π（gC.3πGT解析：B在地球两极万有引力等于重力，即mg0＝GMmR2，由此可得地球质量M＝g0R2G，在赤道处万有引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得GMmR2－mg＝m4π2T2R，由密度公式ρ10.如图所示，设地球是一质量分布均匀的球体，O为地心。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。在下列选项图中能正确描述x轴上各点的重力加速度g的分布情况的是（）解析：A设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有mg＝GMmR2，即g＝GMR2，由于地球的质量M＝43πR3ρ，所以地球表面重力加速度的表达式可写成g＝4πGRρ3。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为R－x处，物体受到地球的万有引力即为半径等于x的球体在其表面产生的万有引力，g＝4πG