新教材高中数学必修第一册4. 4 对数函数

4.4对数函数

4.4.1对数函数的概念

【学习目标】1.理解对数函数的概念2会求简单对数函数的定义域.3.了解对数函数在生产实

际中的简单应用.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点对数函数的概念

一般地，函数y=log“3>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,

+8).

X

思考函数y=10gG,y=log2］是对数函数吗？

答案y=log7rx是对数函数，y=log2±不是对数函数.

■思考辨析判断正误

1.由y=log-得％=*所以x>0.(V)

2.y=log2f是对数函数.(X)

3.若对数函数y=logqX,则。>0.(V)

4.函数y=loga(x—1)的定义域为(0,+°°).(X)

题型探究探究重点素养提升

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一、对数函数的概念及应用

例1(1)下列给出的函数：

®y=log5x+l；

2

@y=logftr(a>0,且a#l)；③y=k)g(有_口尤；

④y=log3去⑤y=log.v\/§(x>0,且XTM)；

⑥y=log2x.其中是对数函数的为()

71

A.③④⑤B.②④⑥C.①③⑤⑥D.③⑥

(2)已知对数函数的图象过点M(8,3),则/g=.

答案(1)D(2)-1

解析(1)①中对数式后面加1,所以不是对数函数；②中真数不是自变量X,所以不是对数

函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自

变量X,而非常数m所以不是对数函数，故③⑥正确.

(2)设式x)=log/(a>0,且aWl),由图象过点M(8,3),则有3=loga8,解得。=2.所以对数函

数的解析式为yi>)=log2X,所以/Q)=log2；=-1.

反思感悟判断一个函数是否为对数函数的方法

对数函数必须是形如y=loga尤(。>0,且a=l)的形式，即必须满足以下条件：

(1)对数式系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数.

(3)对数的真数仅有自变量x.

跟踪训练1(1)下列函数表达式中，是对数函数的有()

®y=log.r2；②y=logd(aGR)；③y=logM；@y=lnx；@y=log,r(x+2)；@y=log2(x+l).

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案B

(2)若对数函数八x)的图象过点(4,-2),则犬8)=.

答案一3

二、与对数函数有关的定义域

例2求下列函数的定义域.

(l)y=loga(3—x)+loga(3+x)；

(2)y=log2(16一下)；

(3)y=logi-x5.

考点对数函数的定义域

题点对数函数的定义域

[3—x>0,

解⑴由一c得一3<x<3,

[3+x>0,

...函数的定义域是(一3,3).

(2)由16-4工>0,得4'<16=4?,

由指数函数的单调性得x<2,

，函数y=log2(16—4x)的定义域为(一8,2).

f1—x>0,

(3)依题意知J得龙<1且x#0,

[1—尤W1,

...定义域为(一8,0)U(0,l).

反思感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0,底数大于0且不为1.如需对函数式

变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变.

跟踪训练2求下列函数的定义域.

由2—4

⑴y=lg(x+3)；

(2)y=^=^+ln(x+1).

考点对数函数的定义域

题点对数函数的定义域

一一420,

解(1)要使函数有意义，需h+3>0,

、x+3¥1,

xW—2或

即<%>—3,即一3<x<—2或x22,

2,

故所求函数的定义域为(一3,-2)U[2,+8).

(2—x>0,

(2)要使函数有意义，需「八

民+1>0,

fx<2,

即1——l<x<2.

[x>—1,

故所求函数的定义域为(一1,2).

三、对数函数模型的应用

例3大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鞋鱼的游速可以表示为函

数。=；log3偏，单位是m/s,。是表示鱼的耗氧量的单位数.

(1)当一条鞋鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

(2)某条鞋鱼想把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

解(1)由。=夕。83告可知，

当6=900时，v=^log3j^=|log39=1(m/s).

所以当一条鞋鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.

(2)设鞋鱼原来的游速、耗氧量为01,提速后的游速、耗氧量为。2,02.

由。2—。1=1,即夕Og3卷一；iog3备=1,

得华=9.

所以耗氧量的单位数为原来的9倍.

反思感悟对数函数应用题的解题思路

(1)依题意，找出或建立数学模型.

(2)依实际情况确定解析式中的参数.

(3)依题设数据解决数学问题.

(4)得出结论.

随堂演练基础矶固学以致用

1.下列函数为对数函数的是()

A.y=logo%+l(a>0且aW1)

B.y=loga(2x)(o>0且aW1)

C.y=log(“—i)x(a>l且a=2)

D.y—21og°尤(a>0且aW1)

考点对数函数的概念

题点对数函数的概念

答案C

2.函数y=log2(x—2)的定义域是()

A.(0,+8)B.(1,+8)

C.(2,+8)D.[4,+8)

考点对数函数的定义域

题点对数函数的定义域

答案C

3.函数人尤)=产1+3(了+1)的定义域为()

A.[-1,3)B.(-1,3)C.(-1,3]D.[-1,3]

答案C

4.对数函数负犬)过点(9,2),则/曰=.

答案T

解析设於)=logax(a>0且aW1),loga9=2,

a2=9,；.a=3(舍a=—3),

/.y(x)=log3X,：.f(J^=log3|=-1.

5.函数/(x)=logd+a2—2a—3为对数函数，则a=

答案3

a2-2a—3—0,

解析依题意有<。>。，解得。=3.

1,

■课堂小结

1.知识清单：

(1)对数函数的定义.

(2)对数函数的定义域.

2.方法归纳：待定系数法.

3.常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件.

课时对点练注重双基强化落实

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g基础巩固

1.给出下列函数:

2

®y=log2X；②y=log3(x—1)；③y=log(x+i>r；@y=logKx.

3

其中是对数函数的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点对数函数的概念

题点对数函数的概念

答案A

解析①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数

的底数不是常数；④是对数函数.

2.已知函数八刈=7^的定义域为g(x)=ln(l+x)的定义域为N,则MAN等于()

yi-x

A.{x\x>~1}B.{x\x<\}

C.{x\~l<x<l}D.0

考点对数函数的定义域

题点对数函数的定义域

答案C

解析9.9M={x|l—x>0}={x|x<l},

N={x|l+x>0]=[x\x>—l],

：.MQN={x\-l<x<l}.

3.下列函数中，与函数y=x相等的是()

A.y=(g)2B.y=y[j?

C.>=2咋/D.y=log22x

答案D

解析因为y=log22"的定义域为R,且根据对数恒等式知y=x.

4.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为()

B

产%

A.y-I024X1

4-

C.y=k)gi%D.y=log2%

2

答案D

解析由于对数函数的图象过点M(16,4),

所以4=logal6,得a=2.

所以对数函数的解析式为y=log2%,故选D.

5.已知函数八尤)=log[a+2),若图象过点(6,3),则犬2)的值为()

A.—2B.2C，2D.—3

考点对数函数的性质

题点对数函数图象过定点问题

答案B

解析代入(6,3),得3=log°(6+2)=loga8,

即/=8,.,.a—2.

.../(x)=log2(x+2),...式2)=log2(2+2)=2.

6.若/(x)=k)gax+a2—4a—5是对数函数，则a=.

答案5

解析由对数函数的定义可知，

a2—4a-5=0,

<a>0,解得a=5.

1,

7.函数y=log1(3x-a)的定义域是停，+°°^,贝1Ja=.

2

答案2

解析由y=log](3尤一a)知，3x—a>0,即尤〉/

2

即a=2.

8.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y

万元.若公司拟定的奖励方案为y=21og4—2,某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额

应为万元.

答案128

解析由题意得5=21og4X—2,

即7=log2尤，得x=128.

9.求下列函数的定义域：

（1求x）=log（x-i）（3—尤）；

、2x+3

（2求>）=—I+log2（3x-l）.

3—x>0,

解⑴由题意知,尤一l>o,解得且无#2,

X—1#1,

故段)的定义域是(1,2)U(2,3).

2x+3^0,

(2)由题意知<x—1W0,解得且无W1.

3x—1>0,

故兀0的定义域是《，+8).

10.20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地

震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里

氏震级其计算公式为M=lgA—lg4.其中A是被测地震的最大振幅，4是“标准地震”

的振幅.

(1)假设在一次地震中，一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标

准地震的振幅是0.002,计算这次地震的震级；

(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最

大振幅的多少倍？

A20

解(1=1gA—1gAo=1%=坨0.002=']。"=4.

即这次地震的震级为4级.

[5=lgA—lgAo,

⑵由题意得:5:

[8=lgA8—lgAo,

所以lgA8—lgA5=3,

即噱=3.

所以半=1。3=1000.

A5

即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.

X综合运用

11.函数y="g咨二"的定义域是()

\2—尤

A.(1,2]B.(1,2)C.(2,+°°)D.(—8,2)

答案B

x—1>0,X>1,

解析由得

2—x>0,x<2,

l＜x＜2.

.•.函数的定义域为（1,2）.

12.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动

物的繁殖数量M只）与引入时间双年）的关系为y=alog2（x+l），若该动物在引入一年后的数量

为100只，则7年后它们发展到（）

A.300只B.400只C.600只D.700只

答案A

解析将无=1,y=100代入y=alog2（x+l）得，

100=dog2（l+l）,解得a=100,

所以x=7时，y=1001og2（7+1）=300.

13.若函数五无）=（“2—a+Dlogs+iF是对数函数，则实数a=.

答案1

解析由°+1=1,

解得＜7=0或a=l.

又底数。+1＞0,

且a+lWl,所以a=l.

14.函数人劝二炮,近2—丘+§的定义域为R,则实数左的取值范围是.

答案［0,3）

3

解析依题意，的解集为

OR,

3

即不等式2立2—丘+总＞0恒成立，

O

3

当左=0时，［＞0恒成立，，左二。满足条件.

O

k>0,

当左W0时，则＜3解得0<k<3.

J=k2—4X2kXQ<0

O9

综上，%的取值范围是［0,3）.

X拓广探究

15.函数人x）=N“一lg尤的定义域为（0,10］,则实数。的值为（）

A.0B.10C.1D志

答案C

解析由已知，得a—lgx20的解集为（0/0］,

由a—lgx》O,得IgxWa,

又当0aW10时，IgxWl,

所以a=l,故选C.

16.国际视力表值（又叫小数视力值，用V表示，范围是［0.1,1.5］）和我国现行视力表值（又叫

对数视力值，由缪天容创立，用£表示，范围是