数学（文）一轮教学案第二章第3讲函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性

考纲展示命题探究

考点展示考纲要求高考命题探究

判断函数的奇偶性，结合具体函数，

函数的奇偶性

了解函数奇偶性的含义.1.内容探究：判断函数的奇偶性、周期性，并应用其性质解决一

些简单的函数问题,如求解析式、求值等.

判断函数的周期性,结合具体函数

函数的周期性2.形式探究：高考中本讲内容多以选择题、填空题形式出现.

了解周期性的含义.

___

股考点一函数的奇偶性

:求基础点重难点

奇偶性的定义及图象特点

奇函数偶函数

如果对于函数八%)的定义域内的任意一个工

定义都有外一%)=一»%),那么函数都有%)="),那

八%)是奇函数么函数人")是偶函数

图象

关于原点对称关于上轴对称

特点

加》注意点判断函数的奇偶性时需注意两点

(1)对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行

判断，同时应注意化简前后的等价性.

(2)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具

有奇偶性.

jte小题快做：

1.思维辨析

(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在X轴上是关于

坐标原点对称的.()

(2)若函数於)为奇函数，则一定有火0)=0.()

(3)若函数丁=犬%+。)是偶函数，则函数＞=危)关于直线x=a对

称.()

(4)若函数y=火工+》)是奇函数，则函数y=*%)关于点S,0)中心对

称.()

(5)函数八%)=0,%£(0,+8)既是奇函数又是偶函数.()

(6)若函数於)=(X_2)(%+。)为奇函数，则a=2.()

答案(1)V(2)X(3)V(4)V(5)X(6)V

2.已知危尸加十法是定义在［q—1,20上的偶函数，那么。+方

的值是()

A.一；

B,3

11

C，2D.一2

答案B

得«=|,又#%)为偶函数，艮一

解析由已知得。-1+2a=0,

%)=火%),.'.b=0,所以Q+Z?=；.

3.下列函数为奇函数的是()

A.y=2x—^B.y=x3siru：

C.y=2cosx+lD.y=x2-\-2x

答案A

解析由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中

的函数为非奇非偶函数，只有A中的函数为奇函数，故选A.

避将命题法解题法

於［考法综述］判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不

大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期

性、图象对称性在同一个题目中出现.主要以选择题和填空题形式出

现，属于基础或中档题目.

命题法判断函数的奇偶性及奇偶性的应用

典例(1)下列函数为奇函数的是()

A.y=mB.y=|sinx|

C.y=cosxD.y=ex—Q~x

(2)设函数八%),g(x)的定义域都为R,且危)是奇函数，g(%)是偶

函数，则下列结论中正确的是()

A.兀v)g(%)是偶函数B.［/(%*(%)是奇函数

C.危)|g(%)|是奇函数D.|/(%)g(%)|是奇函数

［解析］(1)因为函数丁=4的定义域为［0,+°°),不关于原点对

称，所以函数丁=加为非奇非偶函数，排除A；因为y=、inx|为偶函

数，所以排除B；因为y=cos"为偶函数，所以排除C；因为y=#%)

=ex—e-x,x)=e-x—ex=—(ex—e-x)=—所以函数丁=^一

x为奇函数，故选D.

(2)由题意可知八一%)=一八%),g(一%)=g(%),对于选项A,火一

%>g(—%)=—所以«x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选

项B,网一%)lg(—%)=|—X%)lg(%)=|/(%)lg(%),所以|K%)lg(%)是偶函数,

故B项错误；对于选项C,火一%)|g(一%)|=-x%)|g(%)|,所以f(x)\g(x)\

是奇函数，故C项正确；对于选项D,怅一%)g(—%)|=|—八%)g(%)|=

依尔(%)|,所以|/(%)g(%)|是偶函数，故D项错误，选C

［答案］(1)D(2)C

A【解题法】判断函数奇偶性的方法

(1)定义法

结论

(2)图象法

1.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()

A.y=cosxB.y=siiu

C.y=lnxD.y=x2+l

答案A

解析y=cos%是偶函数且有无数多个零点，y=sinx为奇函数，

y=ln%既不是奇函数也不是偶函数，y=%2+i是偶函数但没有零点,

故选A.

2-r+l

2.若函数火%)=5=是奇函数,则使八%)>3成立的x的取值范

围为()

A.(—8,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,+8)

答案C

2七+12¥+12X+1

解析人—%)=2­1二a2非由火一%)=一火用得1=a2'=一

2X+1

至二，即l-a-2x=~2x+a,化简得小(1+2?=1+2"所以a=l,兀0

乙Ct

2-r+l

=FP由»>3得0<%<1.故选C.

3.已知兀0,g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且八%)

—g(%)=V+%2+[,则火])+g(i)=()

A.-3B.-1

C.1D.3

答案c

解析令X=—1得,/(—1)—g(—1)=(—1)3+(—1)2+1=1.V

八%),g(%)分别是偶函数和奇函数，

•••——1)=#1),g(T)=-g(l)，

即-D+g⑴=1.故选C.

4.已知函数八%)是定义在R上的奇函数，当入20时，火%)=；(|%

一屋|+|%—2a2|-3*.若V%£R,火%则实数a的取值范

围为()

11-

-

^-BA/6

A.0

61—6'

11

C.亨3D.

答案B

解析当％20时,

x-3a2,%，2屋,

/(%)=<—a2,屋<%<2屋,画出图象，再根据危)是奇函数补全

、一%,OWxWa2,

图象.

^/-3ar-2,a1-ar~诲2^/^/x

..•满足Vx£R,>-1)<»,则只需3屋一(一3屋)W1,

6屋W1,即一乎WaW平，故选B.

5.若定义在R上的偶函数危)和奇函数g(%)满足式%)+g(%)=ex,

则g(%)=()

A.ex—Q~xB.T(eA'+e-%)

答案D

解析因为#%)+g(%)=ex①,则/(—%)+g(—%)=er,即火%)—g(%)

=e=②，故由①一②可得g(%)=；e—ep,所以选D.

fix)=xln(%+la+x2)为偶函数,则a=.

答案1

解析解法一：由题意得加)=%ln(x+^/a+x2)=/(—x)=—xln

解法二：由八%)为偶函数有y=ln(%+A/^P?)为奇函数，令g(%)

=如(%+/+/),有g(一%)=—g(x),以下同解法一.

八工)是定义在R上的奇函数，当%>0时，丸%)=%2—4%,则不等式

»>X的解集用区间表示为.

答案(一5,O)U(5,+8)

解析:八工)是定义在R上的奇函数，.\A0)=0.

又当x<0时，一%〉0,x)=x2-\-4x.

又八%)为奇函数，「•/(一%)=—八%)，

.,.#%)=—X2—4x(x<0),

X2—4x,x>0,

.,&)={0,x=Q,

、一区2一4%,x<0.

①当x>0时,由f(x)>x得％2—4x>x,解得x>5；

②当x=0时，火%)>为无解；

③当％<0时，由f(x)>x得一%2-4x>x,解得一5<%<0.

综上得不等式<工)>式的解集用区间表示为(一5,0)U(5,+°°).

8.已知函数式；0=e、+er,其中e是自然对数的底数.

(1)证明：贝工)是R上的偶函数；

(2)若关于x的不等式influx)x-\-m—1在(0,+8)上怛成立，

求实数机的取值范围；

(3)已知正数。满足：存在祀仁口，+8),使得危o)<q(一端+3%0)

成立.试比较e。］与qe-i的大小，并证明你的结论.

解(1)证明：因为对任意％£R,都有=e-x+e-(-x)=e~x

+e-=»,所以八工)是R上的偶函数.

(2)由条件知根(e'+e-x—l)Wer—1在(0,+8)上恒成立，

令片叫¥>0),则彳>1,

所以小W------［----对任意/>1成立.

因为?-1+737+122A/(?—1)-737+1=3,所以一

I上\/IJ-

------\-----1,当且仅当方=2,即％=ln2时等号成立.

“Ei

因此实数机的取值范围是1—8,-1.

(3)令函数g(%)=ex+9一a(—x3+3%),

则g'(x)=e-v—T^+3aC?-1).

当入21时，e*一：>。，x2—1^0,又a〉0,故g'(%)>0,所以g(%)

是［1,+8)上的单调增函数，因此g(%)在“，+8)上的最小值是g(l)

=e+ei—2a.

由于存在％0仁[1,+°°),使e%o+e%。-a(—%8+3/o)<O成立,

当且仅当最小值g(l)<0,

e+ei

故e+e1——2Q<0,艮口a>.

e—1

令函数/z(x)=x—(e—l)lnx—l,贝!](%)=1

x

令h'(%)=0,得％=e—1.

当一£(0,e—1)时，h'(x)<0,故/?(%)是(0,e—1)上的单调减函

数；

当x£(e—1,+8)时，h'(%)>0,故力(%)是(e—1,+8)上的单

调增函数.

所以四%)在(0,+8)上的最小值是"七一1).

注意到/z(l)=/i(e)=0,所以当％£(1,e—1)=(0,e—1)时，/i(e

—l)W/z(%)</z(l)=0；

当工£(e—1,e)^(e—1,+°°)0^,-(%)<知1(])<0对任意的工£(1,

e)成立.

fe+e-1)

①当—5—，e=(1,e)时，h(a)<0,即a—l<(e—l)lnQ,从

IZ7

而e"—i；

②当a=e时，e"—1

③当a£(e,+oo)c(e-l,+8)时,/z(£Z)>/z(e)=0,即Q—l>(e

—l)lna,故呼1>。门.

综上所述，当aw1*：e]时，e〃r<Qer；

IZ7

当a=e时，e。—i=qe-%

当q£(e,+8)时，eui〉。，-1.

E随考点二函数的周期性

电星基础点重难点

1周期函数

对于函数)=#%),如果存在一个非零常数T,使得当％取定义域

内的任何值时，都有心十息=心),那么就称函数为周期函数，

称T为这个函数的周期.

2最小正周期

如果在周期函数#%)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这

个最小正数就叫做/U)的最小正周期.

版注意点常见的有关周期的结论

周期函数y=#%)满足：

(1)若八%+。)=/(%—q),则函数的周期为2a.

(2)若火%+。)=一＜%),则函数的周期为2。

(3)若火x+a)=-—,则函数的周期为2a.

4|10小题快做

1.思维辨析

(1)若函数危)满足火0)=#5)=火10),则它的周期7=5.()

(2)若函数危)的周期7=5,则人-5)=#0)=/(5).()

(3)若函数危)关于％=Q对称，也关于对称，则函数“¥)的

周期为2|〃一a|.()

(4)函数危)在定义域上满足＞+«)=-»(«＞0),则危)是周期

为。的周期函数.()

(5)函数危)为区上的奇函数，且於+2)=危)，则#2016)=0.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X(5)V

2.已知八%)是定义在R上的偶函数，且对任意都有危+

4)=»+/(2),则火2014)等于()

A.0B.3

C.4D.6

答案A

解析:危)是定义在R上的偶函数，

.•次-2)=，2),

...八—2+4)=犬2)=#-2)+#2)=2火2),

，#2)=0,

X2014)=/4X503+2)=/2)+503X/(2)=/2)=0,故选A.

3.设八工)是周期为2的奇函数，当OWxWl时，危)=2%(1一%),

答案-I

解析:八工)是周期为2的奇函数，当时，»=2x(l-

避将命题法解题法

施［考法综述］函数周期性的考查在高考中主要以选择题、填空

题形式出现.常与函数的奇偶性、图象对称性结合考查，难度中档.

命题法判断函数的周期性，利用周期性求值

典例(1)若八%)是R上周期为5的奇函数，且满足式1)=1,犬2)

=2,则火8)—#4)的值为()

A.-1B.1

C.-2D.2

(2)设函数满足危+兀)=危)+sinx当OWXWTI时，f(x)

皿(23喻

=0,则)

1s

A，2B.

1

C.0D.

［解析］(1)由于“¥)周期为5,且为奇函数，.\/(8)=#5+3)=丸3)

=X5-2)=X-2)=-/2)=-2,»=X5-1)=X-1)=-/1)=-1,

/./8)-»=-2-(-1)=-1.

(2)因为271)=+71)+sin(x+71)=j(x)+sinx—siru—fix),所

以/U)的周期T=2n.

又因为当0W%W兀时，/(%)=0,所以《周=0,

即T=1—V+sin[—V=°，

所以OH

所以卜消I=力冗—V=彳—1=,

［答案］(1)A(2)A

A【解题法】函数周期性的判定与应用

(1)判定：判断函数的周期性只需证明加+T)=/a)(TWO)便可证

明函数是周期函数，且周期为7.

(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数

的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，

则kT*RZ且左W0)也是函数的周期.

建即对点题必刷题

1.定义在R上的函数兀0满足八一%)=一八%),八%—2)=犬%+2),

且工£(—1,0)时，危)=2*,则#log220)=()

4

A.-1B.g

4

C.1D.一§

答案A

解析由八%—2)=抵%+2),得加+4)=八%),

.TA%)的周期7=4,结合八一%)=一兀)有火Iog220)=/(l+log210)

=Xlog210-3)=-X3-log210),

141

3-110

V3-log210e(-1,0),/.Xlog220)=-2°g2--=—5—5=一

1.故选A.

2.函数*%)=lg四11%|是()

A.最小正周期为兀的奇函数

B.最小正周期为2冗的奇函数

C.最小正周期为兀的偶函数

D.最小正周期为2兀的偶函数

答案C

解析易知函数的定义域为左£Z},关于原点对称，又

x)=lg|sin(—x)|=lg|—sinx|=lg|sinx|=/(x),所以火%)是偶函数,

又函数y=|sinx|的最小正周期为兀，所以函数*%)=lg|sim|是最小正周

期为兀的偶函数.故选C.

八工)是(一8,十8)上的奇函数，且八%)的图象关于％=1对称，当

时，危)=2'—1,则式2013)+#2014)的值为()

A.-2B.-1

C.0D.1

答案D

解析,函数八%)为奇函数，则八一%)=—八%),又函数的图象关

于％=1对称，则人2+%)=八一%)=-fix),

.7/(4+%)=/[(2+%)+2]=—危+2)=火%)..\/(双=1对称，.二八。)

=火2),

/./(2013)+/(2014)=/(1)+/(2)=/(1)+»=21-1+20-1=1.t

选D.

4.已知定义在R上的奇函数危)满足八%+1)=一火%),且在[0,1)

上单调递增，记Q=C),。=火2),c=/(3),则a,b,C的大小关系为

()

A・ct^b~~cB・b^ci~~c

C.b>c>aD.a>c>b

答案A

解析由题意得，*%+2)=—五%+1)=*%),即函数八%)是以2为

周期的奇函数，所以人2)=求%+1)=—火%),所以火3)=一犷⑴在。1)

上是增函数，于是有彳；，/(0)=火2)=/(3),即。泌=c.故选A.

5.已知函数<%)=

则12+log23)的值为()

A—R—

八2412

11

C6D3

答案A

角平析,?2+log23<4,/./2+log23)=<3+log23).V3+log23>4,

3+log3

-,•/2+log23)=/(3+log23)=^2=|x］；>g23.故选A.

6.若y=K%)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y=

fW()

A.既是周期函数，又是奇函数

B.既是周期函数，又是偶函数

C.不是周期函数，但是奇函数

D.不是周期函数，但是偶函数

答案B

解析因为丁=危)是周期函数，设其周期为T,则有加+7)=危),

两边同时求导，得=/(%),即/(%),

所以导函数为周期函数.因为y=/U)是奇函数，所以人一%)=—/(%)，

两边同时求导，得/(—%)(—%)'=—/'(%),即一/'(一%)=—/'(%),

所以/(—%)=/(%),即导函数为偶函数，选B.

学霸错题警示忽视函数的定义域导致奇偶性判断错误

机判断危)=炉+1,%引一2,2)的奇偶性.

［错解］

由t(-7)乂一。十/二/十/二“彳)力打(N)是偶属数.

［错因分析］忽视判断函数的奇偶性时对定义域的要求.

［正解］由于%£［—2,2),所以火%)=f+l的定义域不关于原点

对称，所以函数火%)=%2+1是非奇非偶函数.

［心得体会］

应判幽密鼓的奇偶忖的，应把握定义成和

先的原则,首先定义成事关孑原玄、对林，再犯

用定义r(一力二/3有偶/数,/(一彳)二一/())方奇

品数的条件如行刿街.

M课时撬分练

时间：60分钟

基础组

1.[2016•冀州中学期末]下列函数中,既是偶函数又在(一8,0)

上单调递增的是()

A.尸炉B.y=2因

尸吗

CD.y=sinx

答案C

解析函数y=%2在(-8,0)上是减函数；函数y=2国在(-8,

0)上是减函数；函数y=log2==—log2|%|是偶函数，且在(一8,0)上

|%|

是增函数；函数y=sim不是偶函数.综上所述，选C.

2

2.[2016龚亍水中学预测]函数*%)=asin2%+Z?%+4(a,Z?WR),若

1lg蒲二2013,则与g2014)=()

A.2018B.-2009

C.2013D.-2013

答案C

22

解析,?(%)=asin2x+,g(-x)=asin2x-\-bx,g(x)=g(—x),

g(%)为偶函数，力g芯=八一lg2014),7(-1g2014)=g(-lg2014)+

4=g(lg2014)+4=/(lg2014)=2013,故选C.

3.[2016•枣强中学热身]若函数八%)(X£R)是奇函数，函数g(%)(%

£R)是偶函数，则一定成立的是()

A.函数*g(%))是奇函数

B.函数是奇函数

C.函数用(%))是奇函数

D.函数g(g(%))是奇函数

答案C

解析由题得，函数八X),g(x)满足/(—%)=一五%),g(—x)=g(x),

则有火g(一%))=Kg(x))，g(/(一%))=g(—N%))=g(/(%))，欢一%))=A—加))

=—加⑴)，g(g(一%))=g(g(%))，可知函数欢%))是奇函数，故选C.

4.[2016彳断水中学猜题]定义域为(一8,0)U(0,+8)的函数危)

不恒为0,且对于定义域内的任意实数％,y都有人孙)=率+早成立，

xy

则危)()

A.是奇函数，但不是偶函数

B.是偶函数，但不是奇函数

C.既是奇函数，又是偶函数

D.既不是奇函数，又不是偶函数

答案A

解析令％=y=l,则火1)=”^+片2

1)-1)

令％=y=—1,则火1)=七1+、1)=0.

令y=—1,则八一彗，

.二八%)是奇函数.

又..._/(%)不恒为0,，八%)不是偶函数.故选A.

5.[2016彳断水中学一轮检测]设偶函数危)满足危)=/—8(X20),

则{%府一2)>0}=()

A.或%>4}B.{%[%<0或%>4}

C.{小<0或%>6}D.{小<一2或%>2}

答案B

解析当％<0时，一%>0,.•7(%)是偶函数，

%)=—8.

%3—8,%20,

—x3—8,x<Q,

(%—2>—8,%22,

•••>-2)=由於—2)>0,得

L-(%—2/—8,x<2,

(x<2,

\或<

(%—2)3—8>0［―(%—2)3—8>0,

解得％>4或％<0.故选B.

6.［2016•冀州中学模拟］已知定义在R上的奇函数危)满足八%—4)

=—危)，且在区间［0,2］上是增函数，则()

A.八一25)</Ql)</(80)

B.>0)</(11)</(-25)

C.Xll)<K80)</(-25)

D.八一25)480)411)

答案D

解析由函数八%)是奇函数且#%)在［0,2］上是增函数可以推知，兀t)

在［—2,2］上递增，

又>-4)=-»=>>-8)=->-4)=»,

故函数八%)以8为周期，火一25)=#—1),式11)=火3)=一火3—4)

=火1),/(80)=»,故人—25)<A80)勺(11).

7.［2016彳断水二中周测］函数兀0=%3+sin%+l(%£R),若角%)=

2,则人一加)的值为()

A.3B.0

C.-1D.-2

答案B

解析把/(%)=X3+sinx+l变形为危)一l=x3+sinx,令g(%)=«r)

—l=x3+sinx,则g(%)为奇函数，有g(一机)=一g(wi),所以八一根)一

1=—[Xm)—1],得到八一7")=—'(2—1)+1=0.

8.[2016•枣强中学仿真]设函数八%)是定义在R上的周期为2的

偶函数，当工£[0,1]时，«Y)=X+1,则/1]=.

9.[2016•枣强中学月考]若火%)=(%+/(%—4)为偶函数，则实数a

答案4

解析由火%)=(X+a)(x—4),

得j(x)=x2+(。一4)%—4a,

若八工)为偶函数，则Q—4=0,即a=4.

10.[2016•武邑中学热身]设八工)是定义在R上的以3为周期的奇

2cl—3—

函数，若#2)>1,式2014)=万]，则实数a的取值范围是.

答案J，|)

解析-//(2014)=/1)=/-2)=-/2)<-1,

2a—3,2

।,<—1,斛得一l<a<£.

。十13

11.[2016彳断水二中热身]设函数八%)是定义在R上的偶函数，且

满足：

①/(%)=#2一%)；②当OWxWl时，»=x2.

(1)判断函数八%)是否为周期函数；

(2)求犬5.5)的值.

解⑴由1»=«一%)=八一%)=八2—%)=*%)=危+2)=火%)

是周期为2的周期函数.

(2求5.5)=火4+1.5)=火1.5)=#2—1.5)=#0.5)=0.25.

12.[2016•武邑中学期末]已知函数八%)的定义域为(一2,2),函数

g(x)=f(x—l)+/3—2%).

(1)求函数g(x)的定义域；

(2)若八")为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g(%)W0

的解集.

—1<%<3,

—2*^%—1<2

解(1)由题意可知15

[—2<3—2x<

解得;<%<|,故函数g(%)的定义域为I]

(2)由g(%)W0得加一1)+火3—2%)W0.

.二危―1)W—#3—2%).

又..•_/(%)为奇函数，...加一3),

fx—1三2x—3,

而火x)在(一2,2)上单调递减一,・115

解得;<%W2,

...不等式g(%)WO的解集为2.

能力组

13.[2016醺亍水二中预测]已知丁=八%)是偶函数，而丁=<%+1)是奇

98101

函数，且对任意都有/则

OWxWl,(%)20,a19b=17

106

~15的大小关系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

答案B

解析因为y=火%)是偶函数，所以火%)=#—%),①

因为丁=火%+1)是奇函数，所以八%)=一八2一%),②

所以/(一%)=一五2一%),即危)=火%+4).

所以函数火%都有/(%)与0,所以函数在。1］上单调递

增，又因为函数y="r+l)是奇函数，所以函数在［0,2］上单调递增,

14.［2016彳断水二中月考］已知>=火%)+%2是奇函数，且%(%)=危)

+2,则g(—1)=.

答案T

解析设7z(x)=Xx)+x2为奇函数