人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：第2课时 函数的最大（小）值

第2课时函数的最大（小）值

【学习目标】1.了解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二

次函数在闭区间上的最值的方法.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点一函数的最大值与最小值

最大值最小值

一般地，设函数y=/（x）的定义域为/,如果存在实数M满足：DxG/,都有

条件本）三M本）副

Jxo^I,使得"o)=M

结论称M是函数y=#x）的最大值称M是函数y=*x）的最小值

几何意义ZU）图象上最高点的纵坐标ZU）图象上最低点的纵坐标

思考1若函数兀则M一定是函数的最大值吗？

『答案』不一定，只有定义域内存在一点xo,使./Uo）=M时，M才是函数的最大值，否

则不是.如犬x）=-成立，但3不是/U）的最大值，0才是它的最大值.

思考2若函数y=/（x）在区间『〃，人』上单调递增，则1x）在区间『a,〃』上的最大值与最小

值分别是多少？

『答案』最大值为大与，最小值为人”）.

知识点二求函数最值的常用方法

1.图象法：作出y=/（x）的图象，观察最高点与最低点，最高（低）点的纵坐标即为函数的最大

（小）值.

2.运用己学函数的值域.

3.运用函数的单调性：

⑴若y=/（x）在区间hl,bl上单调递增，则ymax=flQ，

）"min=

⑵若y=/（x）在区间『a,bl上单调递减，则Vm“=Aa），

_Xmin—fib、.

4.分段函数的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中最大（小）的那个.

—预习小测自我检验—

1.函数/U）在『一2,2』上的图象如图所示，则此函数的最小值为，最大值为.

-2

『答案』一12

『解析』由图可知，图象最低点的纵坐标为一1,图象最高点的纵坐标为2,所以函数的

最大值为2,最小值为-1.

2.函数Kr）=|x|,『一1,3」，则火x）的最大值为.

『答案』3

『解析』根据图象（图略）可知，火X）max=3.

3.函数>=占在『2,3』上的最大值为.

『答案』1

『解析』：丫二占在『2,3』上单调递减，.力2=/（2）=1.

4.函数y=2f+2,x£R的最小值是.

『答案』2

题型探究探究重点提升素养

-------------------------------------------------------------------N--------------------

一、图象法求函数的最值（值域）

例1求函数y=^+l|—b一2|的最大值和最小值.

-3,xW—1,

解y=|x+l|一|x—2|="2x—l,-1令<2,作出函数的图象，由图可知，『一3,3」.

、3,工22.

俨一x,0WxW2,

跟踪训练1已知函数/（x）=工。求函数於）的最大值、最小值.

1,x>2,

[x—1

解作出兀0的图象如图.

由图象可知，当x=2时，./）取最大值为2；

当x=T时，取最小值为一"

所以J（x）的最大值为2,最小值为一；.

二、利用函数的单调性求函数的最值

例2已知函数卸x）=『十；XGn,+8）.

（1）当a=T时，求函数./（X）的最小值；

⑵若对任意的xG『1,+8）,式x）>0恒成立，求实数a的取值范围.

解（1）当时，式x）=--------=1+套+2.

任取Xl,X2^F1,+°°）,且X1<X2，

所以7U1）一/（12）=（无1一玄）（1一日;），

因为X1<X2且乐>1,X2>1,

所以Xi—X2<0,X]X2>1.

所以4X1）勺（X2）,

即函数式X）在『1,+8）上单调递增.

所以函数於）在『1,+8）上的最小值为

17

11）=1+/+2=5.

;

（2）因为y（x）=->0在/1,+8）上恒成立,

所以f+2x+〃>o在n,+8)上恒成立.

记〉=*+2%+〃，xG[1,+°°),

所以y=(x+Ip+a-1在『1,十8)上单调递增，

故当x=l时，y取得最小值，最小值为3+a

所以当3+。>0,即a>~3时，40>0恒成立，

所以实数a的取值范围为(-3,+8).

(学生)

反思感悟利用函数的单调性求最值的关注点

(1)若函数yfx)在区间『〃，人』上单调递增，则式x)的最大值为最小值为/(a).

(2)若函数)'=y(x)在区间Ta,feJJ上单调递减，则式x)的最大值为/(a),最小值为人6).

(3)若函数y=/(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出

最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.

(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函

数值或者发展趋势.

跟踪训练2已知函数/(x)=x+%

⑴求证於)在“，+8)上单调递增；

(2)求yu)在『1,4」上的最大值及最小值.

⑴证明设

则式制)-A》2)=(X|+()-(及+9

（为―X2）（X1X2-1）

X\X2

,.,1WXI<X2,•'-Xi—X2<0,X\X2>\,.".X\X2~l>0,

.（X1-X2）（X|X2~~1）<0

)

'•X\X2即人》)勺^2.

，小)在n,+8)上单调递增.

(2)解由(1)可知兀0在『1,4』上单调递增，

...当x=i时，./U)取得最小值，最小值为yu)=2,

17

当x=4时，氏r)取得最大值，最大值为次4)=彳.

综上所述，,")在『1,4』上的最大值是,，最小值是2.

三、函数最值的实际应用

例3某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元,

'1,

400x一材，0WxW400,

己知总收益满足函数：R(x)=J2其中x是仪器的月产量.

.80000,x>400,

(1)将利润表示为月产量的函数兀力

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)

解(1)设月产量为x台，则总成本为20000+100x,

(1

-彳/+3期一20000,04W400,

从而_/U)=j2

60000-100x,x>400.

(2)当0Wx<400时，X%)=-1(X-300)2+25000；

当x=300时，4x)a=250>0,

当x>400时，/(x)=60000—100x单调递减，

於)<60000-100X400<25000.

当x=300时，25000.

即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元.

(学生)

反思感悟解决函数最值应用题的方法

(1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系

式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.

(2)实际应用问题中，最大利泗、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二

次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.

跟踪训练3将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品

每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？

解设售价为x元，利润为y元，单个涨价(尤一50)元，销量减少10(x—50)个，

销量为500—10(》-50)=(1000—10幻个，

则y=(X—40)(1000—1Ox)=-10(x-70)2+9000.

故当x=70时，y,„ax=9000.

即售价为70元时，利润最大，最大利润值为9000元.

核心素养之直观想象►--------------------------

分类讨论求二次函数的最值

典例求—25一1在区间『0,2』上的最大值M(a)和最小值皿a).

解f(x)=(x—a)2—]—a2,对称轴为x=".

(1)当时，由图①可知，,/(X)在区间『0,2』上单调递增，

所以_/(X)min=y(0)=-1,火X)max=7(2)=3—4a

(2)当OWaWl时，由图②可知，对称轴在区间『0,2』内,

所以/(X)min=/B)=—1—〃，_/(X)max=/(2)=3—4a.

(3)当l<a<2时，由图③可知，对称轴在区间『0,2』内，

所以火X)min=/3)=—1—廿，式X)max=/(0)=-1.

(4)当。>2时，由图④可知，«r)在『0,2』上单调递减，

所以./U)min=/(2)=3—4a,y(X)max=KO)=-1.

综上，M(〃)=,

『素养提升』(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要

注意这两个因素.

(2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养.

随堂演练基础巩.固学以致用

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1.函数火X)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为()

B./(0),

D.旭),/3)

『解析』观察函数图象可知，凡r)的最大值、最小值分别为/(0),

2.设函数式x)=2r—l(x<0),则兀v)()

A.有最大值

B.有最小值

C.既有最大值又有最小值

D.既无最大值又无最小值

『答案』D

『解析』；段)在(一8,0)上单调递增，

.\侬勺(0)=-1.

3.函数y=f—2x,xG[0,3]的值域为()

A.[0,3jB.F-1,OJ

c.r—i,+°°)D.r—1,3j

『答案』D

『解析』,函数y=*—2x=(x—Ip—1