2022年湖北省宜昌市西陵区葛洲坝中学数学高三第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（）A．B．C．D．2．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．23．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A． B． C． D．4．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过5．已知向量，且，则等于（）A．4 B．3 C．2 D．16．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．7．已知集合，则（）A． B． C． D．8．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（）条件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要10．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．11．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．7 B．14 C．28 D．8412．已知复数满足，(为虚数单位)，则()A． B． C． D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x-y的值为________．14．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________.15．的角所对的边分别为，且，，若，则的值为__________.16．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；（2）将表示为的函数；（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知.（1）若，求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数，函数（）.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.（3）证明：当时，.21．（12分）已知函数（，为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知抛物线，焦点为，直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，如图所示，当直线经过焦点时，点恰好是的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）点是原点，设直线的斜率分别是，当直线的纵截距为1时，有数列满足，设数列的前n项和为，已知存在正整数使得，求m的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可；【详解】解：当时，，无意义，故排除A；又，则，故排除D；对于C，当时，，所以不单调，故排除C；故选：B【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.2、B【解析】

求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解.【详解】解：，一条渐近线，故选：B【点睛】利用的关系求双曲线的离心率，是基础题.3、C【解析】

根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.综上所述，共有种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．4、D【解析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009201020112012201320142015201620172018累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.5、D【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．【详解】因为，且，，则．故选：．【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．6、D【解析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.7、A【解析】

考虑既属于又属于的集合，即得.【详解】.故选：【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.8、D【解析】

通过列举法可求解，如两角分别为时【详解】当时，，但，故充分条件推不出；当时，，但，故必要条件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题9、A【解析】

根据递增数列的特点可知，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果.【详解】若“是递增数列”，则，即，化简得：，又，，，则是递增数列，是递增数列，“”是“为递增数列”的必要不充分条件．故选：.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.10、C【解析】

根据，两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量，满足，且，所以，所以，所以，所以，所以与的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.11、D【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【详解】，解得．．故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12、A【解析】，故，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值.【详解】根据茎叶图中的数据，得：甲班5名同学成绩的平均数为，解得；又乙班5名同学的中位数为73，则；.故答案为：.【点睛】本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.14、或【解析】

函数的零点方程的根，求出方程的两根为，，从而可得或，即或.【详解】函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，，因为函数在区间上有且仅有一个零点，所以或，即或.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.15、【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.【详解】因为，故，因为，所以.由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足，所以即.因为，解得或（舍）.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.16、1344【解析】

分四种情况讨论即可【详解】解：数学排在第一节时有：数学排在第二节时有：数学排在第三节时有：数学排在第四节时有：所以共有1344种故答案为：1344【点睛】考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），众数为150；（2）；（3）【解析】

（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量的众数和平均数；（2）由已知条件推导出当时，，当时，，由此能将表示为的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．【详解】（1）由直方图可估计需求量的众数为150，由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：由直方图可知的频率为：∴估计需求量的平均数为：（2）当时，当时，∴（3）由（2）知当时，当时，得∴开学季利润不少于4800元的需求量为由频率分布直方图可所求概率【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．18、（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】

（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1），当时，，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，，∴成立.当时，，，∴.当时，，，∴，即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】

（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间.（2）分离出参数后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域.【详解】（1）由得或①当时，由，得.由，得或此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.②当时，由，得由，得或此时的单调递减区间为，单调递增区间为和综上：当时，单调递减区间为，单调递增区间为和当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和.（2）依题意，不等式恒成立等价于在上恒成立，可得，在上恒成立，设，则令，得，（舍）当时，；当时，当变化时，，变化情况如下表：10单调递增单调递减∴当时，取得最大值，，∴.∴的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】

（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案.（2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.（3）由（1）可知，可得，即又即可得证.【详解】（1）解：的定义域为，，当，时，，则在上单调递增；当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；当，时，，则在上单调递减；当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：设函数，则.因为，所以，，则，从而在上单调递减，所以，即.（3）证明：当时，.由（1）知，，所