第四章数列求和的方法课件高二上学期数学人教A版选择性

2024/6/21数列求和的方法第四章

数列数列求和的常见方法1.公式法（已知等差或等比数列或特殊数列）2.裂项相消法3.错位相减法4.分组求和法5.并项求和法6.倒序相加法探究新知1.公式法使用时注意项数知a1,d,n知a1,an,n知a1,q,n知a1,an,q探究新知3.特殊数列的前n项和正整数和二次幂和三次幂和➱➱探究新知2.裂项相消法①将分式型的通项an进行裂项(注意配平系数保持等价)；②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)；解：例1设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=3，公差d＝2，

设bn＝

，求数列{bn}的前n项和Tn.a1＝3，d＝2，求通项裂项∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn所留的正项与负项的个数是否相同（对称）累加消项化简2.裂项相消法①将分式型的通项an进行裂项(注意配平系数保持等价)；②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)；设等比数列{an}的公比为q，求{an}的前n项和Sn

.即Sn

=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1①

qSn

=②a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn由①–②得：

当q=1时，分类讨论：

(1–q)Sn

=a1–a1qn

等比数列{an}同时也是常数列，此时Sn=na1

Sn

=a1+a2+a3+……+an-2

+an-1+an

探究新知乘公比错位排列相减齐次式错位相减法3.错位相减法3.错位相减法齐次式错位相减得等比数列求和3.错位相减法③等比数列求和(注意项数)①写Sn与qSn②齐次式错位相减④同除以1－q写出Sn3.错位相减法

(2)步骤：①所乘系数:在等式两边同乘的是等比数列的公比;写出“Sn”与“qSn”的表达式;②两式相减：左边为(1－q)Sn，右边q的同次式错位对齐相减；③差的特点:相减后的差共有n+1项,去掉前后两项,中间的n-1项一定

是等比数列，注意项数；④同除以1－q写出Sn.(3)易错点：①注意错位相减后所剩的项；

②注意等比数列求和的项数是n或n-1等；

③若等比数列的公比为参数，应分q=1和q≠1两种情况.等差×等比3.错位相减法3.错位相减法课后作业1.数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝1，bn＋1＝an＋1－an，bn＋1＝3bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝bn·log3(2an＋1)，求数列{cn}的前n项和．2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(2n＋1)(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.1.解：(1)由bn＋1＝3bn得{bn}是以3为公比的等比数列，b1＝1，∴bn＝b1qn－1＝3n－1，所以an＋1－an＝bn＋1＝3n，即an－an－1＝3n－1(n≥2)，2.解：(1)∵Sn＝2an－n，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn＝2an－n①，Sn－1＝2an－1－n＋1②，(2)bn＝(2n＋1)·2n，Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，∴两式相减得－Tn＝6＋2(22＋23＋24＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1，∴Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.3.解：(1)∵数列{an}是等差数列且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝3a1+6d=6＋6d＝18，解得d＝2，∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.3.已知数列{an}是等差数列且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn.4.分组求和法①适用于求数列{an±bn}的前n项和,其中{an},{bn}为等差数列或等比数列或或其他已知求和方法的特殊数列.4.分组求和法4.分组求和法②奇、偶数项分别成等差或等比等可求和的数列，则Sn=S奇+S偶4.分组求和法②奇、偶数项分别成等差或等比等可求和的数列，则Sn=S奇+S偶课本P41-7课本P41-115.并项求和法也可用分组求和法：分奇、偶数项分别求和通项含(－1)n的摆动数列适用并项求和，注意是否需讨论项数n的奇偶性.5.并项求和法通项含(－1)n的摆动数列适用并项求和，注意是否需讨论项数n的奇偶性.20205.并项求和法通项含(－1)n的摆动数列适用并项求和，注意是否需讨论项数n的奇偶性.5.并项求和法(并项求和)(倒序相加)数列第k项和倒数第k项之和为定值或呈规律性问：在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝__________.6.倒序相加法2020数列第k项和倒数第k项之和为定值或呈规律性6.倒序相加法26.倒序相加法解析

由题

a1·a2021＝1,且令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2021)，则2T＝[f(a1)＋f(a2021)]＋…＋[f(a2021)＋f(a1)]＝2×2021，∴T＝2021.6.倒序相加法1.公式法(2)四类特殊数列的前n项和(1)等差、等比数列的前n项和公式；求数列前n项和的方法3.错位相减法2.裂项相消法(1)形如cn＝an·bn,

一个是等差数列,一个是等比数列;

(2)步骤：乘公比，错位减(1)通项公式常为分式型，可用待定系数法对通项公式拆项；(2)记住常见的拆项公式(2)数列{an}与首末两端等“距离”的两项和相等,则用倒序相加法求和.6.倒序相加法(1)适用于通项中含有(－