江苏省南通市高三上学期12月月考模拟测试数学试卷

江苏省南通市2021届高三月考模拟测试数学试题2020.12一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则()A. B.C.D.或 2．已知函数，则“”是“上是增函数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是A． B． C． D．4．函数的大致图象是（）A． B． C． D．5．已知四边形中，，分别为，的中点，，，若，则（）A． B． C． D．6．要得到函数的图象，只要将函数的图象（）．A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位7．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为则三校锥的外接球的表面积为()A． B． C． D．8．已知函数，，实数，满足，若，，，使得成立，则的最大值为A．4 B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（）A. B.1 C. D.210．已知下列命题：，使；若，则恒成立；的充要条件是．下列命题中为假命题的是（）．A． B．C． D．11．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是A． B． C． D．12．已知边长为2的等边，点D、E分别是边AC、AB上的点，满足DE∥BC且，沿直线DE折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是A．在边上存在点F，使得在翻折过程中，满足BF//平面B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面BCDEC．若，当二面角等于时，D．在翻折过程中，四棱锥积的最大值记为的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13．《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从，，，，这个正整数中随机抽取个数，则恰好构成勾股数的概率为．14．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是．15．已知数列{an}的首项是，且，则数列{an}的通项公为.16．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则．四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(本小题满分10分)在①，②两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的角，，对边分别为，，，且______．（1）求；（2）求周长的最大值．18．(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且，数列中，．（1）求的通项公式；（2）若，，求数列的前项和．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面，，，，．（1）求证：；（2）若，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．20．(本小题满分12分)（12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人．（1）求，的值；（2）根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星读书之星总计男女1055总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量，求的分布列和期望．附：．521．(本小题满分12分)设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，为的右焦点，的方程为．（1）求的方程；（2）若直线与相切，与交于、两点，与交于、两点，其中、在第一象限，记的面积为，求取最大值时，直线的方程．22．(本小题满分12分)已知函数．（1）当时，判断的单调性，并求在，上的最值；（2），，，求的取值范围．江苏省南通市2021届高三月考模拟测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D2.B3.4.A5.A6.D7.C8.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.ABC10.ABD11.12.CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13．14．15．16．4四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．17．解：（1）选①，∵，∴．∵，∴，即．又，∴，故，即．选②，∵，∴，即，∴，∵，∴．（2）由（1）可知，，在中，由余弦定理得，即，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，即周长的最大值为．18．（1）由①，可得②，①②，所以，又，，所以，所以，故是首项为，公比为的等比数列，故．（2）由题意得，，所以，则，，…，，，所以，所以，所以，所以，易得也适合上式，所以的前项和为．19．解：（1）证明：取的中点，连接．因为，所以．又因为，所以四边形是平行四边形．因为所以四边形是矩形．所以．又所以．所以是直角三角形，即．又底面，底面，所以．又，平面，且．所以平面．又平面，所以．（2）解法一：因为，平面，平面，所以平面．设平面和平面的交线为，则，连接，因为，且所以平面，所以平面．所以，所以是平面和平面所成二面角的平面角．设，则，由（1）知，．又，所以．在中，，，所以所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为．解法二：如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，由（1）知，，．又，所以．所以所以，．设平面的法向量为，，，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量为，1，．又平面的一个法向量为，，所以．所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为．20.解：（1）由频率分布直方图可知，抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人．．（2），“读书之星”有，从而列联表如下图所示：非读书之星读书之星总计男301545女451055总计7525100将列联表中的数据代入公式计算得：．没有以上的把握认为“读书之星”与性别有关．（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为，由题意得，，，，，的分布列为：0123．21.解：（1）解：设的方程为．由题设知①因为的标准方程为，所以的坐标为，半径．设左焦点为，则的坐标为．由椭圆定义，可得②由①②解得，．所以的方程为．（2）由题设可知，在外，在内，在内，在外，在直线上的四点满足，．由消去得因为直线过椭圆内的右焦点，所以该方程的判别式△恒成立．设，，，由韦达定理，得，．又因为的直径，所以．可化为．因为与相切，所以的半径，所以．所以．当