专题3-1利用基本不等式求最值（6大题型）（原卷版）

利用基本不等式求最值一、基本不等式常用的结论1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为与，分子为，设∴，解得：4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。题型一直接法求最值【例1】（2023秋·新疆昌吉·高一校考期末）已知，且，则的最大值为（）A．B．25C．36D．49【变式11】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）若，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【变式12】（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）若满足，则的最大值是.【变式13】（2022秋·福建三明·高一校考阶段练习）若，则的最大值为（）A．9B．16C．49D．64【变式14】（2022秋·吉林长春·高一校考期中）已知，则的最大值为（）A．2B．4C．5D．6【变式15】（2022秋·重庆·高一校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（）A．16B．12C．8D．4题型二配凑法求最值【例2】（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）若，则的最小值是（）A．B．1C．D．【变式21】（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）若，则的最大值是【变式22】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）已知，，且，则xy的最大值为（）A．B．C．1D．2【变式23】（2023·海南·高三模拟预测）设，则函数，的最小值为（）A．7B．8C．14D．15题型三消元法求最值【例3】（2023秋·辽宁·高一校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【变式31】（2023秋·浙江·高一校考阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值是（）A．33B．26C．25D．21【变式32】（2023秋·四川泸州·高一校考阶段练习）若正数满足，则的最小值是（）A．2B．C．4D．【变式33】（2023秋·山东枣庄·高一校考期末）负实数，满足，则的最小值为（）A．1B．0C．D．【变式34】（2023·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是.题型四乘“1”法求最值【例4】（2023春·广东汕头·高一校考期中）已知正实数满足，则的最小值为.【变式41】（2023秋·江苏·高三10月联考）若满足，则的最小值为（）A．B．C．12D．16【变式42】（2023秋·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）若，，且满足，则的最小值是（）A．10B．12C．14D．16【变式43】（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值．题型五双换元法求最值【例5】（2022秋·四川成都·高一校联考期中）若实数、满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【变式51】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）若，，且，则的最小值为（）A．4B．C．D．【变式52】（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是.【变式53】（2022秋·广东惠州·高一校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为.【变式54】（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知，，则最小值为．题型六构造不等式法求最值【例6】（2023秋·河南新乡·高一统考阶段练习）若正数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【变式61】（2022秋·广东惠州·高一校考阶段练习）已知，且，则的最大值为（）A．B．C．3D．4【变式62】（2023秋·天津东丽·高一校考阶段练习）已知，且，则的最小值是（）A．B．C．