人教版初中二年级上学期数学期末复习一 教学学案

期末复习一

通过对本节课的学习，你能够:

•理解三角形、全等、轴对称的相关性质、

判定

•掌握几何部分特殊线段的定义、性质、

判定、辅助图

•会进行综合证明

概述

适用学科初中数学适用年级初二

适用区域人教版课时时长（分钟）120

11

知识点三角形的相关概念；与三角形有关的边；与三角

形有关的角；全等三角形的判定；等腰三角形的

判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与

性质；轴对称：最短路径问题

学习目标理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能

否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；

认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形

的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所

在的直线，三条中线，三条角平分线分别交于一

—

点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；

I掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性

I质解决问题

I了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念；

］了解多边形的内角、外角等概念；能通过不同方

［法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用

它们进行有关计算.

全等三角形及全等三角形的对应元素；全等三角

I形的性质，掌握全等三角形的判定；应用角的平

1分线性质定理；

轴对称：最短路径问题

---------------------------------------L_________________________________________________________________________________________________________________

学习重点I三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与

I角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和

I三角形外角的性质

I多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的

［内角和与多边形的外角和公式；应用角的平分线

I性质定理.

I等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三

I角形的判定与性质

1轴对称：最短路径问题

学习难点I用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三

角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；

理解三角形的外角；

多边形的内角和定理的推导；应用角的平分线性

质定理.等腰三角形的判定；等边三角形的判定

与性质

轴对称：最短路径问题

【知识导图】

教学过程

一、导入

复习预习

1、复习三角形的相关性质

2、复习三角形全等的几种证明方法

3、复习角平分线的相关性质及判定方法

4、复习轴对称图形的性质

5、复习等腰三角形，等边三角形的相关性质

6、复习最短路径问题

知识点1三角形相关概念

【教学建议】通过前面的引导复习，形成基本框架，梳理填

充。

1.不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫

做三角形

2.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角

叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角

形的顶点

3.三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所

对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,

顶点A所对的边BC可用a表示.

4.三角形的分类

["三边都不相等的三角形

三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

5.三角形三边的关系

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

知识点2三角形的角

1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

用平行线的性质证明内角和180°

已知△ABC,求证：NA+NB+NC=180°。

证明：过点C作CM〃AB,则NA=NACM,/B二NDCM,

又NACB+NACM+ZDCM=180°

.••/A+NB+NACB=180°。

即：三角形的内角和等于180°。

2.三角形外角的概念

ZACD叫做4ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的

延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角共有六个。

注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角

形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角

三角形的外角ZACD与相邻的内角NACB是邻补角。

如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能

就此图说明ZACD与NA、ZB的关系吗？

VCM/7AB,AZA=Zl,ZB=Z2,又NACD=N1+N2

/ACD=NA+NB

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

知识点3三角形内的重要线

1.从AABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，

垂足为D,所得线段AD叫做AABC的边BC上的高，表示

为AD±BC于点Do

注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

再画出这个三角形AB、AC边上的高，三角形的三条高相交

于一点。

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

再画出一个直角三角形三边上的高，上面的结论还成立。

2.如图,我们把连结4ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,

所得线段AD叫做4ABC的边BC上的中线，表示为BD-DC

]_

或BD=DC=2BC或2BD=2DC=BC.

在图中画出4ABC的另两条边上的中线，三角的三条中

线相交于一点。

三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。

请画出下列三角形的中线

(1)

3.如图，画NA的平分线AD,交NA所对的边BC于点D,所

得线段AD叫做AABC的角平分线,表示为NBAD:NCAD或

ZBAD=ZCAD=2ZBAC或2ZBAD=2ZCAD=ZBACo

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不

一样的。三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然

成立。

请画出下列三角形的角平分线

角平分线性质及判定

角平分线上的点到角两边的距离相等。

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

知识点4多边形

1.多边形概念

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形

(polygon)

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五

边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条

线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2,螺

母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中

的NA、/B、NC、/D、NE是五边形ABCDE的5个内角。

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外

角。图7.3—4中的N1是五边形ABCDE的一个外角。

2.多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对

角线(diagonal)。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE

的两条对角线。

特别提醒：n边形(n23)从一个顶点可引出(n-3)

条对角线，把n边形分割成(n—2)个三角形，共有对角线

n(n-3)摩

例如：十边形有条对角线。在这里n=10,就可

套用对角线条数公式电产=丁=35(条)。

从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四

边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和二ZSABD的内角

和+ZXBDC的内角和二2X180°=360°。

BC

观察下面的图形

五边形六边形

从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边

形分成三个三角形，五边形的内角和等于540°；

从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边

形分成四个三角形，六边形的内角和等于720。；

从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们

将n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和等于（n一

2）•180°o

n边形的内角和等于（n—2）*180°.

知识点5三角形全等

1.全等三角形的判定

三角形全等的五种判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL

2.判定三角形全等的基本思路：

■找夹角TSAS

已知两边，找直角fHL

找另一边fSSS

边为角的对边一找任意一角fA4S

'找这条边上的另一角一ASA

已知一边一角■边就是角的一条边（找这条边上的对角―AAS

找该角的另一边fSAS

找两角的夹边fASA...........

已知两角

找任意一边—>AAS

3.全等常见模型

（1）平移型全等：常见平移模型

4.全等辅助线

（1）倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段

是原中线的两倍.其目的是构造一对对顶的全等三角形；其

本质是转移边和角.

示例剖析：

其中8£>=C£>,延长4）使得。E=贝丝△COA.

A

BC

D

E

（2）截长补短：

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段

示例：在线段A8上截取AO=4C

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

示例：延长AC,使得"）=加

知识点6线段垂直平分线

1.要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理,

到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,

又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线

段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平

分线.

［例］如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能

作出这条直线吗？

%

t

4—"BAr-----------------:•B

知

(1)⑵

已知：线段AB[如图(1)].

求作：线段AB的垂直平分线.

作法：如图(2)

(1).分别以点A、B为圆心，以大于：AB的长为半径作弧，

两弧相交于C和D两点；

(2).作直线CD.

直线CD就是线段AB的垂直平分线.

2.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题

讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连

接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的

位置。

知识点7特殊三角形

1.等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边

腰与底边的夹角叫做底角

两腰的夹角叫做顶角

2.等腰三角形的特征

等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相

重合(也称等腰三角形三线合一)，它们所在的直线都是等

腰三角形的对称轴

等腰三角形的两个底角相等

3.等边三角形

(1)性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角

都相等，并且都等于60°。

(2)判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三

个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等

腰三角形是等边三角形

4.特殊直角三角形

(1)含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一

半，且三边长度比为1：&2；

(2)等腰直角三角形各边长比为1：1：血

三、例题精析

类型一三角形相关概念

【题干】如图所示，三角形的个数是()

A.3个B.4个C.5个D.6个

【教学建议】本题有一定难度，需要考虑等腰三角形边的分

类。

【题干】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。

(1)如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？

(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？

类型二三角形的高与中线

【题干】下面四个图形中，线段BE是AABC的高的图是()

【题干】BM是aABC中AC边上的中线，AB=5cm,BC=3cm,

求AABM与aBCM的周长之差

类型三角平分线

【题干】如图，在aABC中，ZB=47°,三角形的外角NDAC

和NACF的平分线交于点E,则求NAEC的度数？

【题干】（1）如图1,在AABC中，NABC、NACB的平分线

相交于0.

①已知NA=40°,求NB0C的度数，NA与NB0C有怎样的数

量关系？

②若NA=n°,则NA与NB0C有怎样的数量关系？

(2)如图2,在BzC中，ZAZB'C的平分线与

NA'C'B'的外角平分线相交于O',请你探索NA，与NO'

有怎样的数量关系？

类型四多边形

【题干】如图，Nl、N2、/3、N4是五边形ABCDE的4个

外角.若NA=120°，贝IJN1+/2+/3+N4=.

类型五全等三角形

【题干】如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块,

他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样

的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？

【题干】已知：0C是NAOB的平分线，点P在0C上，PD10A,

PE10B,垂足分别是D、E

求证：PD=PE.

类型六轴对称与轴对称图形

下列图案属于轴对称图形的是（）

⑤◎③起

A.B.C・D.~

四、课堂运用

1.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出

NAOB'=NAOB的依据是（）.

A.SASB.SSSC.ASAD.AAS

2.下列说法中：

①P是线段AB上的一点，直线1经过点P且1_LAB,则1是

线段AB的垂直平分线；

②直线1经过线段AB的中点，则1是线段AB的垂直平分线；

③若AP=PB,且直线1垂直于线段AB,则1是线段AB的垂

直平分线；

④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线1是线段AB的

垂直平分线.

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，在RtZXACB中，ZC=9O0,BE平分NABC,ED垂直

平分AB于D.若AC=9,则AE

的值是（）

A.6V3B.4V3C.6D.4

4.如图，在AABC中，NBAC=40°,NB=75°,AD是4ABC

的角平分线。求NADB得度数。

AB

1.如图，AABC中，NABC、ZACB外角的平分线相交于点F,

连接AF,则下列结论正确的

有（）

A.AF平分BCB.AF平分NBACC.AF±BCD.以上

结论都正确

2.若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多

边形的边数可能为（）

A.14或15或16B.15或16C.14或16D.15或

16或17

3.如下图，RtAADCRtABCD,AC=BD,求证AD二BC

1.如图，在RtZ^ABC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分线,

DC=2,贝IJD至AB边的距离是

2.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成

立的是（）

A.ED=CDB.NDAC=NBC.ZC>2ZB

3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥

MN,桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定

河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

b

AM

N

B

五、课堂小结

1、本次课主要针对期末考试前学习的几何内容进行综合复

习：

复习三角形的相关性质

复习三角形全等的几种证明方法

复习角平分线的相关性质及判定方法

复习轴对称图形的性质

复习等腰三角形，等边三角形的相关性质

复习最短路径问题

六、课后作业

1.已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正