人教版中职数学教案-第六章-数列7份教案

6.1.1数列的定义

【教学目标】

1.理解数列的有关概念和通项公式的意义.

2.了理解数列与函数的关系，培养学生观察分析的能力.

3.使学生体会数学与生活的密切联系，提高数学学习的兴趣.

【教学重点】

数列的概念及其通项公式.

【教学难点】

数列通项公式的概念.

【教学方法】

这节课主要采用情景教学法.利用多媒体，在教师的引导下，根据学生的认知水平，设

计了创设情境一一引入概念，观察归纳一一形成概念，讨论研究一一深化概念，即时训练一

一巩固新知等环节.各步骤环环相扣，层层深入，引导学生体会数学概念形成过程中所蕴涵

的数学方法，使之获得内心感受.

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

1.讲故事，感受数列教师讲述古印度传说故事创设情境，让学

《棋盘上的麦粒》.生认识数列，激发学

学生倾听故事，认识数列.生的好奇心，增强学

生的学习兴趣.

导

入

2.提出问题，引入新课

教师提出问题.提出和本节课

我国有用十二生肖纪年的习俗，每

学生分组讨论，找出问题密切相关的问题，让

年都用一种动物来命名，12年轮回一

的答案.学生思考，充分发挥

次.20XX年（农历乙丑年）是21世纪

学习小组的作用，展

的第一个牛年，请列出21世纪所有牛年

开讨论.

的年份.

1.数列的定义

把21世纪所有牛年的年份排成一教师在学生探究的基础

歹U,得到上，给出问题的答案.

新2009,2021,2033,2045,2057,

课2069,2081,2093.①

像①这样按一定次序排列的一列教师板书定义.

数，叫做数列.

数列中的每一个数都叫做这个数列教师出示一组数列的例

的项，各项依次叫做这个数列的第1项子.

（或首项），第2项，…，第〃项，…，

比如,2009是数列①的第1项（或首项）,师：数列4,5,6,7,8,强调数列的“有

2093是数列①的第8项.9,10；与10,9,8,7,6,5,序性”，使学生对数

举出一些数列的例子：4是不同的数列.列定义有更深刻的

大于3且小于11的自然数排成一列而集合｛4,5,6,7,8,认识，又为后面学习

4,5,6,7,8,9,10；②9,10］与｛10,9,8,7,6,数列的通项公式埋

正整数的倒数排成一列5,4）是相同的集合.下伏笔.

111_强调数列的有序性，集合

1，］，y4,…；③

元素的无序性.

也精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近

似值排成一列

重视举例这一

1,1.4,1.41,1.414,•••；④

环节，调动学生的思

-1的1次幕,2次幕，3次塞,4次幕，…

维，发挥学生的主动

排成一列

性，加深对数列定义

-1,1,-1,1,-1,…；⑤

的理解.

无穷多个2排成一列

2,2,2,2,…；⑥

新

这些都是数列.

课

2.数列的分类

教师利用上面举过的例观察实例，培养

项数有限的数列叫做有穷数列，项

子，讲解“数列的分类”.学生分类能力.

数无限的数列叫做无穷数列.

请学生指出上述数列中的

有穷数列和无穷数列：①②是

有穷数列，③④⑤⑥是无穷数

歹U.

练习

同桌之间讨论，完成练习.通过练习，让学

（1）已知数列小,由，1，仃，“・，

生进一步掌握数列

则3小是它的第___项.

教师巡视指导.的定义.

（2）已知数列1,1—「…，

(―1产1•%…，那么它的第10项是

().

(A)-1(B)1

(C)—七(D)告

3.数列的一般形式观察数列.培养学生的观

.111察能力和由特殊到

数列从第一项开始，按顺序与正整1,，，G,4,.

数对应.所以数列的一般形式可以写成一般的归纳能力.

教师提出问题：数列的每

。2，〃3，•••，。八，•••，

一项与这一项的序号是否有一

其中，斯是数列的第〃项，叫做数列的

定的对应关系？这一关系可否

通项，”叫做即的序号.

用一个公式表示？

整个数列可记作｛斯｝.

学生分组讨论.

对于上面的数列，第一项

新4.数列的通项公式

与这一项的序号有这样的对应

课如果a”(71=1,2,3,,•,)与"之间

关系：

的关系可用

项1一工

斯=/(")1234

来表示，那么这个关系式叫做这个数列3131

的通项公式，其中〃的取值是正整数集序号1234

的一个子集.由此可知，数列的通项可这个数列的每一项与这一

以看成以正整数集的子集为定义域的函项的序号可用公式

数.1

a,,=n

例如，数列

来表示其对应关系.

,11113比」、

L或3)不…，/…可记作｛3，

其通项公式为

an=~,neN+.

如果数列通项的定义域是正整数

集，定义域通常略去不写.

本节课主要学习了以下内容：学生阅读课本P3〜P5上培养学生自己

小1.数列的定义；半部分，畅谈本节课的收获，归纳、总结的学习习

结2.数列的分类；教师引导梳理，总结本节课的惯.

3.数列的通项公式.知识点.

作

教材P4,探索与研究.学生课后完成.巩固拓展.

业

6.1.2数列的通项

【教学目标】

1.理解数列的通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的任意一项，以及根据其前

几项写出它的一个通项公式.

2.了解数列的递推公式，会根据数列的递推公式写出前几项.

3.培养学生积极参与、大胆探索的精神，培养学生的观察、分析、归纳的能力.

【教学重点】

数列的通项公式及其应用.

【教学难点】

根据数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式.

【教学方法】

本节课主要采用例题解决法.通过列举实例，进一步研究数列的项与序号之间的关系.通

过三类题目，使学生深刻理解数列通项公式的意义，为以后学习等差数列与等比数列打下基

础.

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

1.数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数教师引导学生复习.为学生进一步

列.理解通项公式，应用

注意：(1)数列中的数是按一定次通项公式解决实际

序排列的；问题做好准备.

(2)同一个数在数列中可以重复出

现.

导

入2.数列的一般形式

数列a\,。2，的，…，斯，…，可记

作｛。“｝.

3.数列的通项公式：

如果数列｛an｝的第〃项斯与w之间

的关系可以用一个公式来表示，那么这

个公式就叫做这个数列的通项公式.

如果已知一个数列的通项公式，则

新可依次用限定的正整数1,2,3,…去代

课替公式中的“，就可求出数列中的各项.

例1根据通项公式，写出下面数列学生解答例题.将例题直接当

｛an｝的前5项：作成练习，由学生自

师：你能总结一下这类题己寻找解题方法，让

⑴斯-«+1；

目的解决方法吗？学生体验探索与成

(2)a=(一1)〃,n.

n功的快乐.

解(1)在通项公式中依次取几=1,

学生总结解法，教师点拨、

2,3,4,5,得到数列的前5项为

解答学生疑难，多媒体出示解

12345

2，3，4，5，6；题过程.

(2)在通项公式中依次取w=l,2,

3,4,5,得到数列的前5项为

—1,2,—3,4,—5.

练习一

根据下列数列｛斯｝的通项公式，写出请学生在黑板上做练习一由数列的通项

它的前5项：和练习二.公式写出数列的前

几项是简单的代入

(1)an=

(2)斯=5(—I)"].老师巡视指导.法，本练习为写通项

新公式做准备，尤其是

课练习二对接受能力偏弱的

学生，可多举几个例

根据下列数列｛斯｝的通项公式，写出师生共同订正答案.

它的第7项和第10项：子让学生观察，归纳

通项公式与各项序

(1)a=,2;

n号的关系，尽量为例

(；

(2)an=n71+2)2做准备.

小(一1严

(3)a„-；

(4)an=-2"+3.

例2写出数列的一个通项公式，使

教师引导学生分析数列的由数列的前几

它的前4项分别是下列各数：

每一项与这一项的序号之间的项写出数列的一个

(1)1,3,5,7；

对应关系：通项公式是学生学

22—132—142—152—1

;

(2)2'3'4'5项1357习中的一个难点，要

⑺-L_J_J_1113帮助学生分析各项

1-2'2・3'3・4'4・5,

序号1234的结构特征，让学生

解(1)数列的前四项1,3,5,7

师：你能找出各项与项数依据前几项的规律，

都是序号的2倍减去1,所以它的一个通

项公式是二者的对应关系满足什么规律寻求项与序号的关

吗？系.最后教师引导学

an=2n~1；

22—132—1学生探究找出规律：数列生结论.

(2)数列的前四项2，3，

的前四项1,3,5,7都是序号

4\§51分母都是序号加上1，分子

4的2倍减去1.

师：如何用含有"的式子

都是分母的平方减去1,所以它的一个通

项公式是来表示第n项斯？

(n+1)2—1-(〃+2)教师对学生的回答给以点培养学生的合

%-〃+1-〃+1;评，板书解题过程.作探究意识和创新

(3)数列的前四项一七，七，意识.

学生根据(1)题的解题思

一£了木的绝对值都等于序号与序号

路，分组合作，讨论解答后两学生可能会写

加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数道题.出多种不同的通项

项为正，所以它的一个通项公式是教师巡视指导.公式，对学生善于思

考，勇于创新的精神

=(T):

a"〃•(w+1).

教师说明数列的通项公式给予赏识性评价.

可以不止一个.

总结：

(1)当一个数列中的数依次出现

新教师引导学生总结.培养学生勤动

“+”“一”相间时，应先把符号分离出

课师：当一个数列中的数依手、动脑、善于总结、

来，用(一1)"或(一I)"］等来表示.

次出现“+”“一”相间时，归纳的习惯.

(2)认真观察各数列所给出的项，

应如何解决？

寻求各项与序号的关系，归纳其规律，

师：根据数列的前几项，

抽象出其通项公式.

写数列的一个通项公式的方法

是什么？

练习三

(1)已知一个数列的前4项分别是

学生合作探究，完成练习.通过练习，让学

,,,＞则它的一个通项公式生进一步掌握写通

是___________.教师巡视指导.项公式的方法.

333

(2)数列32—」1，『3—1，七4—一1

师生共同订正答案.在教师的引导

55'…的个通项公式是()•下，培养学生观察、

分析、归纳的能力.

(A)(B)

n+1n

zrxW(»+3〃+3)n(序+2)

n+1n

例3已知数列｛斯｝的第1项是1,

以后各项由公式

教师出示例3,引导、点培养学生积极

a-1+(几22)

n斯-1

拨.实践、科学探究的学

给出，写出这个数列的前5项.

师：数列中，诙项与瓯1习态度.

例3中的函数表达式，表达的是任

项是什么关系？

一项即与它的前一项的关系，这样

引导学生得出：是任一项

的关系式叫做数列的递推公式.

与前一项的关系.

解不难得出

教师给出递推公式的定

S=1;

义.

a2=1+；=1+T=2；

学生分组探究.

一1一13

的-1+—ai=1+72-72；

新一1一15教师巡视指导，强调代数计

“4=1十一=1十二二W；

。3上3

课2算时，要注意正确性.

一1一18

〃5=1十一=1+M=7.

4455

3

练习四

(1)已知数列｛斯｝,其中〃产1981,

。〃二斯-1+12,写出这个数列的前

请学生在黑板上做题.加强练习，体会递

5项.

教师巡视指导、订正.推公式的应用.

(2)已知数列｛斯｝中，45=2009,

斯=斯-1+12,〃22.求ai.

三类题目：学生阅读课本P5〜P7,畅梳理总结也可

(1)由数列的通项公式写出数列某谈本节课的收获，老师引导梳针对学生薄弱或易

一项；理，总结本节课的知识点.错处强调总结.

小

(2)根据数列的前几项，写出数列

结

的一个通项公式；

(3)根据数列的递推公式写出数列

的前几项.

作

教材P8,习题第5,6,7题.学生课后完成.巩固拓展.

业

6.2.1等差数列的概念

【教学目标】

1,理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念.

2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.

3.通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想.

【教学重点】

等差数列的概念及其通项公式.

【教学难点】

等差数列通项公式的灵活运用.

【教学方法】

本节课主要采用自主探究式教学方法.充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣

味性、实践性.在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在

探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

问题某工厂的仓库里堆放一批钢教师出示引例，并提出问希望学生能通过

管（参见教材图6-1）,共堆放了7层，题.对日常生活中的实际

试从上到下列出每层钢管的数量.问题的分析对比，建

导

学生探究、解答.立等差数列模型，进

入

行探究、解答问题，

体验数学发现和创造

的过程.

从上例中，我们得到一个数列，每师：请同学们仔细观察，由特殊到一般，

层钢管数为看看这个数列有什么特点？发挥学生的自主性，

4,5,6,7,8,9,10.学生观察、回答.培养学生的归纳能

教师总结特征：力.

从第二项起，每一项与它

新前面一项的差等于同一个常数

课（即等差）.

1.等差数列的定义我们给具有这种特征的数在学生自主探

一般地，如果一个数列从第二项列一个名字一一等差数列.究的基础上得出定

起，每一项与它前一项的差等于同一个教师板书定义.义和公式，更有利于

常数，这个数列就叫做等差数列，这个师：等差数列的例子，在学生理解和运用.

常数就叫做等差数列的公差（常用字母生活中有很多，谁能再举几

“j’表示）.个？

练习一

抢答：下列数列是否为等差数列？教师出示题目.

1,2,4,6,8,10,12,•••；学生思考、抢答.

0,1,2,3,4,5,6,…；师：你能说出练习一中，

3,3,3,3,3,3,3,…；各等差数列的公差吗？

2,4,7,11,16,•••；学生说出各题的公差d.

—8,~6,~4,0,2,4,…；教师订正并强调求公差应

3,0,—3,—6,—9,….注意的问题.

注意：求公差d一定要用后项减前

项，而不能用前项减后项.

2.常数列

特别地，数列

3,3,3,3,3,3,3,…

也是等差数列，它的公差为0.公差为0

的数列叫做常数列.

新

课3.等差数列的通项公式师：已知一个等差数列引导学生观察、

首项是ai,公差是d的等差数列｛斯｝｛。”｝的首项是公差是d,归纳、猜想，培养学

的通项公式可以表示为如何求出它的任意项斯呢？生合理的推理能力.

-1)<7.学生分组探究，填空，归学生在分组合

纳总结通项公式作探究过程中，可能

。2=〃1+di会找到多种不同的

。3=+d=_____+d解决办法，教师要逐

=a\+___d,一点评，并及时肯

44=+d=_____+d定、赞扬学生善于动

=a\+d,，脑、勇于创新的品

质，激发学生的创造

an=a\+___d.意识.

师：一个等差数列的各项，

4.通项公式的应用己知—和—就可以确定下来？

根据这个通项公式，只要已知首项师：等差数列的通项公式

勾和公差d,便可求得等差数列的任意项中共有几个变量？

事实上，等差数列的通项公式中共

有四个变量，知道其中三个，便可求出

第四个.

例1求等差数列8,5,2,…的通教师引导学生分析本题，鼓励学生自主

项公式和第20项.己知什么？求什么？怎么求？解答，培养学生运算

解因为。i=8,d-5—8=-3,所学生思考、说出已知、所能力.

以这个数列的通项公式是求，代入通项公式.

斯=8+(“-1)义(-3),强调：通项公式是用含有

即-3n+11.所以n的式子表示an.

“20=—3X20+11=-49.学生尝试解答后，师生共

同板书解题过程.

例2等差数列一5,-9,—13,…仿照例1,教师引导、点

的第多少项是一401?拨.

解因为“1=-5,而且学生解答.

d=—9—(—5)=—4,多媒体出示解题过程.

a„=-401,学生核对、订正.通过例题，强化

所以学生对等差数列通

-401=-5+(n-l)X(-4).教师强调解题过程要规项公式的理解，强化

解得M=100.范、严谨.学生学以致用的意

新即这个数列的第100项是一401.识.

课

练习二学生练习.

(1)求等差数列3,7,11,…的第请学生在黑板上做题.

4,7,10项.

(2)求等差数列10,8,6,…的第教师巡视指导.

20项.师生共同订正.

练习三

在等差数列｛斯｝中：

(1)d=—^,。7=8,求41；

(2)a\=12,%=27,求d.

例3在3与7之间插入一个数4

教师出示例题.由特殊到一般，

使3,A,7成等差数列，求A.

学生同桌之间合作探究.发挥学生的自主性，

解因为3,A,7成等差数列，所

学生分析解题思路.培养学生的归纳能

以

A—3=7—A,2A=3+7.教师出示答案，订正.力.

解得A=5.师：在a与6之间插入一

个数4使a,A,b成等差数

歹(J.你能用a,b来表示A吗？

5.等差中项的定义学生探究、回答.

一般地，如果a,A,b成等差数列，教师订正学生的回答，给在学生自主探

那么A叫做。与b的等差中项.出等差中项的定义和公式.究的基础上得出定

师：你能用文字描述一下义和公式，更有利于

6.等差中项公式这个式子的含义吗？学生理解和运用.

如果A是a与b的等差中项，则师：在等差数列b3,5,

a+b7,9,11,13,…中，每相邻

A-2•

的三项，满足等差中项的关系

这就表明，两个数的等差中项就是

吗？

它们的算术平均数.

学生分组合作探究，得出引导学生观察、

结论.归纳、猜想，培养学

7.一个结论

生合理的推理能力.

在等差数列〃2，〃3，…，%，…

师：能将这个结论推广到

中，

一般的等差数列中吗？

+的

新。2—2'学生继续分组合作探究.

教师总结学生的回答，给

课〃2+〃4

。3—2，

出结论.

♦丁-1+

斯一2，

这就是说，在一个等差数列中，从

第2项起，每一项(有穷等差数列的末

项除外)都是它的前一项与后一项的等

差中项.

练习四

学生做练习.通过两道直接

求下列各组数的等差中项：

学生回答各题结果，统一套用公式的练习题，

(1)732与一136；

订正答案.强化学生对中项公

49

工与

(2)42.式的掌握.

例4已知一个等差数列的第3项是

5,第8项是20,求它的第25项.教师出示例题.学生在分组合

解因为43=5,<28=20,根据通项学生分组合作探究.作探究过程中，可能

公式得会找到多种不同的

教师点拨、引导：解决办法，教师要逐

4Z1+(3—l)d=5

例题给出了哪些量？一点评，并及时肯

+(8—l)d=20(1)

如何用数列符号表示？定、赞扬学生善于动

整理，得

(2)例题中的所求量是什脑、勇于创新的品

ar+2d=5

么？需要知道哪些条件？质，激发学生的创造

0i+7d-20

意识.

解此方程组寻-1,d=3.教师总结学生思路，给出

所以解题过程.

"25=14-(25-1)X3=71.

强调：B-如首项勾和公差d,便可

求得等差数列1勺任意项an.

练习五

(1)E以1等差数列｛斯｝中，6/1=3,学生自主练习.鼓励学生自主

求

an=21,d=2,n.教师巡视指导.解答，培养学生运算

新(2)已知等差数列｛斯｝中,«4=10,请个别学生在黑板上做题能力.

课