安徽省合肥市寿春中学2025届高一数学第二学期期末联考试题含解析

安徽省合肥市寿春中学2025届高一数学第二学期期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若数列前12项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前12项值的数列为（）A． B． C． D．2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，,则的值为()A． B． C． D．3．设实数满足约束条件，则的最大值为（）A． B．4 C．5 D．4．某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件C．C与D是对立事件 D．B与D为互斥事件5．在中，，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6．若两个球的半径之比为，则这两球的体积之比为（）A． B． C． D．7．已知在中，，那么的值为（）A． B． C． D．8．在等差数列中，若，则（）A．10 B．15 C．20 D．259．空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A． B．C． D．10．()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为______三角形．12．函数的递增区间是__________.13．在圆心为，半径为的圆内接中，角，，的对边分别为，，，且，则的面积为__________．14．在封闭的直三棱柱内有一个表面积为的球，若，则的最大值是_______.15．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则________．16．在等比数列中，，的值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．18．设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．19．已知圆，点，直线.（1）求与直线l垂直，且与圆C相切的直线方程；（2）在x轴上是否存在定点B（不同于点A），使得对于圆C上任一点P，为常数？若存在，试求这个常数值及所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（1）求边c的值；（2）求的面积21．已知向量，，函数．（1）若，求的取值集合；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据题意可知利用除以12所得的余数分析即可.【详解】由题知若要取遍前12项值的数列,则需要数列的下标能够取得除以12后所有的余数.因为12的因数包括3,4,6,故不能除以12后取所有的余数.如除以12的余数只能取1,4,7,10的循环余数.又5不能整除12,故能够取得除以12后取所有的余数.故选：C【点睛】本题主要考查了数列下标整除与余数的问题,属于中等题型.2、B【解析】

先利用面积公式得到，再利用余弦定理得到【详解】余弦定理：故选B【点睛】本题考查了面积公式和余弦定理，意在考查学生的计算能力.3、A【解析】

作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当直线过点时，得最大值为，故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域和目标函数对应的直线．4、D【解析】

根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念及判定，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5、B【解析】

将,分别代入中,整理可得,即可得到,进而得到结论【详解】由题可得,即在中,,,即又,是直角三角形,故选B【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查和角公式,考查已知三角函数值求角6、C【解析】

根据球的体积公式可知两球体积比为，进而得到结果.【详解】由球的体积公式知：两球的体积之比故选：【点睛】本题考查球的体积公式的应用，属于基础题.7、A【解析】

，不妨设，,则，选A.8、C【解析】

设等差数列的公差为，得到，又由，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，设等差数列的公差为，则，又由，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题，.9、A【解析】

关于轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数．【详解】关于轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数．所以点关于轴对称的点的坐标是．故选：A．【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．10、A【解析】

将根据诱导公式化为后，利用两角和的正弦公式可得.【详解】.故选：A【点睛】本题考查了诱导公式，考查了两角和的正弦公式，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、等腰或直角【解析】

根据正弦定理化简得到，得到，故或，得到答案.【详解】利用正弦定理得到：，化简得到即故或故答案为等腰或直角【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，漏解是容易发生的错误.12、；【解析】

先利用辅助角公式对函数化简，由可求解.【详解】函数，由，可得，所以函数的单调增区间为.故答案为：【点睛】本题考查了辅助角公式、正弦函数的图像与性质，需熟记公式与性质，属于基础题.13、【解析】

已知条件中含有这一表达式，可以联想到余弦定理进行条件替换；利用同弧所对圆心角为圆周角的两倍，先求出角的三角函数值，再求的正弦值,进而即可得解.【详解】，，在中，代入（1）式得：，整理得：圆周角等于圆心角的两倍，，（1）当时，，，.（1）当时，，点在的外面，此时，，．【点睛】本题对考生的计算能力要求较高，对解三角形和平面几何知识进行综合考查.14、【解析】

根据已知可得直三棱柱的内切球半径为，代入球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，因为，所以,可得的内切圆的半径为，又由，故直三棱柱的内切球半径为，所以此时的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直三棱柱的几何结构特征，以及组合体的性质和球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.15、【解析】

利用等差数列{an}的公差为1，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a1．【详解】∵等差数列{an}的公差为1，a1，a3，a4成等比数列，

∴（a1+4）1=a1（a1+2），

∴a1=-8，

∴a1=-2．

故答案为-2.．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，属基础题.．16、【解析】

由等比中项，结合得，化简即可.【详解】由等比中项得，得，设等比数列的公比为，化简.故答案为：4【点睛】本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）.【解析】

(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.【详解】(Ⅰ)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.设二面角的大小为，则.【点睛】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.18、(1)见解析(2)【解析】

（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得，解得，或，当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；当时，an（2n+79），bn＝9•；（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，∴Tn＝2（2n﹣1）•3，∴Tn＝6．【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19、（1）或（2）存在，，【解析】

（1）先设与直线l垂直的直线方程为，再结合点到直线的距离公式求解即可；（2）先设存在，利用都有为常数及在圆上，列出等式，然后利用恒成立求解即可.【详解】解：（1）由直线.则可设与直线l垂直的直线方程为，又该直线与圆相切，则，则，故所求直线方程为或；（2）假设存在定点使得对于圆C上任一点P，为常数，则,所以，将代入上式化简整理得：对恒成立，所以，解得或，又，即，所以存在定点使得对于圆C上任一点P，为常数.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了点与圆的位置关系，属中档题.20、（1）（2）3【解析】

（1）由可得,利用正弦定理可得,即可求解；（2）先利用余弦定理求得,即可求得,再利用三角形面积公式求解即可【详解】解:（1）因为,所以,即,则（2）由（1）,则,所以,所以【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化,考查利用余弦定理求角,