陕西省汉台中学2025届高一下数学期末复习检测试题含解析

陕西省汉台中学2025届高一下数学期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两人的各科平均分不同 B．甲、乙两人的中位数相同C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定 D．甲的众数是83，乙的众数为872．已知函数，则A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）为偶函数C．f（x）的图象关于对称 D．为奇函数3．在直角坐标系中，直线的倾斜角是A． B． C． D．4．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．4 B．-5 C．-6 D．-85．等差数列的前项和为，若，则（）A．27 B．36 C．45 D．546．已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则A． B．C．− D．7．下列结论中错误的是（）A．若，则 B．函数的最小值为2C．函数的最小值为2 D．若，则函数8．已知平面平面，直线，直线，则直线，的位置关系为（）A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行､相交或异面9．在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3asinC=A．π6 B．π3 C．2π10．已知实数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________．12．数列an满足12a113．把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，两次都是正面向上的概率为________.14．如图是一个算法流程图.若输出的值为4，则输入的值为______________.15．在边长为2的正△ABC所在平面内，以A为圆心，为半径画弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．16．在三棱锥中，已知，，则三棱锥内切球的表面积为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在直角中，，延长至点D，使得，连接.（1）若，求的值；（2）求角D的最大值.18．设，求函数的最小值为__________．19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.20．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率．21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

分别计算出甲、乙两位同学成绩的平均分、中位数、众数，由此确定正确选项.【详解】甲的平均分为，乙的平均分，两人平均分相同，故A选项错误.甲的中位数为，乙的中位数为，两人中位数不相同，故B选项错误.甲的众数是，乙的众数是，故D选项错误.所以正确的答案为C.由茎叶图可知，甲的数据比较集中，乙的数据比较分散，所以甲比较稳定.（因为方差运算量特别大，故不需要计算出方差.）故选：C【点睛】本小题主要考查根据茎叶图比较平均数、中位数、众数、方差，属于基础题.2、C【解析】对于函数，它的最小正周期为=4π，故A选项错误；函数f（x）不满足f（–x）=f（x），故f（x）不是偶函数，故B选项错误；令x=，可得f（x）=sin0=0，故f（x）的图象关于对称，C正确；由于f（x–）=sin（x–）=–sin（x）=–cos（x）为偶函数，故D选项错误，故选C．3、A【解析】

先根据直线的方程，求出它的斜率，可得它的倾斜角．【详解】在直角坐标系中，直线的斜率为，等于倾斜角的正切值，故直线的倾斜角是，故选．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的求法．4、D【解析】绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值.本题选择D选项.5、B【解析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.【详解】依题意，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.6、A【解析】

由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，

∴，

故选A．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．7、B【解析】

根据均值不等式成立的条件逐项分析即可.【详解】对于A，由知，，所以，故选项A本身正确；对于B，，但由于在时不可能成立，所以不等式中的“”实际上取不到，故选项B本身错误；对于C，因为，当且仅当，即时，等号成立，故选项C本身正确；对于D，由知，，所以lnx+=-2，故选项D本身正确.故选B.【点睛】本题主要考查了均值不等式及不等式取等号的条件，属于中档题.8、C【解析】

根据直线与直线的位置关系，结合题意，进行选择.【详解】因为平面平面，直线，直线，所以直线没有公共点，所以两条直线平行或异面.故选：C.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属基础题.9、A【解析】

根据正弦定理asinA=csinC将题干等式化为3sinAsin【详解】∵3asinC=3ccosA，所以3sinAsin【点睛】本题考查运用正弦定理求三角形内角，属于基础题。10、A【解析】

由原式，明显考查斜率的几何意义，故上下同除以得，再画图分析求得的取值范围，再用基本不等式求解即可．【详解】所求式，上下同除以得，又的几何意义为圆上任意一点到定点的斜率，由图可得，当过的直线与圆相切时取得临界条件．当过坐标为时相切为一个临界条件，另一临界条件设，化成一般式得，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离，所以，，解得，故．设，则，又，故，当时取等号．故，故选A．【点睛】本题主要考查斜率的几何意义，基本不等式的用法等．注意求斜率时需要设点斜式，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得斜率，在用基本不等式时要注意取等号的条件．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率．【详解】所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：、、，共个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．12、14,n=1【解析】

试题分析：这类问题类似于Sn=f(an)的问题处理方法，在12a1+122a2+...+1.考点：数列的通项公式.13、【解析】

把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，利用列举法求出基本事件有4个，由此能求出两次都是正面向上的概率．【详解】把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，基本事件有4个，分别为：正正，正反，反正，反反，两次都是正面向上的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，求解时注意列举法的应用，即列举出所有等可能结果.14、-1【解析】

对的范围分类，利用流程图列方程即可得解．【详解】当时，由流程图得：令，解得：，满足题意．当时，由流程图得：令，解得：，不满足题意．故输入的值为：【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题．15、【解析】

由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积，又由扇形的半径为，也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．【详解】由题意知，在△ABC中，BC边上的高AO正好为，∴圆与边CB相切，如图．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【点睛】本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题.16、【解析】

先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。【详解】取CD中点为E，并连接AE、BE在中，由等腰三角形的性质可得,同理则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,在中，【点睛】本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）在中，由正弦定理得，，再结合在直角中，，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得，然后结合三角函数的有界性求解即可.【详解】解：（1）设，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，所以；（2）设，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因为，所以，即，即，根据三角函数有界性得，及，解得，所以角D的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.18、9【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由得，则当且仅当时，上式取“=”，所以.考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】

(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.【详解】（Ⅰ）证明：因为平面,所以；因为底面是菱形，所以;因为,平面,所以平面.（Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；因为平面，平面,所以；因为所以平面，平面,所以平面平面.（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下:分别取的中点，连接,在三角形中，且；在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;又平面，平面，所以平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20、(1)3,2,1(2)【解析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P(B)＝315＝121、（3）；（3）3．【解析】试题分析：（3）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．（3）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+3，根据直