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文档简介
2025届高平市第一中学高一下数学期末质量跟踪监视试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.设集合,集合为函数的定义域,则()A. B. C. D.2.已知集合,,,则()A. B. C. D.3.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1∶3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为()A.1∶ B.1∶9 C.1∶ D.1∶4.边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻,大约有80粒落在阴影区域内,则此阴影区域的面积约为()A. B. C. D.5.己知x与y之间的几组数据如下表:x0134y1469则y与x的线性回归直线y=A.(2,5) B.(5,9) C.(0,1) D.(1,4)6.已知a,b,,且,,则()A. B. C. D.7.若角的终边经过点,则()A. B. C. D.8.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从,,三所中学抽取60名教师进行调查,已知,,三所学校中分别有180,270,90名教师,则从学校中应抽取的人数为()A.10 B.12 C.18 D.249.设的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,,则角()A. B. C. D.10.在三棱锥中,,二面角的大小为,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知sin+cosα=,则sin2α=__12.若正四棱锥的所有棱长都相等,则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为____.13.如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值是5,那么f(x)在[-7,-3]上是_________.①减函数且最小值是-5;②减函数且最大值是-5;③增函数且最小值是-5;④增函数且最大值是-514.设数列满足,,且,用表示不超过的最大整数,如,,则的值用表示为__________.15.方程的解集为____________.16.如图,直三棱柱中,,,,外接球的球心为О,点E是侧棱上的一个动点.有下列判断:①直线AC与直线是异面直线;②一定不垂直;③三棱锥的体积为定值;④的最小值为⑤平面与平面所成角为其中正确的序号为_______三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设为正项数列的前项和,且满足.(1)求证:为等差数列;(2)令,,若恒成立,求实数的取值范围.18.如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,且点和分别为和的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长.19.已知函数,.(1)求函数的值域;(2)若恒成立,求m的取值范围.20.某企业生产一种产品,质量测试分为:指标不小于为一等品;指标不小于且小于为二等品;指标小于为三等品。其中每件一等品可盈利元,每件二等品可盈利元,每件三等品亏损元。现对学徒甲和正式工人乙生产的产品各件的检测结果统计如下:测试指标甲乙根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率。求:(1)乙生产一件产品,盈利不小于元的概率;(2)若甲、乙一天生产产品分别为件和件,估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元?(3)从甲测试指标为与乙测试指标为共件产品中选取件,求两件产品的测试指标差的绝对值大于的概率.21.在数列中,,,且满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设,,求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】
解不等式化简集合的表示,求出函数的定义域,表示成集合的形式,运用集合的并集运算法则,结合数轴求出.【详解】因为,所以.又因为函数的定义域为,所以.因此,故本题选B.【点睛】本题考查了集合的并集运算,正确求出对数型函数的定义域,运用数轴是解题的关键.2、C【解析】由题意得,因为,所以,所以,故,故选C.3、D【解析】解:因为在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1∶3,那么分为的两个锥体的体积比为1:,因此锥体被截面所分成的两部分的体积之比为.1∶4、B【解析】
依题意得,豆子落在阴影区域内的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比,即可求出结果.【详解】设阴影区域的面积为,由题意可得,则.故选:B.【点睛】本题考查随机模拟实验,根据几何概型的意义进行模拟实验计算阴影部分面积,关键在于掌握几何概型的计算公式.5、A【解析】
分别求出x,y均值即得.【详解】x=0+1+3+44=2,故选A.【点睛】本题考查线性回归直线方程,线性回归直线一定过点(x6、A【解析】
利用不等式的基本性质以及特殊值法,即可得到本题答案.【详解】由不等式的基本性质有,,故A正确,B不正确;当时,,但,故C、D不正确.故选:A【点睛】本题主要考查不等式的基本性质,属基础题.7、B【解析】
根据任意角的三角函数的定义,可以直接求到本题答案.【详解】因为点在角的终边上,所以.故选:B【点睛】本题主要考查利用任意角的三角函数的定义求值.8、A【解析】
按照分层抽样原则,每部分抽取的概率相等,按比例分配给每部分,即可求解.【详解】,,三所学校教师总和为540,从中抽取60人,则从学校中应抽取的人数为人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法,按比例分配是解题的关键,属于基础题.9、B【解析】
根据正弦定理,可得,进而可求,再利用余弦定理,即可得结果.【详解】,∴由正弦定理,可得3b=5a,,,,,故选:B.【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2).10、D【解析】
取AB中点F,SC中点E,设的外心为,外接圆半径为三棱锥的外接球球心为,由,在四边形中,设,外接球半径为,则则可求,表面积可求【详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF,因为则为二面角的平面角,即又设的外心为,外接圆半径为三棱锥的外接球球心为则面,由在四边形中,设,外接球半径为,则则三棱锥的外接球的表面积为故选D【点睛】本题考查二面角,三棱锥的外接球,考查空间想象能力,考查正弦定理及运算求解能力,是中档题二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】∵,∴即,则.故答案为:.12、【解析】
先作出线面角,再利用三角函数求解即可.【详解】如图,设正四棱锥的棱长为1,作在底面的射影,则为与底面所成角,为正方形的中心,,,,故答案为.【点睛】本题考查线面角,考查学生的计算能力,作出线面角是关键.属于基础题.13、④【解析】
由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果.【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称,则若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为1,那么f(x)在区间[﹣7,﹣3]上是增函数且最大值为﹣1.故答案为:④.【点睛】本题考查了奇函数的性质,函数的对称性及其应用等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.14、【解析】
由题设可得知该函数的最小正周期是,令,则由等差数列的定义可知数列是首项为,公差为的等差数列,即,由此可得,将以上个等式两边相加可得,即,所以,故,应填答案.点睛:解答本题的关键是借助题设中提供的数列递推关系式,先求出数列的通项公式,然后再运用列项相消法求出,最后借助题设中提供的新信息,求出使得问题获解.15、或【解析】
首先将原方程利用辅助角公式化简为,再求出的值即可.【详解】由题知:,,.所以或,.解得:或.所以解集为:或.故答案为:或【点睛】本题主要考查正弦函数的图像及特殊角的三角函数值,同时考查了辅助角公式,属于中档题.16、①③④⑤【解析】
由异面直线的概念判断①;利用线面垂直的判定与性质判断②;找出球心,由棱锥底面积与高为定值判断③;设,列出关于的函数关系式,结合其几何意义,求出最小值判断④;由面面成角的定义判断⑤【详解】对于①,因为直线经过平面内的点,而直线在平面内,且不过点,所以直线与直线是异面直线,故①正确;对于②,当点所在的位置满足时,又,,平面,所以平面,又平面,所以,故②错误;对于③,由题意知,直三棱柱的外接球的球心是与的交点,则的面积为定值,由平面,所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积为定值,故③正确;对于④,设,则,所以,由其几何意义,即直角坐标平面内动点与两定点,距离和的最小值知,其最小值为,故④正确;对于⑤,由直棱柱可知,,,则即为平面与平面所成角,因为,,所以,故⑤正确;综上,正确的有①③④⑤,故答案为:①③④⑤【点睛】本题考查异面直线的判定,考查面面成角,考查线线垂直的判定,考查转化思想三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据与的关系,再结合等差数列的定义,即可证明;(2)由(1)可求出,采用裂项相消法求出,要恒成立,只需即可求出.【详解】(1)由题知:,当得:,解得:当,①②得:,即.是以为首项,为公差的等差数列.(2)由(1)知:所以即.【点睛】本题主要考查与的关系,等差数列的定义,裂项相消法以及恒成立问题的解法的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.18、(1)证明见解析;(2);(3)【解析】
如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得,又因为分别为和的中点,得.(Ⅰ)证明:依题意,可得为平面的一个法向量,,由此可得,,又因为直线平面,所以平面(Ⅱ),设为平面的法向量,则,即,不妨设,可得,设为平面的一个法向量,则,又,得,不妨设,可得因此有,于是,所以二面角的正弦值为.(Ⅲ)依题意,可设,其中,则,从而,又为平面的一个法向量,由已知得,整理得,又因为,解得,所以线段的长为.考点:直线和平面平行和垂直的判定与性质,二面角、直线与平面所成的角,空间向量的应用.19、(1);(2)或.【解析】
(1)根据用配方法求出二次函数对称轴横坐标,可得最小值,再代入端点求得最大值,可得函数的值域;(2)由(1)可得的最大值为6,转化为求恒成立,求出m的取值范围即可.【详解】(1)因为,而,,,所以函数的值域为.(2)由(1)知,函数的值域为,所以的最大值为6,所以由得,解得或,故实数m的取值范围为或.【点睛】本题考查二次函数的值域及最值,不等式恒成立求参数取值范围,二次函数最值问题通常求出对称轴横坐标代入即可求得最值,由不等式恒成立求参数取值范围可转化为函数最值不等式问题,属于中等题.20、(1);(2)元;(3)【解析】
(1)设事件表示“乙生产一件产品,盈利不小于25元”,即该产品的测试指标不小于80,由此能求出乙生产一件产品,盈利不小于25元的概率.(2)由表格知甲生产的一等品、二等品、三等品比例为即,所以甲一天生产30件产品,其中一等品有3件,二等品有21件,三等品有6件;由表格知乙生产的一等品、二等品、三等品比例为,所以乙一天生产20件产品,其中一等品有6件,二等品有12件,三等品有2件,由此能求出甲、乙两人一天共为企业创收1195元.(3)设甲测试指标为,的7件产品用,,,,,,表示,乙测试指标为,的7件产品用,表示,利用列举法能求出两件产品的测试指标差的绝对值大于10的概率.【详解】(1)设事件表示“乙生产一件产品,盈利不小于元”,即该产品的测试指标不小于,则;(2)甲一天生产件产品,其中一等品有件;二等品有件;三等品有件;甲一天生产件产品,其中一等品有件;二等品有件;三等品有,即甲、乙两人一天共为企业创收元;(3)设甲测试指标为的件产品用,,,,表示,乙测试指标为的件产品用,表示,用(,且)表示从件产品中选取件产品的一个结果.不同结果为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有36个不同结果.设事件表示“选取的两件产品的测试指标差的绝对值大于”,即从甲、乙生产的产品中各取件产品,不同的结果为,,,,,,,,,,,,,,共有个不同结果.则.【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法,即按照古典概型的概率计算公式分别求出基本事件总数以及
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