数学（文）一轮教学案第五章第2讲平面向量的数量积及应用

第2讲平面向量的数量积及应用

考纲展示命题探究

考点展示考纲要求高考命题探究

(1)理解平面向量数量积的含义.

1.内容探究：求向度的数量积、向罡

(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

的夹角、向扇的模•利用向量的数届积

(3)掌握数屋积的坐标表达式，会进行平面向国数量积的运算.

平面向量的数量积判断向呈垂直.结合其他知识求参数取

能运用数摄积表示两个向国的夹角，会用数段积判断两个平面

(4)值范围或解决一些平面几何问题.

向量的垂直关系.

2.形式探究：本讲内容高考中多以选

(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.择题、填空题形式出现，有时会在解

数量积的综合应用

(2)会用向SI方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.答题中考查.

隔2考点一平面向量的数量积

⑱g基础点重难点

1平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量”和从记。A=mOB=b,

则/403=仇0。W6忘180。)叫做向量°与方的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量。和儿它们的夹角为仇

则数量|a||5|cos。叫做a与b的数量积，记作ab,即。协=|a||b|cos。.规

定：0«=0.

(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模⑷与8在a的方向

上的投影网cos。的乘积.

2平面向量数量积的性质

设。，方都是非零向量，e是与〃方向相同的单位向量，。是。与

e的夹角，则

(l)e-a=a-e=\a\cos6.

(2)a_l_g>a协=。

(3)当。与〃同向时，a'b=\a\\b\；当。与》反向时，a'b=~\a\\b\.

特别地，。也=同2或⑷

(4)cos6=J［而.

\a\\b\

(5)|。切W|a|网.

3平面向量数量积的运算律

(1)41=》以(交换律).

(2)2"协=4(。协)=刖/1办)(结合律).

(3)(a+A>c=trc+>c(分配律).

4平面向量数量积的坐标表示

设a=(%i,yi),b=(X2,yi),a,b的夹角为仇则

(1')a'b=x\x-i+y\yi.

(2)|G|=N上+货.若4(%i,yi),B(xi,竺)，

-►

则|AB|=\j(%1-%2)2+31—")2.

()一后宗后丞

(4)aJ_b0a,b-0台％i%2+yi.V2=0.

猴注意点数量积的含义和向量垂直与共线的区别

(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个

向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确

定.

(2)%1”一%2y1=0与xiX2+^1y2=0不同，前者是两向量a={x\,y\),

b=(x2,”)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件.

jfo小题棋做：

1.思维辨析

(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有

负.()

(2)若。山=0,则必有QJ_"()

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的

运算结果是向量.()

—►―►—►-►

(4)在四边形ABC。中，AB=D。且AC3Q=0,则四边形A3CQ

为矩形.()

答案(1)V(2)X(3)J(4)X

2.(1)已知。=(一3,2),Z»=(-1,O),向量入+D与。一2办垂直,

则实数7的值为()

11

--

-77

1

A.-

(-

6

-►—►―►—►-►

(2)如图，在△ABC中，AQ_LAB,3C=小BD,|AD|=1,^\AC-AD

=()

A.2sB.坐

C坐D.小

答案(1)A(2)D

解析(1)由条件得痴+》=(-32—1,2幻，a~2b=(~l,2),

因为及+b与2b垂直，所以(一32—1,22>(—1,2)=0,即32

+1+42=0,解得4=一；.

(2)ACAD=(AB+BC)AD

=ABAD+BCAD=BCAD

=小BDAD=yl3(BA+AD\AD

二5B4/Q+小AD2=事,选D.

话命题法解题法

•［考法综述］高考中有关平面向量的数量积运算包含三类问

题：①利用坐标计算平面向量的数量积；②根据平面向量的数量积的

定义计算几何图形中相关向量的数量积；③根据数量积求参数值.分

值在5分左右，难度中等.

命题法求向量的数量积'夹角'模及平行垂直的条件

典例(1)A。，BE分别是△ABC的中线，若依。|=|8园=1,且

—>—►-►-►

A。与BE的夹角为120°,则A®AC=()

AS

c.1

(2)设向量a=(—1,2),b=(m,l),如果向量a+2b与2a—b平行,

那么a与办的数量积等于()

7

A.-2

C.j

(3)已知平面向量a,p,|a|=l,网=2,a_L(a-20,贝U|2a+/?|

的值是.

—►—►

［解析］(1)：|A0|=|8E|=1,且与BE的夹角为120。，

—►―►—►―►I

Z.ADBE=|AZ)||5£|cos120°=一,

(2)a+2Z>=(—1+2m,4),2a—b=(—2—m,3),由题意得3(—1+

2m)—4(—2—zn)=O,则相=一；,所以a.方=TX(_；1+2X]=,.

(3)由题意可知a・(a-2夕)=0,结合|a0=l,

解得a/?=1,

所以|2a+川2=4/+482+。=4+2+4=10,

：.\2a+fl\=y[W.

[答案](1)D(2)D⑶/

Q【解题法】向量的夹角与模的求法

(1)两向量的夹角的范围是[0,7T]

当a与b的夹角是锐角时台。功＞0且。与b不共线；

当a与方的夹角是钝角时台a仍＜0且4与b不共线；

当a与方的夹角是直角时Oa协=0.

(2)向量的模的求法

①⑷

②|“±肝=(a±b)2=a2±2a'b+b2.

③若a=(%,y),则lalnyj+y.

建髭对点题必刷题

­►—＞

1.已知菱形4BCD的边长为a,NA8C=60。，贝i)8DCQ=()

A.—|a2B.一(屋

33

C./2D./

答案D

-►—►―►—►—►—►-►

解析在菱形ABCD中，BA=CD,BD=BA+BC,所以BDCD=

(BA+BC)-CD=BACD+BC-CD=a2+aXaXcos600=a2+^a2=^a2.

2.3c是边长为2的等边三角形，已知向量a,b满足AB=

la,AC=2a+b,则下列结论正确的是()

A.\b\=lB.a±b

—►

C.ab=lD.(4a+b)±BC

答案D

解析'：AB=2a,AC=2a-\-b,：,a=^AB,b=AC-AB=BC,

Lf

•「△ABC是边长为2的等边三角形,・・・/=2,a.b=^AB.BC=—l,

—►—►—►—►—►-►

故。，方不垂直，4a-\-b=2AB+BC^AB+AC,故(4a+〃)NC=(A8+

—►—►—►

AC)ZC=—2+2=0,.,.(4a+Z>)±BC,故选D.

扫一扫.听名师解题

A.20B.15

C.9D.6

答案C

解析选择AB,AD为基向量.•.•8M=3MC,...AM=A8+3M=

33

A8+/C=AB+1A0,又QN=2NC,:.NM=NC+CM=

-►->-►»1j

于是AB+^AD.7AB-7AD=Z（4A8+3AO）D（4A8-3AQ）

I4八34Jr人乙

1

双（16H3F—9|AO|2）=9,故选C.

2\[2

a,b满足同尸^-1外且（Q—》），（3a+28），则。与b的夹角为（）

扫一扫•听名师解题

c九

B，2

c空D.7T

答案A

解析由条件，得(a—>>(3a+28)=3a2—2小一“仍=0,即ab=

3“2-2".又⑷=斗&例，所以。仍=3户孚|加2—2庐=,。2,所以cos〈a,

b)=温=^~二冬所以〈db)=45故选A・

5.若向量a"满足：|a|=L(a+b)±a,(2a+Z>)±Z>,则步|=()

A.2B.也

C.1D.孚

答案B

解析V(a+Z>)±a,|a|=l,

(«+Z>)a=0,

|«|2+«-Z>=0,.\ab=—l.

又•.•(2a+5)_L仇

A(2a+byb=0.：.2ab+|Z>|2=0.

.•.|臼2=2.二.|加=也，选B.

6.平面向量a=(l,2),〜=(4,2),c=ma+伙m£R),且c与。的

夹角等于c与》的夹角，则机=()

A.-2B.-1

C.1D.2

答案D

解析Va=(l,2),力=(4,2),

c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2).

又Tc与a的夹角等于c与5的夹角,

/.cos〈c,a〉=cos〈c,b).

.c-aob5m+88/篦+20

••丽=丽，即耐二邛昌解得m=2.

7.已知A,B,C为圆O上的三点，若4O=T(AB+AO,贝ijAB与

AC的夹角为.

答案90°

fff

解析由AO=/(AB+A。可得。为8c的中点，则8c为圆。的

—>―►

直径，即NBAC=90。，故AB与AC的夹角为90。.

8.已知向量”,〜满足10=1,方=(2,1),且加+8=0(2£R),则

W=-

答案小

解析网=y2?+F=小,由.+6=0,得b=—2a,故|5|=|一冽

=|4|"|,所以以1=弓=¥=小.

9.已知单位向量ei与62的夹角为a,且cosa=；,向量a=3ei

—2e2与〃=3e］一e2的夹角为则cos£=.

答案手

解析a-b=(3ei-2e2)-(3ei-e2)=9+2-9XlX1x1=8.

22

V|«|=(3ei~2e2)=9+4~12X1X1x|=9,二.|a|=3.

：|加2=(3ei—C2)2=9+1-6X1X1X1=8,

.,,,_5.艮ab82也

..向一20山，..cosQ—⑷网—3X2姆一3•

-►

10.如图，在平行四边形ABCO中，已知AB=8,AD=5,CP=

-A-A―►—►—►

3PD,APBP=2,则A8AQ的值是.

P

D,C

答案22

―►—►—►—►―►

解析由题意知，AP^AD+DP=AD-\-^AB,

33

BP=BC-\-CP=BC+^CD=AD-^AB,

所以APJ?P=AD+|AB|[AD-|AB

f1ff3f

1・77AB2,

=AD—%ZAlDoAB—

1一—3

即2=25—芯。/3—77*64,

Zlo

解得AB-AQ=22.

能考点二数量积的综合应用

嚷点基础点重难点

1向量在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充

要条件：。〃力件。=劝(方W0)台％H2—X2y1=0.

(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：

a_Lb^-^U'b—yiy2=0.

(3)求夹角问题，常用公式：

、力ab为忿+一竺

co，\a\\b\.一+允

(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

—►

\AB\=\AB\=，(检一为1+⑴一yip.

2向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高

考热点问题.解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公

式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关

知识.

3向量中的不等式

①|a切W|a||例;②|同一例土b|W|a|十M

M注意点坐标系的应用

向量在平面几何中的应用，往往与求模、夹角、面积等有关，如

果建立适当的坐标，可将问题转化为向量的坐标运算使问题简化.

小题机做：

1.思维辨析

―►—►—►—►-►

(l)AASC内有一点0,满足OA+OB+OC=0,且0408=

—►-►

0B0C,则3c一定是等腰三角形.()

(2)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化

的主要手段是向量的坐标运算.()

—►—►

(3)在△ABC中，若A8/C<0,则为钝角三角形.()

271

(4)作用于同一点的两个力网和g的夹角为不，且|*|=3,|F2|

=5,则川+/2大小为机.()

答案(1)V(2)V(3)X(4)7

―►

2.已知点A(l,0),抛物线V=4%，点。是抛物线上的一点，若QA

-A

=2AP,则点尸的轨迹方程为.

答案/=3-2%

解析设P(x,y),。(%0,州)，则有了8=4%0,且QA=(l-%0,

泗)，AP=(%-1,y),由QA=2AP,得

1一xo=2(x-1)xo=3-2x

*解得c即0(3—2%,-2y)代入抛物线

—yo=2yyo=-2y

方程得：y2=3-2x,所以点P的轨迹方程为V=3—2x.

法命题法解题法

/［考法综述］平面向量的数量积的应用，主要与三角函数、解

析几何相结合、综合性强，难度中等，有时以客观题形式考查，有时

会出现在解答题中，需灵活运用向量的相关知识进行转化.

命题法利用数量积证明平行垂直或数量积与三角函数解析几

何的综合应用

IT

典例（1）在平行四边形A5CZ）中，NA=§,边AB、ADM.N

分别是边3C、。上的点，且满足丹=守，贝IJAM/N的取值范围

13cl\CD\

是•

（2）已知向量G=［cos苧，sin苧），5=卜05^,—sin野，且工£

7171

__3,4J

①求ab及|“十"；

②若八工）="力一|。+"，求«x）的最大值和最小值.

I解析］(1)建立平面直角坐标系，如图.

则仅2,0),电挈，

.•.4跖4%=修+2)住一22)+m=一凡―22+5=—(2+1)2+6.V

0WAW1,：.AM-AN^[2,5].

(2)®a-b=cos苧cos卷一sin苧sin5=cos2x.

..(3%x.3%

.a+b=(cosg十cos],siny—

3%।J.3%

cos,十cos寸+[sm/~一

\a+b\=2

=、2+2cos2%=21cos尤

,•u匹匹

•xQ3,45

cos%>0,\a~\~b\=2cosx

@f(x)—COS2JC—2cos^=2cos2x—2cos^—1

=2,os%一

..u匹匹.gwcosxWl,

•%3,45

13

...当COS%=1时，八%）取得最小值一/；

当COSX=1时，八%）取得最大值一1.

［答案］（1）［2,5］（2）见解析

9【解题法】向量在几何和三角函数中的解题及策略

解决向量与三角函数知识综合题的关键是把向量关系转化为向

量的有关运算，再进一步转化为实数运算（即坐标运算），进而构建出

三角函数，然后再考虑三角函数的相关性质，如单调性、最值、周期

等，有时还会带有参数，解题时要注意分类讨论.

®对点题必刷题

AAA.A

AB.LAC,|AB|=p若点尸是△ABC所在平面内的一点,

—>—►

且AfP=A¥R+黄4AC，则尸f8/fC的最大值等于（）

\AB\\AC\

答案A

解析依题意，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为％轴,

AC所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点

尸(1,4),*,0),C(0,。，所以尸1,—4)(—1"—4)='—1)

义(-1)-4*«-4)=17—：一4，・17—2y；><4，=13(当且仅当;=41,

1ff

即，=2时取等号)，所以尸3•尸C的最大值为13,故选A.

2.设向量G,〜满足|。+川=，1^,\a-b\=\[6,贝Ia必=()

A.1B.2

C.3D.5

答案A

解析由|a+〃|=，T5得。2+方2+2”巧=10,①

由|a一"=4^得/+〃—2a仍=6,②

①一②得4a6=4,'.ab=\,故选A.

3.已知菱形A3CQ的边长为2,/区4力=120。，点E,厂分别在

ffffD

边3C,QC上，BE=XBC,=MC若A£AF=1,CECF=-j,则

丸+〃=()

A.gB.1

C.7D.T77

o12

答案C

—►—►—►—►—►—►—►-►

解析以A3,AQ为基向量，则A£Ab=(A8+2AO>(AZ)+〃45)

—>—►—>-►—>—>

=〃A82+2AZ)2+(l+M)A8•A。=4(x/+#一2(l+M)=l①.C£C/=U

-1)BC(//-1)DC=-2(丸一1)(//-1)=-|(2),由①②可得A+//=1.

―►―►—►—■►

4.已知点O为△A3C的外心，且|AC|=4,1ABi=2,则AO/C=

答案6

解析因为点。为△ABC的外心，且|AC|=4,\AB\=2,

—►—►―►—►-►

所以AO/C=AO(AC—A3)

-A-►—A-►

=AOAC~AOAB

―►—►—►—►—►—►—►—►

=|AO||AC|cos〈AO,AC)-|AO|H卦cos〈40,AB)

ff1ff1

=|AC||AC|X^-\AB\\AB\X-=6.

5.在直角梯形ABC。中，ZA=90°,ZB=30°,AB=2小,BC

―►—►―A

=2,点E在线段CD上，若A£=AO+&A3,则林的取值范围是

答案0,1

解析由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB

=(2事¥+22—2X2小X2cos30。=4,

二.AC=2,：.AC=BC=2,

AZCAB=30°,ZDAC=60°.

AD=1,AEG[1,2],

—■>—►-►

'：AE=AD+fiAB,

—►—►—►—►-►

.\|AE|2=(AD+//AB)2=|AD|2+砰=1+(2^3)2//2=1+12//2,

—►

|A£|2—1-

江=石一，V|AE|e[l,2],

.•.〃2£o,1,由梯形A3CD知〃20,；.//e0,

—►—►-►

6.设G是△43C的重心，且由sinA.GA+3sinBG3+3SsinCGC

=0,则角B的大小为.

答案|

―►—►-►

解析•.•巾sinA-GA+3sin»G3+3巾sinCGC=0,

—►-►

设三角形的边长顺次为a,h,c,由正弦定理得SaGA+3万G8+

—►

3市cGC=0,

由点G为△ABC的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：

—►—►—►—►—►—►—►—►―►

3GA=BA+CA,3GB=CB+AB,3GC=AC+BC,

—►―►—►—►―►—►

代入上式得：币a(BA+C4)+3b(CB+AB)+3由c(AC+BC)=0,

―►―►-►

又CA=C3+A4,上式可化为：

—>—►—>—►-►-►

巾a(2BA+CB)+3仇A8+CB)+3由c(—BA+23C)=0,

—>―►

即(2巾a-3b-3币c)BA+(一币a—3b+6币c)BC=U,

2巾a-3b—3艮=0,①

则有《厂,r人

.—y[7a—3/7+6v7c—0,②

①一②得3小a=9\ftc,即a：c=3：1,

设a=3k,c=k,代入①得b=ypk,

a2+c2-Z?2922+22—722i

•••c°sB=-京—=航=》

・兀

%Oy中，已知向量/n=(乎，一孝)，n—(sinx,cosx),5).

(1)若机_!_〃，求taax的值；

(2)若机与〃的夹角为W，求％的值.

解(1)V/n±n,.'.mn=0.

故察inx—乎cosx=0,

・・tanx=1.

V2.也

GSUIT-cCOSX

71m・n22

与的夹角为w，

(2)*/mn/.cos(m,n)=\m\-\n\~1X1

I，故sing7T1

2,

又％H。，?，:•%_*[—今却x-l=j,即尸危，故％的值

5兀

为

12,

原曲微型专题平面向量数量积中的创新问题

创新考向

1.以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此

类问题通常以数量积运算为核心，通过数形结合，转化化归等途径，

解决与几何有关的问题，或以向量自身为背景，解决有关模、夹角等

问题.

2.命题形式常见有新法则、新定义、新背景、新性质、新运算

等.

创新例题

在平面直角坐标系％Oy中，已知向量a,b,|a|=|b|=l,ab=0,

―►-►

点。满足0。=/(a+6).曲线C={P|OP=acos6+Asin。，0或。<2兀},

-►

区域0={P|O<〃W|PQWR,r<R}.若CG。为两段分离的曲线，则

()

A.l<r<7?<3B.l<r<3WR

C.W1<R<3D.\<r<3<R

答案A

-A

解析根据题意不妨设tt=(l,0),b=(0,l),「.0Q=&(a+A)=

枢啦),

OP=acos8-\-bsin0=（cos0,sin。）,

，|PQI=I(近一cos。，啦一sin9)|

=4（碑—cosey+（啦一sin。）?

=寸5—4sin（0+W（0W0<2兀）.

，1W|PQW3,

—►

易知曲线C为单位圆，又♦.•区域0={P|O<rW|尸Q|WR,r<R},

且CG0为两段分离的曲线，结合图形可知，卜，R][1,3]且端点不

重合，，l<r<R<3.故选A.

创新练习

1.定义平面向量之间的一种运算如下：对任意的。=(，”,

n),b—(p,q),令a0b=mq一州,下面说法错误的是()

A.若“与分共线，则4。方=0

B.aQb=bG)a

C.对任意的有(Az)Ob=2(aO3

D.(a0ft)2+(a-b)2=a2b2

答案B

解析若。与b共线，贝U有a。方=加9—取=0,故A正确；因

为bQa=pn—qm,而aQb=mq—np,所以有aQb^bQa,故B项

错误；同理可验证C、D正确，故选B.

2.对任意两个非零的平面向量a和夕，定义”叩=篇.若平面向

量a,方满足⑷力|例>0,a与方的夹角。£(0,皆，且。。方和6a都在

集合中，则。。》=()

A.2B.1

「35

C，2D，2

答案C

解析根据题中给定的两个向量的新运算可知。。方=察=

b*b

\a\X\b\XcosO1aleos618|cos9,C小4徨啦.

步F-田|，灰。一闷，又7由6£|0,4”侍2<cosae<i，

由⑷冽例>0可得Oc^Wl,于是0〈也等<1,即加。£(0,1),又由于

方。?八£z},所以回常幽=寺，即⑷=2|8|cos8.①

同理嗤典〉坐，将①代入后得2cos2。>半，又由于。。方£

〃I72F7

所以aob=2cos2(9=](〃£Z),于是1</<2,故〃=3,二.cos。

=4，⑷=小叫

.L小例下3,,,,_

•-a°b—।"X2—2,故选C.

3.对于非零向量/〃，n,定义运算''*"：m*n=\m\\n\sin0,其中。

为m，〃的夹角，有两两不共线的三个向量a,b,c,下列结论正确

的是()

A.若a*b=a*c,贝lj6=c

B.(a*A)c=aS*c)

C.a*b=(—a)*b

D.(a+Z>)*c=a*c+》*c

答案C

解析a,b,c为两两不共线向量，则a,b,c为非零向量，故

A不正确；设a,方夹角为仇b,c夹角为a,则(a*〃)c=|a||A|sin%,

aS*c)=|训c|sinm,故B不正确；同理，D不正确；a*b=\a\\b\sin0=\

一a||〃sin(7t—0)=(—a)*尻故选C.

创新指导

1.准确转化：解决数量积中创新问题时，一定要读懂题目的本

质含义.紧扣题目所给条件，结合题目要求恰当转化，切忌同已有的

概念或定义混淆.

2.方法选取：对于创新问题，要恰当选取解题方法，如数形结

合，等价转化，特殊值，逐一排除等方法，并结合数量积性质求解.

学霸错题警示未弄清向量的数量积与它们夹角的关系致误

起已知两向量劭，62满足|ei|=2,阴|=1,ei,及所成的角为60°,

若向量2®+7e2与向量约+%2所成的角为钝角，求实数t的取值范

围.

［错解］

由孑白爰2封十笈与白遨&十地的威的我为见机

;.（2也十7@•（司十怩）<£）

印21叶/“十7<0,解符一7<1<一-r

小的取值克朗是（一7,一看）.

［错因分析］将两向量的数量积小于零与两向量的夹角为钝角

看成是充要条件，而导致求解错误.

［正解］设向量2®+702与向量d+超2的夹角为仇由6为钝角，

知cos6><0,故

（2®+7。2>®+您2）=2©+（2岸+7）0「02+7期=2尸+15f+7<0,

解得一7«<一金.

若向量2®+7e?与向量ei+反向，贝!］2te\+7e2=k（ei+

te2）（k<0）,

从而E’一：且NO,解得［'=-2，即当「=一华时，

jU-V14,2

两向量所成的角为71.

所以/的取值范围是一7,一日“Ju—杏.

［心得体会］

对孑两个中客向遨X与厂，君们的美为e的取

值兖阂是匚。，n］,应持躬汉妥e予龙e二开的情

况，加6Gb,三）是7•4）。的丸与不必要条件；

%（?,n）是了,了〈0的丸公不必耍条件；0二a

设•左。的先宴条件.

.整课时撬分练

时间：45分钟

基础组

1.[2016・武邑中学仿真]已知平行四边形A8CO中，AB=1,4。=

-A-►

2,ZDAB=6Q°,则ACAB等于()

A.1B.小

C.2D.2小

答案C

—►—►-►

角翠析'：AC^AB+AD,

―►-►—►—>—►—>—>―►-■>—►

ACAB=(AB+AD)AB=\AB^+ADAB=l+|AD||AB|cos60°=

2.

2.[20⑹衡水中学模拟]已知点P(3,3),。(3,-3),O为坐标原

10poMW12,

点，动点M(%,y)满足，则点M所构成的平面区域

JOQOMW12,

的面积是()

A.12B.16

C.32D.64

答案C

解析•.•OP=(3,3),OM=(x,y),0。=(3,-3),

AOPOM=3x+?>y,OQOM=3x~3y,

|3x+3y|W12,—4W%+yW4,

|3%-3y|W12.—4W%—yW4.

画出平面区域可得，面积为32.

3.[2016•冀州中学期中]若|a+A|=|a—"=2⑷，则向量“十》与a

的夹角为()

•兀c兀

A6B3

C”D-

J3u-6

答案B

解析由|a+b|=|a—臼两边平方，得。z=0,由|a—b|=2|a|两边

平方，得3层+2a6—浜=0,故方=3层,则(6+8>4=，+。力=",1"

+bl=yja2+2a-b+b2=2\a\,设向量a+b与a的夹角为仇则有cos。

(a-\-b)aa21,,7t

=|“+回同=不=5'故

4.[2016彳断水中学仿真]向量AB与向量。=(—3,4)的夹角为兀，|48

1=10,若点4的坐标是(1,2),则点3的坐标为()

A.(-7,8)B.(9,-4)

C.(-5,10)D.(7,-6)

答案D

解析设点8的坐标为(加,〃)，由题意，COS〈A8,G〉=—1=¥%

\AB\\a\

(m-1)X(—3)+(n-2)X4

5X^(m—l)*2+*56(n-2)2'

—►

化简，得(一3加+4〃-5)2=25[(m-1)2+(〃-2)2],①又|45|=

10,即7(m—1)2+(〃-2，=10,②

联立①②，得m=7,n=-6.

5.[2016•枣强中学预测]设％,y£R,向量a=(x,l),Z>=(1,y),

c=(2,—4),且aJ_c,b//c,则|a+〃|=()

A.^5B.V10

C.2小D.10

答案B

解析由a_Lc,得a-c=2x—4=0,解得％=2.

由〃〃c,得]=T^，解得y=-2,

所以a=(2,l),b=(l,—2),a+b=(3,—1),la+bl=y/W,故

选B.

6.[2016.冀州中学一轮检测]已知向量a=(k,3),b=(l,4),c=

(2,1),且(2a—3《J_c,则实数2=()

A.一]B.0

C.3D.-^

答案C

解析由已知(2。一3》)_Lc,可得(2a—38>c=0,即(2人一3,—

6).(2,1)=0,展开化简得4k—12=0,所以Z=3,故选C.

7.[2016•武邑中学一轮检测]已知向量a,5满足⑷=1,（。+办3

—2»=0,则|例的取值范围为（）

口

,2-1B.[2,4]

AC.1一1

-

一2

4-

答E

案

解析由题意知8W0,设向量a,b的夹角为仇

V（a-\-by（a-2b）=a2—ab—2b2,又|a|=1,

1一步|cos8-2|例2=o,.•.血co$0=1一2卅,

-1WcosOW1,一|回W1—2网2W制，

二.吴网W1.

8.[2016•武邑中学月考]已知平面向量的夹角为120。，且a0

=—1,则|a—臼的最小值为（）

A.册B.小

C.啦D.1

答案A

解析由题意可知一1="•》=|«||Z>|-cosl20°,所以2=

lap+而2

|a||A|W----2----，即|aF+|A|2》4,|a一"2="2—20。+~2=/+。2+224

+2=6,所以|a一回、加，选A.

­►—>

9.[2016•冀州中学期末]设M是△ABC内一点，且A8AC=2小，

N3AC=30°,定义式〃）=（m，n,p）,其中加、〃、〃分别是△M8C,

△MC4（K4B的面积，若/（M）=g%,y）,则鸿的最小值是（）

A.8B.9

C.16D.18

答案D

解析'：AB-AC=2y[3,ZBAC=30°,

A|AB|-|AC|-cosZBAC=2V3,解得|A3||AC]=4,

111

..S^ABC=^AB\\AC|sinZBAC=.X4X5=1.

x,A.,..+:+y=SAABc=l,

•••X+y=11+如=/+扣<+y)=2g+^+5)

22=18(当且仅当％=/，尸;时取等号)，故选D.

10"2016彳氮水中学热身]关于平面向量a,A,c有下列三个命题:

①若a6=a・c,则b=c.

②若a=(Lk),Z>=(—2,6),a//b,则2=—3.

③非零向量a和b满足⑷=网=|“一讣则a与a+b的夹角为60。.

其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).

答案②

解析命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得1X6+2%

=0,...左=一3,故命题②正确.

由⑷=|A|=|a—例，再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角

为30。，命题③错误.

11.[20⑹衡水中学预测]非零向量a,b满足⑷=2,步|=1,且|a

—2旬£(2,2小],则a,方的夹角。的取值范围是.

宏安(匹”

口木13'3.

解析V|a-2Z»|£(2,2®；.(«-2ft)2e(4,12],即a2+4b2~4ab

=4+4-8cos0e(4,12],

.八「11),,(7i2n

..cos6£—2b故Z1-

12.[2016•枣强中学热身]已知向量a=(4,5cosa),方=(3,—4tana),

aA.b,求：

(DM+孙

(2)cos1a+3的值.

解(1)因为。_1_方，所以a/=4X3+5cosa><(-4tana)=0,解得

3

sina=y

又因为a£

sin。3

所以cosa=m，

tana•~cosa~~~4A

所以a+Z>=(7,l),

因此|a+b|=-\/72+l2=5娘.

(2)cosl«+^]=cosac若—疝涵或=卜乎―|x盅—虚

2W

能力组13.[2016彳断水中学猜题]在直角三角形ABC中，点。是

斜边A3的中点，点P为线段CQ的中点，贝产片泮=()

A.2B.4

C.5D.10

答案D

解析解法一：以C为原点，CA,所在直线为了,y轴建立

直角坐标系.设4区