奥数讲义-第3讲三角形-5龙班学生版

第五讲三角形

本讲纲要

@§5.1三角形的基本概念性质@§5.3三角形的特殊巧合点

1.三角形构成与内角和定理1.重心

2.三角形的重要线段2.外心

3.三角形的面积3.内心

4.三角形边角关系4.垂心

@§5.2全等三角形@§5.4特殊三角形

1.SAS边角边公理与应用1.等腰三角形

2.ASA角边角公理与应用2.直角三角形

3.SSS边边边公理与应用3.等边三角形

4.HL直角三角形的全等与应用

5.常用全等三角形证明构造方法

1)截长法、补短法构造三角形全等

2)旋转法构造三角形全等

3)平行线构造三角形全等

§5.1三角形的基本概念性质

⑥考试要点剖析

每个三角形都有三条边和三个角.它们是互相联系、互相制约的，这体现在以下方面：

(D边与边之间的关系：两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边.

(2)角与角之间的关系：三个内角的和等于180°

1.三角形构成与内角和定理

例L

1)(★★★第37届莫斯科数学奥林匹克题)已知：用长度为a、b、c的线段可以作三角形.试证:

111

用长度为a+c'/>+c、a+5的线段也可以作成三角形.

2)(★★1997年安徽部分地市联赛题)如图，N1+N2+/3+N4+/5+N6+/7的度数为

A.450°B.540°C.630°D.720°

2.三角形的重要线段

三角形的角平分线三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫

做三角形的角平分线.

三角形的中线在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.

三角形的高从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，

简称三角形的高.

三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.中位线平行于底边且等于底边的

一半.

三角形的外角平分线三角形一个内角的邻补角的平分线与这个角的对边的延长线相交，这个角的顶

点和交点之间的线段叫做三角形的外角平分线.

三角形的内角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.同一个三角形中，大角的角平分线长短于

小角的角平分线长.

三角形中任何一边上的中线都把三角形分成面积相等的两部分.同一个三角形中，大边上的中线短于

小边上的中线.

三角形的任何一边上的高都垂直于该边.三角形的三条高未必都在三角形的内部.

三角形的内角平分线、中线和高又有相同之处：在同一个三角形中，无论是三条中线，还是三条高，

或者三条内角平分线，它们分别相交于一点.

在不混淆的情况下，有时，三角形的角平分线、中线和高也指它们所在的直线.

例2.

1）2003年全国联赛题）如图AA'、分另I」是NEAB、/DBC的平分线.若AA'=BB'=AB,

则/BA（曲度数为

【解1

2）第27届莫斯科奥林匹克题）aABC的边AB和BC上的高线（分别）不短于边长，试求该三

角形的各个角度数.

【解】：

3）（★★1995年四川省竞赛题）在aABC中，P、Q分别是边AB和AC上的点，中线AM与PQ交于

N.若AB：AP=5：2,AC：AQ=4：3,贝！JAM：AN=

3.三角形的面积

海伦公式S△极=vW-a）（p—W^记a=专储+6+，）

等底等高的两个三角形面积相等；

两个等底的三角形的面积比等于底边上对应高的比；

两个等高的三角形的面积比等于它们底边的比.

例3.

1）（★★★2001年重庆市竞赛题）如图1T2,在AABC中，D、E是AC、BC的中点，BF=9AB。

BD与FC相交于G,连结EG.

（1）求证：GE/7AC；

S△砥;

⑵求的比值.

【解】:

2）第7届美国邀请赛题）如图1一14,P是aABC内的一点，连接AP、BP、CP并延长，分

别与BC、AC、AB交于D、E、F,已知：AP=6,BP=9,PD=6,PE=3,CF=20.求AABC的面积.

4.三角形边角关系

在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，相等的角所对的边相等；较大的边所对的角较大，较大

的角所对的边较大.

斯特瓦尔特定理设P为△ABC的边BC上一点，则

心=,•差.器-BC?.塞•鼠

注若点P在边BC的延长线上时，则有

22

AP.||+AC.^+BP.PC；若点p在边BC的反向延长线时，则有

AP2=AB2--AC2.煞+BP•PC.

nC.JDC

特别地，当AP为三角形中的重要线段时，有以下结果.

(1)当AP为边BC上的中线时，贝!)

AP2=^-AB2+4-AC2-4-BC2

(2)当AP为角A的平分线时，则

AP2=AB•AC-BP•PC.

(3)当AP为角A的外角平分线时，则

AP2=-AB-AC+BP-PC.

(4)当AABC为等腰三角形，即AB=AC时，贝!|

AP2=AB2-BP•PC.

例4.

1)(★★★1990年全国联赛题)在aABC中，AB=2AC=&,BC=2,设P为边BC上任一

点，则.

A.PA2VPB•PCB.PA2=PB•PC

C.PA2>PB•PCD.PA2与PB.re的大小关系不确定

【解】：

2)1990年全国联赛题)在AABC中，AB=AC=2,边BC上有100个不同的点

Pl、P2,…，P1。。•记加，=AP1+•PiC(i=1,2,…，100),则mt+rn2H-----F

加100=__________

§5.2全等三角形

@考试要点剖析

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.其中互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做

对应边，互相重合的角叫做对应角.

实现重合离不开运动，完全重合是运动的结果.至于运动的过程，则有不同的方式.因此，全等三角

形的图形归纳起来有以下几种典型形式.

(1)平移全等型，如图2—1.

S2-1

(2)对称全等型，如图2—2.

(4)以上类型的复合型，如图2—4.

全等三角形的对应边相等，对应角相等，三角形中各种对应线段也相等.寻找对应边和对应角，常用

到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.

(3)有公共边的，公共边常是对应边.

(4)有公共角的，公共角常是对应角.

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)

是对应边(或对应角).

要想正确表示两个三角形全等，找出对应元素是关键.

1.SAS边角边公理与应用

例5.

1）（★★★1997年全国联赛题）设P为等腰直角三角形ACB的斜边AB上任意一点，PE垂直AC于

点E,PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在延长线上取一点D,使得PD=PC.试

证：BC1BD,且BC=BD.

【解】：

证明如图2-6,因/EPG=NEFP=NCPF,

2）（★★★1996年河南省竞赛题）已知：BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC,

点Q在CE上，CQ=AB,求证：（1）AP=AQ；⑵

【解】：

3）（★★★第33届莫斯科奥林匹克题）在正△ABC内部有一点0,已知

ZAOB=113°,NBOC=123°若一个三角形的边长等于0A、OB、0C.试求：这个三角形的各角度数.

4）（★★★1991年北京市竞赛题）例5如图2—9,AABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角

NBDC=120"的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M,交AC于N,,连

结MN,形成△AMN.求aAMN的周长.

【解】：

2.ASA角边角公理与应用

例6.

1）（★★★1992年全国联赛题）如图2—12,在△ABC中，AB=AC,D是底边BC上一点，E是线段

AD上一点，且/BED=2/CED=/BAC,求证：BD=2CD.

【解】：

2)(★★★1983年南斯拉夫竞赛题)在aABC内取一点M,使得/MBA=30°,/MAB=10°.设

ZACB=80°AC=BC,求/AMC的度数.

【解】：

3)(★★★★1991年北京市竞赛题)在AABC中，/BAC=5.25°,AD是NBAC的平分线，过A作

DA的垂线交直线BC于点M.若BM=BA+AC.试求/ABC和/ACB的度数.

3.SSS边边边公理与应用

例7.

1)(★★)求证：如果两个三角形有两条边和第三条边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等.

2)(★★)试证明：有两条边及一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.

【评述】：由此2例可知，如果两个三角形有两条边对应相等，再加上一条中线或一条角平分线对应

相等，则两个三角形必全等.而加上任一条高线对应相等则不一定全等.

3)(★★★2003年全国联赛题)在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF.过

E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P,设线段PA、PB的中点分别为M、N.求证：

(1)△DEMyAFDN；(2)/PAE=/PBF.

【解】：

4)(★★★第15届莫斯科奥林匹克题)如图2—20,在等腰AABC中，顶角/B=20°,分别在BC和

AB上取点D、E,使/D4C=60°,/ECA=50°试求/ADE的大小.

AC

【解1

4.HL直角三角形的全等与应用

直角三角形的如下性质：

(1)直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半；

(2)直角三角形的斜边等于一条直角边的两倍，则此直角边所对的角为30c

【评述】：这是两个非常有用的结论.对于(1)的逆命题显然是成立的；对于(2)的逆命题：若三角形

的一边长等于最短边的两倍，且最短边所对的角为30时，则此三角形为直角三角形.类似(1)的证明，运

用直角三角形全等可证明此结论也是成立的.

例8.

1)(★★★1965年基辅奥林匹克题)设从三角形一个顶点引出的中线与高三等分此顶角，计算此三

角形各角的度数.

【解】:

2)(★★★1999年重庆市竞赛题)如图，等腰直角三角形aABC中，

ZBAC=90°,AD=AE,AFIB峰BC于点F,过F作FGJ_BE延长线于点G。求证：BG=AF+FG.

【解】:

3)(★★★1999年武汉市竞赛题)如图2—24,已知Rt/iABC中，CD是斜边AB上的高,

。、Oi、Q分别是△ABC、△ACD4BCD的角平分线的交点.求证：

(1)OyO^COz；(2)OC=OQz.

A

4)(★★★1996年天津市竞赛题)如图2—25,△ABC是等腰直角三角形，NC=90°,点M、N分别

是边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD=2BM.点E在射线NA上，且NE=2NA,求证:BD1DE.

【解1

5.常用变化方法

1)截长法、补短法构造三角形全等

例9.

1)(★)如图6—25,已知在△ABC中，AB>AC,AD平分/BAC,求证：BD>DC.

【解1

2)(★★★2001年江苏省初中数学竞赛题)(1)如图6—26,已知：四边形ABCD中，AB=AD,

=60•，/BCD=120.，证明：BC+DC=AC.(2)如图6—27,四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=60*

,P为四边形ABCD内一点，且NHADNAPD=12(r,证明：PA+PC+PD'BD.

A

【解】：

2）旋转法构造三角形全等

例10.（★★★）如图，在正方形ABCD中NEAF=45,,APJ_EF,求证：AP=AB.

【解1

3）平行线构造三角形全等

例1L

1）（★★★1997年上海市初中数学竞赛题）如图6.29,在直角AACB中，CD为斜边AB上的高，NA的

平分线AF交CD于E,过E引EG〃AB交BC于G.若CE=3,则BG的长为

【解】：

2）2001年江苏省初二数学竞赛题）如图6—31,已知AD是△ABC的中线，E,F分别在AB,

AC上，S.DE1.DF,贝!|

A.BE十CF>EFB.BE+CF=EF

C.BE+CF<EFD.BE+CF与EF的大小关系不确定

§5.3三角形的特殊巧合点

包考试要点剖析

1.重心

性质1三角形的重心到一边中点的距离等于这条边上的中线之长的三分之一.

性质2若G为AABC的重心，贝！JS*=S△*==泉。•反之,设G是内一点，且

S*=S△，a=S/=彳S..贝°6为.ABC的重心.

性质3若G为4ABC的重心，则BC2+3AG2=CA2+3GB2=AB2+3GC2

=4（AB2+BC2+CA2）.

性质4若G为aABC的重心，连AG并延长交BC于D,则D为BC的中点.

性质5若G为AABC的重心，且AG?+BG2=CG?则两条中线AD、BE互相垂直；反之若两中线4）±BE,

2

则AG2+BG2=CG.

例12.

1）（★★1991年上海市竞赛题）设M为△ABC的重心，且M=3,BM=4,CM=5.求aABC的面积.

2）（★★1991—1992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆联赛题）如图，D是△&（；的边BC上的一

DG

点，点E、F分别是aABD和4ACD的重心，连结EF交AD于点G,则第的值是多少？

【解】:

3）（★★1997年陕西省竞赛题）已知22ABCD中，E是AB的中点，AB=10,AC=9,DE=12,则ABCD

的面积s=__________

【解】:

4)(★★★第20届莫斯科奥林匹克题的推广，1991年黄冈地区竞赛题)在AABC中，G为重心，P

,，”，八，4TA'P,B'P,C'Pc

为形内一点，直线PG交直线BC、CA、AB于△'"'°,求让：ArG+BrG+C,G~.

【解】：

2.外心

性质1三角形的外心到三角形顶点的距离相等，且在各边的中垂线上.

性质2设0为AABC的外心，则NBOC=2/A,/AOC=2/B,/AOB=2/C

例13.

1)(★★)如图，在各边都相等的五边形ABCDE中，ZABC=2/DBE,那么，NABC为

A.45°B.60°C.90，D.120°

【解】:

2)(★★★第27届全俄奥林匹克题)设AABC的外心为0.在其边AB和BC上分别取点M和N,使

得2/MDN=/AOC证明：ZiMBN的周长不小于边AC之长.

【解】:

3.内心

性质1三角形的内心到三角形三边的距离相等.

性质2设I为△ABc的内心，则

ABIC=90°+jZA,ZA1C=90。+聂B,ZA/B=90°+:NC.

性质3过AABC的内心，任作一直线，分别交AB、AC于P及Q两点，则

^-AC+^：-AB=AB^-AC+l5C.

例14.

1)如图5—18,ZSABC中，AB—AC,NA=40°,延长AC到D,使CD=BC,点P是aABD的

内心，则么NBPC=

A.145°B.135°C.120°D.105°

2)(★★★)如图5—19,D是△ABC的内心，E是4ABD的内心，F是4BDE的内心.若/BFE的度

数是整数，求NBFE的最小度数.

【解】：

3)(★★★第25届美国奥林匹克题)AABC有以下性质：存在一个内点P,使

ZPAI3=10°./PBA=20°.ZPCA=30°,ZB4C=40°试证：AABC是等腰三角形.

【解】：

4.垂心

性质1三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.

性质2三角形的垂心与三个顶点组成一个垂心组（即这四点中以任意三点为三角形顶点，则另一点

为这个三角形的垂心），或者这四点中任两点的连线垂直于另两点的连线.

性质3设H为AABC的垂心，贝!]

AB2-AC2=HB2-HC2,BA2-BC2=HA2-HC2,CA2-CB2=HA2-HB2.

性质4设H为AABC的垂心，则

NBHC=ZB+ZC=180°-ZA,

NCHA=/C+NA=1800-ZB，

ZAHB=NA+NB=180°-ZC.

性质9设AD、BE、CF为aABC的三条高，垂心为H,则图中有三组（每组4个）相似三角形，且

AH•HD=BH•HE=CH•HF.

例15.

1）（★★★1970年基辅奥林匹克题）设△ABC的垂心为K,已知CK=AB.求/AC8

2）（★★★1993年全国联赛题）设H是等腰三角形ABC的垂心.在底边BC保持不变的情况下，让

顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积分，•S△”收的值是变小、变大、还是不变?证明你的结

论.

【解】:

§1.4特殊三角形

⑨考试要点剖析

1.等腰三角形

（1）等腰三角形的底角相等且必为锐角.即有“等边对等角”.

（2）等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的平分线重合.即有“三线合一”，且重心、外心、内心、

垂心共线.

(3)等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的高所在的直线.这条直线把等腰三角形分成两部分,

以这条直线为轴，把其中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一起.

等腰三角形最重要的性质是它的对称性.等腰三角形的底角相等，这是证明两个角相等的重要定理.

例16.

1)(★★1996年河南省竞赛题)如图，在aABC中，/B=NCD在BC上，NBAD=50°在AC上取

一点E,使得/ADE=ZAED,则/EDC的度数为______

【解1

2）（★★2001年"TI杯”竞赛题）如图，PA=PB,ZAPB=2/ACB,AC与PB交于点D,且PB=4,

PD=3,则AD•DC等于

A.6B.7C.12D.16

【解】:

3)(★★★1996年全国联赛题)如图，在AABC中,AB=AC,点M、N在边AC上，且=

=NM,BN=a.则点N到边BC的距离等于.

【解】:

4)(★★★1996年四川省竞赛题)如图6—14,在AABC中，AB=AC,直线z过A且1〃BC,/ABC

的平分线与AC和1分别交于D、E,/ACB的平分线与AB和1分别交于F、G.求证：DE=FG.

【解】:

5)(★★★2001年北京市竞赛题)如图6-15,在等腰aABC中，延长边AB到点D,延长边CA到点

E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE.求证：/BAC=100°.

【解】：

2.直角三角形

性质1直角三角形的两个锐角互余.

性质2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

性质3等腰直角三角形的每个锐角都等于45°

性质4在一个角等于30°的直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半.

性质5在直角三角形ABC中，/C=90°,则AB?=AC2+BC2.

性质6在直角三角形ABC中，NC=90；CDJ_AB于D,则

(1)RtAACDcoRtACBDsRtAABC；

(2)AC2=AB•AD,I3C2=BA-I3D,CD2=AD•DB；

(3)SAAljC=^AC•BC=^AB•CD.

性质7判定一个三角形是否为直角三角形，除了运用定义，还可运用下述结论判定.

(1)勾股定理的逆定理一个三角形的两条边长的平方和等于第三条边长的平方，则这个三角形为直

角三角形.

(2)一个三角形的一边上的中线长等于该边长的一半，则这个三角形为直角三角形.

(3)一个三角形的最长边的边长等于最短边的边长的两倍，且最短边所对的角为30,则此三角形

为直角三角形.

例17.

1）（★★1999年全国联赛题）ZkABC的周长是24,M是AB的中点，MC=MA=5,则4ABC的面积是

A.12B.16C.24D.30

2）（★★2002年江苏省竞赛题）如图6—16,在aABC中，ZABC=90°,D是AC中点，BEJ_BD与

CA的延长线交于E.下列结论中正确的是.

£ADC

A.△BEDs/\'BCAB.△BEAsABCD

C.AABEs△BCED.ABECsADBC

【解】：

3）（★★1997年安徽省竞赛题）如图6-17,在aABC中，/ACB=90°,AC=AE,BC=BF.则NECF

B.45C.30°D.不确定

4）（★★★1964年德意志奥林匹克题）在aABC的边BC上取一点P,使得PC=2BP,设

/ABC=45°,^APC=60°求NAC幽度数.

【解1

5)(★★1963年基辅奥林匹克题)从三角形的一个顶点引出的直线把三角形分成两个都与原三角形

相似的三角形.求证：原三角形是直角三角形，并且所作的直线经过直角顶点且垂直于斜边.

【解】：

6)(★★)在4杷，中，若于D,且满足条件⑴AC?AB或⑵BC?=DB•AB；或

(3)CD2=AD•DB.IjlllAABC为直角三角形，且C为直角顶点.

【解1

3.等边三角形

三条边都相等的三角形称为等边三角形，或正三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形，因而具有等

腰三角形的一切性质.等边三角形还有如下基本性质：

(1)等边三角形的三内角都相等，且为60°

(2)等边三角形的重心、外心、内心、垂心四心重合.

7373

(3)设等边三角形的边长为“，则其高线长、中线长、角平分线长均为2%其面积为了02

偌

,其内一点到三边的距离之和为

例18.

1)(★★1997年太原市竞赛题)如图，已知正三角形ABC的面积为S,D为AB的中点，

DEIBC,EF±AC,FGjJS.则四边形DEFG的面积是

【解】:

2)(★★★1999年北京市竞赛题)如图，ZkABC是等边三角形，在BC边上取点M,使得BM=｝比

在AB边上取点N,使得BN=P''Pz,P旅次是AC边上的三个四等分点.求

NMPIN+NMP2N+NMP3N的度数，并证明你的结论.

【解】:

3）（★★★第35届莫斯科奥林匹克题）在AABC中引中线AD和BE,又N8D=/CBE=30°求证:

△ABC为正三角形.

4）（★★★第1届全苏奥林匹克题）在锐角^ABC中，最大的高AH等于中线BM,也等于内角平分线

CD.求证：4ABC是等边三角形.

【解】:

5）（★★1994年北京市竞赛题）六边形ABCDEF中，/A==/C==NE=/F,且

AB+BC=11,FA-CD=3,贝!JBC+DE=

@练习题

1.第八届•大连“育英杯''•题3）设RtAABC的三边均为整数，且AB=3,AC=5,则BC边上中

线AD的长是_

A.3^/2B.\/15C.2V3D.A/IS-

2.（★★2002•太原•一、选择题2）已知a,b,c为aABC的三条边，且满足

a2ab—ac—be=0,b2—ba—ca=。.则aABC是

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形

3.（★★第八届•大连“育英杯”•题7）如图，在aABC中，AC=CD,/C4B-/B=30°,

则ZBAD=

A.10°B.15°C.20°D.22.5°

4.2001•天津•题5）周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的2.则该三角形的

A.腰和底边上的高都是有理数B.腰和底边上的高都不是有理数

C.腰是有理数，底边上的高是无理数D.腰是无理数，底边上的高是有理数

5.（★★2002•全国初中数学联赛•一、选择题4）

RtAABC的面积为120,且ZBAC=90°,AD是斜边上的中线，过点D作DE_LAB

于点E,连CE交AD于点F,则4AFE的面积等于

A.18B.20C.22D.24

6.第八届•大连“育英杯”•题8)

如图，在AABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD=2BD9CE=2AE,那么

SaAPE__

SaABC________

23

A.~9B.-9C.~8D.T

B

7.（★★★2001•重庆•二、填空题5）

如图，已知AGJ.BD,AF_LCE,BD、CE分别是NABC和NACB的角平分线.若BF

=2,ED=3,CG=4,则ZVIBC的周长为

8.（★第13届•“五羊杯”•二、填空题6）

右图是一个不规则的五角星，则/A+4B+NC+ND+NE=.

A

8E

C

9.（★第八届大连•“育英杯”•题11）

△ABC的周长为8,并且三边均为自然数，则zXABC的面积