九年级数学下册专题03反比例函数与特殊四边形存在性问题(原卷版+解析)(人教版)

专题03反比例函数与特殊四边形存在性问题类型一、平行四边形形存在性问题例．如图，在中，，，．一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．(1)求的值；(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，轴，，，反比例函数的图象经过线段的中点，与交于点．

(1)求点的坐标．(2)求反比例函数的表达式及点的坐标．(3)在坐标平面上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，诸说明理由．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，已知，，已知点、，且点B在第二象限内．(1)求点B的坐标；(2)将以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使B、C的对应点E、F，恰好落在第一象限内的反比例函数的图像上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q，使得以P、Q、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．类型二、菱形存在性问题例．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2，)，反比例函数（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．(1)求出点D坐标和反比例函数关系式；(2)写出点E的坐标并判断DE与AC的位置关系（说明理由）；(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．【变式训练1】．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．【变式训练4】．综合与探究如图1，反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，点关于坐标原点的对称点为点，作直线．(1)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由；(2)如图1，过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，点的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；(3)已知点在轴的正半轴上运动，点在平面内运动，当以点，，和为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点的坐标．类型三、矩形存在性问题例．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）．(1)求双曲线的表达式；(2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值；(3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离；(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD//BC，BD平分，交AO于点E，交AC于点F，．若OB，OC的长分别是一元二次方程的两个根，且．请解答下列问题：(1)求点B，C的坐标；(2)若反比例函数图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．(1)求反比例和一次函数解析式．(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．类型四、正方形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．(1)求，的值．(2)当的面积为3时，求点的坐标．(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点．

(1)求反比例函数的解析式；(2)如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标．【变式训练2】．如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．

(1)求n的值．(2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标．(3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接(1)求k，b的值.(2)当的面积为3时，求点P的坐标.(3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.【变式训练4】．在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点.(1)如图1，求反比例函数y=(k≠0)的解析式；(2)如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4①求点F的坐标；②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．

专题03反比例函数与特殊四边形存在性问题类型一、平行四边形形存在性问题例．如图，在中，，，．一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为(2)的面积为(3)存在，点的坐标为，，【分析】（1）作垂直于轴，根据等腰三角形的三线合一求出，再由等腰直角三角形OAB求出点A的坐标，最后用待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）将三角形的面积转化为，再根据三角形面积公式进行计算即可；（3）分别考虑OP，AP，BP为对角线构成的平行四边形，再求出P点坐标即可．【详解】（1）作垂直于轴，垂足为点，∵，∴，∵，，∴．∴∴点设一次函数解析式为，反比例函数解析式为将点和代入，得，，∴一次函数的解析式为．将点代入，得．∴反比例函数的解析式为，即一次函数解析式为，反比例函数解析式为；（2）将两个函数联立得，整理得2，解得，，所以，，所以点，即的面积为；（3）由（1），（2）可知，，O(0，0)，当OP为对角线时，点P；当DP为对角线时，点P；当AP为对角线时，点P∴点的坐标为，，．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．【变式训练1】．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．(1)求的值；(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．【答案】(1)4(2)(3)或或【分析】（1）过点D作DM⊥y轴于点M，根据ED=EA，△EDM≌△EAO，得到AO=DM=1，从而得到D（1，k），是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），根据反比例函数的性质，得到k=2(-2+k)，求解即可．（2）根据（1）可确定点C（2，2），确定直线BC解析式为y=2x-2，从而确定点F（1，0），过点F作FH⊥MN于点H，根据FM=FN，得到MH=HN即，设点G（0，t），则，构造等式，求解即可．（3）根据点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），运用平移思想，分A平移得到Q和A平移得到P两种情形计算即可．【详解】（1）如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，∵A（-1，0），∴OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，∴△EDM≌△EAO，∴AO=DM=1，∵点D在第一象限，且在反比例函数上，∴D（1，k）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，∴将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），∴k=2(-2+k)，解得k=4．（2）如图2，连接FM、FN．根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），∴设直线BC的解析式为y=kx-2，∴2=2k-2，解得k=2，∴直线BC解析式为y=2x-2，∴2x-2=0，解得x=1，∴点F（1，0），过点F作FH⊥MN于点H，∴H的横坐标为1，,根据FM=FN，∴MH=HN即，设点G（0，t），则，∴，∴，解得t=，故点G坐标为（0，）．（3）∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），∵四边形ABPQ是平行四边形，∴平行四边形的对边平行且相等，当A平移得到Q时，∵点A（-1，0），Q（0，n），∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+n），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+n）=4，解得n=6，此时点Q(0，6)；当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+|n|），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+|n|）=4，解得n=-6，n=6(舍去)，此时点Q(0，-6)；当A平移得到P时，∵点A（-1，0）平移得到P（m，），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），∴m=-1，故点P（-1，-4），即点A向下平移4个单位，当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），当点B向上平移4个单位，得到（0，2），如图5所示，此时点Q(0，-6)或（0，2）综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数的解析式和性质，分类思想，平移思想，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质，平行四边形的性质，平移思想是解题的关键．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，轴，，，反比例函数的图象经过线段的中点，与交于点．

(1)求点的坐标．(2)求反比例函数的表达式及点的坐标．(3)在坐标平面上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，诸说明理由．【答案】(1)点的坐标为(2)，点D的坐标为(3)存在，点的坐标为或或【分析】（1）利用勾股定理求得，即可求得点的坐标；（2）由中点的性质可得点的坐标为，将点的坐标代入反比例函数即可求得，进而求得反比例函数的表达式，再求得直线的函数表达式，联立方程组，即可求得点的坐标；（3）分三种情况讨论：①以为对角线，②以为对角线，③以为对角线，利用平行四边形的性质求解即可．【详解】（1）解：，，在中，根据勾股定理，得，点的坐标为；（2）解：是的中点，轴，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，，解得：，反比例函数的表达式为，设直线的函数表达式，由点，可得，，解得：，直线的函数表达式为，联立，即，解得：，反比例函数在第二象限，，，点的坐标为；（3）解：存在，点E的坐标为或或.如图，有3种情况：

①若以为对角线，则四边形为平行四边形，，，，，，.②若以为对角线，则四边形为平行四边形，，点与关于原点对称，.③若以为对角线，则四边形为平行四边形，，，，.综上所述，点的坐标为或或.【点睛】本题考查了勾股定理，待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，平行四边形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，已知，，已知点、，且点B在第二象限内．(1)求点B的坐标；(2)将以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使B、C的对应点E、F，恰好落在第一象限内的反比例函数的图像上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q，使得以P、Q、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（-3，1）(2)，反比例函数的关系式为；(3)或或【分析】（1）先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判断△CGA≌△AHB，得CG=AH=3，BH=AG=1，即可得出答案；（2）先根据运动表示出点F，E的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；（3）先求出点F，E的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出解，即可得出结论．【详解】（1）过点B，C作BH⊥x轴，CG⊥x轴交于点H，G，∵点A（-6，0），D（-7，3），∴OA=6，OG=7，CG=3，∴AG=OG-OA=1．∵∠CAG+∠BAH=90°，∠CAG+∠GCA=90°，∴∠GCA=∠BAH．又∠CGA=∠AHB=90°，AC=AB，∴△CGA≌△AHB，∴CG=AH=3，BH=AG=1，∴点B的坐标是（-3，1）；（2）由（1），得点B（-3，1），C（-7，3），∴运动t秒时，点，．设反比例函数的关系式为，∵点，在反比例函数图像上，∴，解得，k=6，∴反比例函数的关系式为；（3）存在，理由：由（2）知，点，,，∴，，反比例函数关系式为，设点Q，点P（n，0）．以点以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是平行四边形，∴①当EF是对角线时，∴,解得，∴；②当EP是对角线时，∴,解得，∴；③当EQ是对角线时，∴,解得，∴；综上所述：或或．【点睛】这是一道关于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．类型二、菱形存在性问题例．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2，)，反比例函数（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．(1)求出点D坐标和反比例函数关系式；(2)写出点E的坐标并判断DE与AC的位置关系（说明理由）；(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．【答案】(1)D，反比例函数表达式为y＝(2)E，DE∥AC，理由见解析(3)点G的坐标为或都在反比例函数图象上【分析】（1）根据B，则BC＝2，而BD＝，则CD＝，故点D=，将D点代入函数解析式中可得到系数的值．当x＝2时，y＝，故点E（2，）；（2）由（1）知，D，点E，点B，可知BD＝，BE＝，则，，即可证明平行；（3）根据题意可分为两种情况（1）点F在点C的下方,（2）点F在点C的上方，分别讨论其两种情况即可．【详解】（1）解：（1）∵B，则BC＝2，而BD＝，∴CD＝，故点D，将点D的坐标代入反比例函数表达式得：，解得k＝3，故反比例函数表达式为y＝，当x＝2时，y＝，故点E（2，）；（2）由（1）知，D，点E，点B，则BD＝，BE＝，故，∴DE∥AC；（3）①当点F在点C的下方时，当点G在点F的右方时，如下图，过点F作FH⊥y轴于点H，∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝，则tan∠OCA＝，故∠OCA＝30°，则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝，故点F（1，），则点G（3，），当x＝3时，y＝，故点G在反比例函数图象上；②当点F在点C的上方时，同理可得，点G（1，3），同理可得，点G在反比例函数图象上；综上，点G的坐标为（3，）或（1，3）都在反比例函数图象上．【点睛】本题考查反比例函数的图象和解析式，菱形的存在性问题，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．【变式训练1】．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)C（9，3），(2)(3)存在，（－3，6）或（12，6）或或【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBH=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠CBH，∴∆AOB≅∆BHC，∴BH=OA=6，CH=OB=3，∴OH=9，∴C(9，3)∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，∴k=9×3=27，∴；（2）如图所示，过点D作轴，，,同（1）方法可得：，∵，∴四边形OGEA为矩形，∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，∴D(6，9)，∵点A’恰好落在反比例函数图象上，∴当y=6时，x=，∴m=，∴D’(6+，9)即D’(，9)；（3）当OA’=OP时，如图所示：∵A’(，6)，OA’=，四边形OPQA’是菱形，A’Q∥OP，A’Q=OP，Q(12,6)，当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；当A’O=A’P时，如图所示：点A’与点Q关于x轴对称，Q(，-6)；当PO=PA’时，如图设P（m,0），则PO=PA’，∴，解得：，∴OP=A’Q=，∴Q(，6)，综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6)．【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)2．5(3)存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形【分析】（1）先分别求出OC=AB=5，CD=8，再根据P、Q的运动速度进行求解即可；（2）先求出点P的坐标为（t，4），则反比例函数解析式为，点M的坐标为（5，，），则，，再根据，列出方程求解即可；（3）先求出点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），则，，，然后根据菱形的性质进行分类讨论求解即可．【详解】（1）解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（5，4），∴OC=AB=5，∵点D的坐标为（-3，0），∴OD=3，∴CD=8，∵点Q的运动速度为每秒2cm，点P的运动速度为每秒1cm，∴故答案为：，；（2）：如图1，连接PM，由（1）可知点AP=t，点M的横坐标为5，∴点P的坐标为（t，4），∵点P在反比例函数上，∴，∴反比例函数解析式为，当时，，∴点M的坐标为（5，），∴，∴，∵，∴，∴，解得（负值已舍去）；（3）解：由题意得，DQ=2t，AP=t，点C的坐标为（5，0）∴点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），∴，，；当PQ=PC时，则，解得（不合题意，舍去）；当PQ=CQ时，，解得（负值已舍去）；当PC=CQ时，解得（负值已舍去）；综上所述，存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，反比例函数与几何综合等等，熟知相关知识是解题的关键．【变式训练4】．综合与探究如图1，反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，点关于坐标原点的对称点为点，作直线．(1)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由；(2)如图1，过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，点的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；(3)已知点在轴的正半轴上运动，点在平面内运动，当以点，，和为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点的坐标．【答案】(1)点在反比例函数的图象上，理由见解析；(2)见解析(3)，和【分析】（1）求出点B的坐标，判断即可；（2）证明OA=OB，OC=OD，推出四边形ADBC是平行四边形，再证明AB=CD，可得结论；（3）当四边形OBPQ是菱形时，对图形进行分类讨论，设点P的坐标为，然后根据邻边相，用两点间距离公式表示线段长度列方程即可．【详解】（1）结论：点在反比例函数的图象上，理由如下：∵反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，∴把代入中，得，∴点的坐标是，∵点关于坐标原点的对称点为点，∴点的坐标是，把代入中，得，∴点在反比例函数的图象上；（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，∵过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，∴C，D关于原点对称，∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，∵A，B关于原点对称，∴OA=OB，∴四边形ACBD是平行四边形，∵CD=，AB=，∴AB=CD，∴四边形ACBD是矩形；（3）设点P的坐标为，如图，当四边形OBP1Q1是菱形时，可得，∴，解得，∴P1；当四边形OBQ2P2是菱形时，可得，∴，∴P2；当四边形OP3BQ3是菱形时，可得,∴，解得，∴P3，综上所述，满足条件的点的坐标分别为，和．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．类型三、矩形存在性问题例．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）．(1)求双曲线的表达式；(2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值；(3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．【答案】(1)双曲线的表达式为y＝(2)AP＋PQ的最小值为(3)当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（－3，0）或（3，0）或（－1，）或【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标；（2）作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，此时AP＋PQ取得最小值，分别求出A′P和PQ的值即可；（3）分三种情形：①当∠BAM=90°时．②当∠ABM=90°时．③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（-，），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．【详解】（1）∵直线y=x+1经过点A（a，2），∴2=a+1，∴a=1，∴A（1，2），∵双曲线y=经过点A（1，2），∴k=2，∴双曲线的表达式为y＝．（2）如图，作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，此时AP＋PQ取得最小值，AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q．∵A（1，2），∴AK＝A′K＝1，OK＝2，∠AKP＝∠A′KP＝90°．∵将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，∴直线l的表达式为y＝x，∴∠POQ＝45°，∴∠OPQ＝45°，∴∠A′PK＝∠KA′P＝45°，∴A′K＝PK＝1，∴A′P＝，OP＝OK－PK＝1．∵∠POQ＝45°，∴PQ＝OQ，PQ2＋OQ2＝OP2，∴PQ＝，∴A′Q＝A′P＋PQ＝＋＝．∴AP＋PQ的最小值为．（3）如图2中，设直线y＝x＋1交y轴于点E，交x轴于点F，对于y＝x＋1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1，∵E（0，1），F（-1，0），∴OE=OF=1，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OFE=∠OEF=45°．由，解得或，∴B（-2，-1）；①当∠BAM=90°时，则∠AEM1=∠OEF=45°，∴AM1=AE．∵A（1，2），E（0，1），∴AE=∴EM1=，∴OM1=1+2=3，∴M1（0，3），∴M1可看作由A向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，∵B（-2，-1），∴N1（-3，0）；②当∠ABM=90°时，同理可求M2（0，-3），N2（3，0）；③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，∵A（1，2），B（-2，-1），∴J（-，），∵AB=，∴AJ=JB=JM=，∴（-）2+（-m）2=（）2，解得m=，∴M3（0，），M4（0，），设N3（m，n），∵JN3=JM3，∴-=，=，∴m=-1，n=，∴N3（-1，），同理可求N4（-1，），综上所述，满足条件的点N的坐标为（-3，0）或（3，0）或（-1，）或（-1，）．【点睛】本题考查了反比例函与一次函数综合，待定系数法，矩形的判定和性质，轴对称最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离；(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．【答案】(1)(2)4(3)，【分析】（1）用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）连接、，设平移后直线的解析式为，得出点，根据直线平行直线，得出，根据点A、点B关于原点对称，得出点，根据，列出关于b的方程，解方程即可；（3）设，，，得出，，，分两种情况，当为边时，当为对角线时，分别求出m的值即可．【详解】（1）解：令一次函数中，则解得：，即点A的坐标为，∵点在反比例函数的图像上，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）解：连接、，如图所示：设平移后直线的解析式为，∴点，∵直线平行直线，∴，∵的面积为16，∵点A、点B关于原点对称，∴点，∴，∴，∴，∴，∴直线向上平移的距离为4．（3）解：设，，，则，，，①如图，当为边时，此时满足，即：，解得，∴；②如图，当为对角线时，此时满足，即，解得（舍去），∴；【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，一次函数平移，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD//BC，BD平分，交AO于点E，交AC于点F，．若OB，OC的长分别是一元二次方程的两个根，且．请解答下列问题：(1)求点B，C的坐标；(2)若反比例函数图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，C（2，0）(2)(3)存在，N1（，），N2（-9，12），N3（，），，，．【分析】（1）解方程得出方程的解，即可确定点B，C的坐标；（2）首先证明∠AFB＝∠AOB＝90°，再证明AB=BC=5，由得，从而得，即可得到AD=AD=5，再由勾股定理求出AO=4，得出点D的坐标即可求出反比例函数解析式；（3）如图，分两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：由解得，．∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB>OC，∴，．∴，C（2，0）．（2）解：∵AO⊥BC，∴∠AOB＝90°．∵∠CAO＝∠DBC，，∴∠AFB＝∠AOB＝90°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC．∵∠AFB＝90°，∴∠BAC＝∠BCA．∴．∵，∴，∴．∴．∵在Rt△ABO中，．∴D（5，4）．∴反比例函数解析式为．（3）解：如下图，过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点作轴于点,∴∵四边形是矩形，∴∴又∴∴∵∴∴∴点（，），同理可求出N2（-9，12），N3（，），②如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点WT于点F，设与x轴交于点G，∴又∴∵BD是圆的直径，∴点E在圆上，∴∴∴∵DE=4，BE=3+5=8，∴又，设由勾股定理得，∴，解得，∴设GE=x，则BG=8-x，代入比例式得，∴在Rt中，∴解得，（舍去）∴BG=∵∴由勾股定理可得，BF=∴∴同理可得，综上，点N的坐标为：N1（，），N2（-9，12），N3（，），，，．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．(1)求反比例和一次函数解析式．(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．【答案】(1)，(2)0≤m≤(3)点N坐标为（，）；点M的坐标为（，）【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解；（3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x，），利用中点坐标公式即可求出点M坐标．【详解】（1）解：延长AD交x轴于F，∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD=AD，AD∥OB，则AF⊥x轴，∵点D坐标为（4，3），∴OF=4，DF=3，∴OD=5，即OB=AD=5，∴A（4，8），B（0，5），∴k=4×8=32，∴反比例函数的解析式为；将A、B坐标代入中，得，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处，∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3），∴，∴m=，∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤．（3）解：存在，理由为：如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°，由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，则∠NOB=∠FOD，又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，∴△ONB≌△OFD（AAS），∴S△ONB=S△OFD，则，∴NH=，∵点N在直线AB上，∴当x=时，，∴点N坐标为（，）；设M（x，），则x+0=+4，解得：x=，，∴点M的坐标为（，）．【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键．类型四、正方形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．(1)求，的值．(2)当的面积为3时，求点的坐标．(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．【答案】(1)，(2)(3)或，【分析】（1）将点代入，求得，进而求得，将代入可求得，再把点的坐标代入，即可求得；（2）用含的代数式表示的长，根据铅锤定理，解得，进而求得点的坐标；（3）分情况讨论，当是边，点在轴正半轴上和点在轴的负半轴上；当是对角线，点在轴负半轴上和点在轴正半轴上，证明，进而得出，从而求得的值．【详解】（1）解：直线过点，，，直线过点，，，过点，；（2）解：，，，，，，、、分别表示、、三点的横坐标，，解得，经检验是原方程的解，；（3）解：如图1，，，，当是边，点在轴正半轴上，作于，作于，，，，，，，，，，，，，（舍去），，如图2，当点在轴的负半轴上时，由上知：，，，当是对角线时，当是对角线时，点在轴负半轴上时，可得：，，，，，如图4，，，，，（舍去），当时，，，综上所述：或，．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，根据线段之间的和差关系列方程求解．【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点．

(1)求反比例函数的解析式；(2)如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)M点坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式；（2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可；（3）设，分两种情况讨论：当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，过点D作交于点H，通过证明，确定点，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标；当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，同理可得：，确定点N的坐标，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标．【详解】（1）解：设直线的解析式为，将点，点代入，，解得，∴直线的解析式为，将代入中，，解得：，，将代入，，∴反比例函数解析式为；（2）解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接，

∵，，，∵的面积且与的面积相等，∴E点在过D点且与平行的直线上，即，，设，则

解得，（不合题意，舍去），∴；（3）解：设，如图，当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，过点D作交于点H，

，，，，，，，∴，∴，解得，如图，当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，

同理可得：，，，，解得：或，点M在点D左侧，，综上所述：M点坐标为或．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定及性质，属于反比例函数几何综合题，难度较大．【变式训练2】．如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．

(1)求n的值．(2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标．(3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标．【答案】(1)8(2)或(3)或或或【分析】（1）先求出B的坐标，然后把B的坐标代入求解即可；（2）设，则可求，然后根据三角形面积公式列出方程求解即可；（3）分以为边，为对角线讨论即可．【详解】（1）解：∵点B横坐标为2，且B在直线上，∴，∴，把代入，得，解得；（2）解：由（1）知，设，∵轴，∴D的横坐标为c，又D在的图像上，∴，∴，∵，∴，解得或；（3）解：设，则一、以为边时，①如图，四边形为正方形，

则，C和E的纵坐标相同，把代入，得，解得，∴，∴，解得，（舍去），（舍去），∴，，∴；②如图，四边形为正方形，

则，D和E的纵坐标相同，把代入，得，解得，∴，∴，解得，（舍去），∴，，∴；二、以为对角线时，如图，四边形为正方形，

则是中点，，M和E的纵坐标相同∴，把代入，得，解得，∴，∴，解得，（舍去），，（舍去）∴，，或，∴或综上，点F的坐标为或或或．【点睛】本题考查了