新八年级数学讲义第7讲乘法公式-基础班(学生版+解析)

第7讲乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【例题精选】例1(2023秋•定州市期末）若（2a+3b）（）＝9b2﹣4a2，则括号内应填的代数式是（）A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a例2(2023春•盐田区校级月考）下列多项式的乘法运算可以运用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（x+1） B．（a+2b）（a﹣2b） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（﹣m﹣n）（m+n）【随堂练习】1．(2023•岱岳区一模）下面计算正确的是（）A．x3+4x3＝5x6 B．a2•a3＝a6 C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y22．(2023秋•开鲁县期末）计算结果为x2﹣y2的是（）A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x﹣y）3．(2023•郯城县一模）下列运算正确的是（）A．a2+2a＝3a3 B．（﹣2a3）2＝4a5 C．（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a22完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：【例题精选】例1(2023秋•东坡区校级月考）计算：（﹣m﹣4n）2．例2(2023春•滕州市期中）若m+n＝7，mn＝12，则m2﹣mn+n2的值是（）A．10 B．11 C．13 D．37【随堂练习】1．(2023•武汉模拟）运用乘法公式计算（m﹣2）2的结果是（）A．m2﹣4 B．m2﹣2m+4 C．m2﹣4m+4 D．m2+4m﹣42．(2023秋•海安市期中）下列计算正确的是（）A．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 B．（m+2n）2＝m2+4n2 C．（﹣3x+y）2＝3x2﹣6xy+y2 D．3.(2023秋•长宁区校级月考）简便计算：（﹣99.9）2．3完全平方式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：【例题精选】例1(2023秋•遂宁期末）若方程x2+kx+64＝0的左边是完全平方式，则k的值为（）A．16 B．±8 C．﹣16 D．±16例2(2023春•杭州期中）如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．30【随堂练习】1．(2023秋•孝南区期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣22．(2023•海门市校级模拟）若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（）A．±6 B．±12 C．±36 D．±723．(2023秋•斗门区期末）已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（）A．4 B．8 C．16 D．﹣16综合练习一．选择题（共4小题）1．如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．302．已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．123．若x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值应是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣24．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab二．填空题（共2小题）5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，则xy的值为．6．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝．三．解答题（共3小题）7．计算：（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|；（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．8．化简：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2．9．（1）计算：（﹣2）2+﹣（2）0．（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣4）．第7讲乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【例题精选】例1(2023秋•定州市期末）若（2a+3b）（）＝9b2﹣4a2，则括号内应填的代数式是（）A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a分析：9b2﹣4a2可以看作（3b）2﹣（2a）2，利用平方差公式，可得出答案为3b﹣2a．【解答】解：∵（2a+3b）（3b﹣2a）＝9b2﹣4a2即（3b+2a）（3b﹣2a）＝（3b）2﹣（2a）2∴括号内应填的代数式是3b﹣2a．故选：D．【点评】本题考查平方差公式的特征，熟记平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是解决此题的关键．例2(2023春•盐田区校级月考）下列多项式的乘法运算可以运用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（x+1） B．（a+2b）（a﹣2b） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（﹣m﹣n）（m+n）分析：根据平方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方），对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（x+1）（x+1）两项符号都同，不能运用平方差公式，故本选项不符合题意；B、（a+2b）（a﹣2b）符合平方差公式的特点，能运用平方差公式，故本选项符合题意；C、（﹣a+b）（a﹣b）没有相同项，不能运用平方差公式，故本选项不符合题意；D、（﹣m﹣n）（m+n）没有相同项，不能运用平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了平方差公式．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．【随堂练习】1．(2023•岱岳区一模）下面计算正确的是（）A．x3+4x3＝5x6 B．a2•a3＝a6 C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2【解答】解：A、x3+4x3＝5x3，故本选项错误；B、a2•a3＝a5，故本选项错误；C、（﹣2x3）4＝16x12，故本选项正确；D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故本选项错误；故选：C．2．(2023秋•开鲁县期末）计算结果为x2﹣y2的是（）A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x﹣y）【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）．故选：A．3．(2023•郯城县一模）下列运算正确的是（）A．a2+2a＝3a3 B．（﹣2a3）2＝4a5 C．（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝4a6，不符合题意；C、原式＝a2+a﹣2a﹣2＝a2﹣a﹣2，不符合题意；D、原式＝b2﹣a2，符合题意，故选：D．2完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：【例题精选】例1(2023秋•东坡区校级月考）计算：（﹣m﹣4n）2．分析：原式利用完全平方公式展开即可．【解答】解：原式＝m2+8mn+16n2．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．例2(2023春•滕州市期中）若m+n＝7，mn＝12，则m2﹣mn+n2的值是（）A．10 B．11 C．13 D．37分析：利用完全平方公式得到m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m+n＝7，mn＝12，∴m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝72﹣3×12＝13．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了整式的运算．【随堂练习】1．(2023•武汉模拟）运用乘法公式计算（m﹣2）2的结果是（）A．m2﹣4 B．m2﹣2m+4 C．m2﹣4m+4 D．m2+4m﹣4【解答】解：（m﹣2）2＝m2﹣4m+4，故选：C．2．(2023秋•海安市期中）下列计算正确的是（）A．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 B．（m+2n）2＝m2+4n2 C．（﹣3x+y）2＝3x2﹣6xy+y2 D．【解答】解：A．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不合题意；B．（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，故本选项不合题意；C．（﹣3x+y）2＝9x2﹣6xy+y2，故本选项不合题意；D.，正确，故本选项符合题意．故选：D．3.(2023秋•长宁区校级月考）简便计算：（﹣99.9）2．【解答】解：（﹣99.9）2＝（99.9）2＝（100﹣0.1）2＝1002﹣2×100×0.1+0.12＝10000﹣20+0.01＝9980.013完全平方式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：【例题精选】例1(2023秋•遂宁期末）若方程x2+kx+64＝0的左边是完全平方式，则k的值为（）A．16 B．±8 C．﹣16 D．±16分析：由于x2+kx+64是一个完全平方式，则x2+kx+64＝（x+8）2或x2+kx+64＝（k﹣8）2，根据完全平方公式即可得到k的值．【解答】解：∵x2+kx+64是一个完全平方式，∴x2+kx+64＝（x+8）2或x2+kx+64＝（k﹣8）2，∴k＝±16．故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．属于基础题，熟记公式即可作出正确的选择．例2(2023春•杭州期中）如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．30分析：这里首末两项是3x和5的平方，那么中间项为加上或减去3x和5的乘积的2倍．【解答】解：∵9x2﹣kx+25是一个完全平方式，∴﹣kx＝±2×3x×5，则k＝±30．故选：C．【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．【随堂练习】1．(2023秋•孝南区期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，∴2（m﹣1）＝±6，解得：m＝4或m＝﹣2，故选：B．2．(2023•海门市校级模拟）若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（）A．±6 B．±12 C．±36 D．±72【解答】解：∵4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，∴﹣kxy＝±2×2x•3y，解得k＝±12．故选：B．3．(2023秋•斗门区期末）已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（）A．4 B．8 C．16 D．﹣16【解答】解：∵x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，∴则a可为：16．故选：C．综合练习一．选择题（共4小题）1．如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．30【解答】解：∵9x2﹣kx+25是一个完全平方式，∴﹣kx＝±2×3x×5，则k＝±30．故选：C．2．已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．12【解答】解：把a+b＝6两边平方得：（a+b）2＝36，整理得：a2+b2+2ab＝36，将ab＝3代入得：a2+b2＝30，则原式＝15﹣3＝12，故选：D．3．若x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值应是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣2【解答】解：∵（x±2）2＝x2±4x+4＝x2﹣mx+4，∴m＝±4．故选：C．4．把