新八年级数学讲义第8讲因式分解-提高班(学生版+解析)

第8讲因式分解1因式分解一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.【例题精选】例1(2023春•滨海县期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．ab+ac+d＝a（b+c）+d B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．6ab＝2a⋅3b D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2例2(2023秋•嘉祥县期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y【随堂练习】1．(2023秋•青山区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2．(2023秋•丹江口市期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+163．(2023秋•柘城县期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x2.提公因式法多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【例题精选】例1(2023•安徽一模）把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是__________________．例2(2023秋•南召县期中）把多项式3（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式结果正确的是（）A．（x﹣y）（3﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3﹣2x+2y） C．（x﹣y）（3+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3+2x﹣2y）【随堂练习】1．(2023秋•新建区期末）把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）2．(2023秋•岳麓区校级期中）把﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．﹣3x2y2 B．﹣2x2y2 C．6x2y2 D．﹣x2y23．(2023秋•灌阳县期中）化简（﹣2）2018+（﹣2）2019的结果是（）A．﹣2 B．0 C．﹣22018 D．220183公式法一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.【例题精选】例1(2023春•岳阳期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab﹣4b2 D．例2(2023秋•绿园区期中）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．﹣a2﹣4b2 B．﹣1+25a2 C．﹣9a2 D．1﹣a4【随堂练习】1．(2023•河池模拟）因式分解：m2﹣9＝__________________．2．(2023•历下区一模）分解因式：m2﹣8m+16＝______________．3．(2023秋•无棣县期末）计算：20202﹣20192＝____________．3分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【例题精选】例1(2023春•兴宾区期中）观察下列因式分解的过程，因式分解：am+an﹣bm﹣bn．解法一：am+an﹣bm﹣bn＝（am+an）﹣（bm+bn）＝a（m+n）﹣b（m+n）＝（m+n）（a﹣b）解法二：am+an﹣bm﹣bn＝（am﹣bm）+（an﹣bn）＝m（a﹣b）+n（a﹣b）＝（a﹣b）（m+n）根据上面提供的因式分解的方法，将多项式2a﹣3ab+4b﹣6b2因式分解．例2(2023•碑林区校级模拟）因式分解：x2﹣2xy+y2﹣2x+2y+1＝____________________．【随堂练习】1．(2023•浦东新区二模）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝__________________________．2．(2023•黔东南州一模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝_______________________．3．(2023秋•浦东新区校级期中）多项式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的结果是（）A．（y﹣z）（x+y）（x﹣z） B．（y﹣z）（x﹣y）（x+z） C．（y+z）（x﹣y）（x+z） D．（y+z）（x+y）（x﹣z）综合练习1．选择题（共3小题）1．多项式4x﹣x3分解因式的结果是（）A．x（4﹣x2） B．x（2﹣x）（2+x） C．x（x﹣2）（x+2） D．x（2﹣x）22．下列代数式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2﹣1 B．x2+xy+y2 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x﹣13．下列等式从左到石的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3 C．x2+4＝（x+2）2 D．x2+y2＝（x+y）（y﹣x）二．填空题（共3小题）4．分解因式4x2﹣（y﹣2）2＝．5．分解因式：m2n﹣n3＝．6．a与b互为相反数，则a3+2a2b+ab2＝．三．解答题（共3小题）7．分解因式：（1）x2y﹣9y；（2）﹣m2+4m﹣4．8．分解因式：x2﹣4y2+4﹣4x9．分解因式：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）（2）5m（2x﹣y）2﹣5mn2第8讲因式分解1因式分解一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.【例题精选】例1(2023春•滨海县期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．ab+ac+d＝a（b+c）+d B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．6ab＝2a⋅3b D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2分析：根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．例2(2023秋•嘉祥县期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y分析：直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；C、x+2无法分解因式，不合题意；D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．【随堂练习】1．(2023秋•青山区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．【解答】解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式乘法运算，故此选项错误；B、x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，不符合分解因式的定义，故此选项错误；C、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），是分解因式，符合题意；D、a2+1＝a（a+），不符合分解因式的定义，故此选项错误；故选：C．2．(2023秋•丹江口市期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；故选：C．3．(2023秋•柘城县期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+3x＝（x﹣4）（x+4）+3x【解答】解：A、a（x+y）＝ax+ay，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；B、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此选项不合题意；C、10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），正确，符合题意；D、x2﹣16+3x，无法分解因式，故此选项不合题意；故选：C．2.提公因式法多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【例题精选】例1(2023•安徽一模）把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是__________________．分析：直接提取公因式3m，进而分解因式即可．【解答】解：3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）．故答案为：3m（x﹣2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．例2(2023秋•南召县期中）把多项式3（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式结果正确的是（）A．（x﹣y）（3﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3﹣2x+2y） C．（x﹣y）（3+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3+2x﹣2y）分析：原式变形后，提取公因式即可．【解答】解：原式＝3（x﹣y）﹣2（x﹣y）2＝（x﹣y）[3﹣2（x﹣y）]＝（x﹣y）（3﹣2x+2y），故选：B．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•新建区期末）把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．（a﹣2）2 D．a（a+2）（a﹣2）【解答】解：原式＝a（a﹣4），故选：A．2．(2023秋•岳麓区校级期中）把﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．﹣3x2y2 B．﹣2x2y2 C．6x2y2 D．﹣x2y2【解答】解：﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3＝﹣x2y2（6x+3﹣8y）．故把﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：﹣x2y2．故选：D．3．(2023秋•灌阳县期中）化简（﹣2）2018+（﹣2）2019的结果是（）A．﹣2 B．0 C．﹣22018 D．22018【解答】解：（﹣2）2018+（﹣2）2019＝（﹣2）2018×（1﹣2）＝﹣22018．故选：C．3公式法一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.【例题精选】例1(2023春•岳阳期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab﹣4b2 D．分析：利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式不能分解，不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式＝（x﹣）2，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．例2(2023秋•绿园区期中）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．﹣a2﹣4b2 B．﹣1+25a2 C．﹣9a2 D．1﹣a4分析：利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．故选：A．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．【随堂练习】1．(2023•河池模拟）因式分解：m2﹣9＝__________________．分析：直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣9＝m2﹣32＝（m+3）（m﹣3）．故答案为：（m+3）（m﹣3）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．2．(2023•历下区一模）分解因式：m2﹣8m+16＝______________．分析：直接利用完全平方公式进而分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣8m+16＝（m﹣4）2．故答案为：（m﹣4）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．3．(2023秋•无棣县期末）计算：20202﹣20192＝____________．分析：原式利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：原式＝(2023+2019）×(2023﹣2019）＝4039，故答案为：4039【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【例题精选】例1(2023春•兴宾区期中）观察下列因式分解的过程，因式分解：am+an﹣bm﹣bn．解法一：am+an﹣bm﹣bn＝（am+an）﹣（bm+bn）＝a（m+n）﹣b（m+n）＝（m+n）（a﹣b）解法二：am+an﹣bm﹣bn＝（am﹣bm）+（an﹣bn）＝m（a﹣b）+n（a﹣b）＝（a﹣b）（m+n）根据上面提供的因式分解的方法，将多项式2a﹣3ab+4b﹣6b2因式分解．分析：按照两种方式分组，利用提取公因式法进行分解即可：①（2a﹣3ab）+（4b﹣6b2）②（2a+4b）﹣（3ab+6b2）．【解答】解：解法一：2a﹣3ab+4b﹣6b2＝（2a﹣3ab）+（4b﹣6b2）＝a（2﹣3b）+2b（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a+2b）解法二：2a﹣3ab+4b﹣6b2＝（2a+4b）﹣（3ab+6b2）＝2（a+2b）﹣3b（a+2b）＝（a+2b）（2﹣3b）【点评】本题考查了因式分解的分组分解法和提取公因式法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．例2(2023•碑林区校级模拟）因式分解：x2﹣2xy+y2﹣2x+2y+1＝____________________．分析：首先将前三项利用完全平方公式分解因式，进而再用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣2x+2y+1＝＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2．故答案为：（x﹣y﹣1）2．【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．【随堂练习】1．(2023•浦东新区二模）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝__________________________．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣4＝（a﹣b）2﹣4＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．故答案为：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．2．(2023•黔东南州一模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝_______________________．【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣1，＝（x2﹣2xy+y2）﹣1，＝（x﹣y）2﹣1，＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．3．(2023秋•浦东新区校级期中）多项式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的结果是（）A．（y﹣z）（x+y）（x﹣z） B．（y﹣z）（x﹣y）（x+z） C．（y+z）（x﹣y）（x+z） D．（y+z）（x+y）（x﹣z）【解答】解：x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz＝（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z＝（y﹣z）x2+（y﹣z）2x﹣yz（y﹣z）＝（y﹣z）[x2+（y﹣z）x﹣yz]＝（y﹣z）（x+y）（x﹣z）．故选：A．综合练习1．选择题（共3小题）1．多项式4x﹣x3分解因式的结果是（）A．x（4﹣x2） B