九年级数学下册专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型(原卷版+解析)

专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）.2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。例1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：．例3．（2023·广东深圳·校考一模）综合与实践问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长；(3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长．

例4．（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O．(1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．(2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明．(3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．例5．（2023.辽宁中考模拟）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；（2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；（3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．课后专项训练1．（2023广东九年级期中）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（）A．10 B．12 C．15 D．162．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为．

3．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则=.4．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则=.5．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为；当时，为．（用含的式子表示）6．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知一块含的直角三角板ABC按图1放置，其中，点B与原点O重合，，．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当点A滑动至与原点O重合时停止．当四边形为矩形时（如图2），点C的坐标为；当点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为．

7．（2023年河南一模数学试题）如图，在菱形中，，，对角线，交于点，，分别是，边上的点，且，，与交于点，则的值为．

8．（2023.广东九年级期中）如图，在中，，，，，，点在上，交于点，交于点，当时，．9．（2023年福建泉州中考数学模拟试卷）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=16，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰三角形时，求BP的长．10．（2022春·四川达州·九年级专题练习）已知，在中，．（1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系；（2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长；（3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值．11．（2023辽宁铁岭市中考模拟）如图，中，，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且．（1）如图1，当时，线段AG和CF的数量关系是．（2）如图2，当时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．（3）若，，，请直接写出CF的长．12．（2023西南交通大学附属中学九年级月考）在中，，，，点为边的中点，交边于点，点为直线上的一动点，点为直线上的一动点，且．（1）求、的长．（2）若，求的长．（3）记线段与线段的交点为点，若为等腰三角形，求的长．13．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）综合与实践问题情境：在中，．点在斜边上运动，过点作射线，分别与边交于点．猜想证明：（1）当点在斜边的中点处时，

①如图（1），在旋转过程中，当点时，与的数量关系是______，_______．②当旋转到如图②所示的位置时，的值是否发生变化？若不变，请证明；若变化，请说明理由．③如图③，在旋转过程中，当时，直接写出线段的长_______；类比探究（2）当点在斜边上运动时，①如图④，当点运动到时，_______；②如图⑤，连接，当是等腰三角形时，求的长．14．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．猜想推理：

（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值．15．（2023广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；

（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）.2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。例1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．【答案】3【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．【详解】解：如图作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴，，，∵PQ//BC，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3∴，∴AP＝5x＝3．故答案为3．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．【详解】解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴；（2）证明：∵∴，即，∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，又∵，∴，∴，∴【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似．例3．（2023·广东深圳·校考一模）综合与实践问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．

猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长；(3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长．【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)(3)【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；（2）由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；（3）通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：点是的中点，点是的中点，，，，，，四边形是矩形；（2）如图2，过点作于，

，，，，点是的中点，，，，，，，又，，，，；（3）如图③，连接，，过点作于，

，，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．例4．（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O．(1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．(2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明．(3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．【答案】(1)①②③(2)关系为，证明见解析(3)①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．证明①的过程见解析【详解】（1）如图，在图1中，过点O作于点H,于点G∵于点H,于点G∴∵四边形和都是正方形∴∴∵,∴在和中∴∴故①正确∵∴∴故②正确∵四边形是正方形∴∴故③正确（2）关系为，证明如下：如图，在图2中，过点O作于点H,于点G∵于点H,于点G∴∵四边形和都是矩形∴∵,∴在和中∴∴（3）（1）中结论，①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．现证明①如下：如图，在图3中，过点O作于点H,于点G∵于点H,于点G∴∵四边形和都是菱形∴∴∵,∴在和中∴∴例5．（2023.辽宁中考模拟）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON；（3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案．【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB，∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．（2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴，由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，∴，∴ON＝k•OM．（3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k•OA，∴OB＝•a，OA＝•a，∴OE＝OB＝a，∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝•a，∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋•a，由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋•a，设AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM，∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1∴，∴．【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件得出k＞1．例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；（2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；（3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF；（2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题；（3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可．【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；（3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°，∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴，∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解．当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得，∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解．当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解．综上所述，满足条件的AF的值为或或．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．课后专项训练1．（2023广东九年级期中）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（）A．10 B．12 C．15 D．16【答案】C【分析】由四点共圆，得到，再证明，得到与的比，延长到，使，得到为等边三角形，在证明出，证出与，利用即可求出．【详解】解：，，、、、四点共圆，平分，，，，，，，，如图，延长到，使，，为等边三角形，，，，设每一份为，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了三角形相似的性质、等边三角形的性质等知识点的应用，四点共圆的应用及相似比的转化是解题关键．2．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为．

【答案】【分析】由菱形的性质及可证，得，；由得，，于是，可得，进而求得答案．【详解】∵∴∴∵四边形是菱形，∴，∴∴∴，又∵∴．，∵∴，∴．设，则，，；故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用全等及相似得到线段间的数量关系是解题的关键．3．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则=.【答案】【分析】过D作DG∥BC交AB于G，则DG为△ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易证得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图，∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE，∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为．【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用各性质进行推理计算是解题关键．4．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则=.【答案】【分析】过D作DG∥BC交AB于G，则DG为△ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易证得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图，∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE，∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为．【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用各性质进行推理计算是解题关键．5．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为；当时，为．（用含的式子表示）【答案】,【详解】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论．解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．∵∠ACB=90°，∴四边形HCGO为矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案为．6．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知一块含的直角三角板ABC按图1放置，其中，点B与原点O重合，，．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当点A滑动至与原点O重合时停止．当四边形为矩形时（如图2），点C的坐标为；当点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为．

【答案】2【分析】在中，求得，的长度，再根据矩形的性质，即可求解；确定出点的运动轨迹，即可求解．【详解】解：由题意可得：在中，，∴，∴当四边形为矩形，，∴点的坐标为；作，轴，连接，如下图：

∵，，∴四边形为矩形，，∵∴∴∴，即因此点在直线上运动，且当四边形为矩形时，点运动到最高点，点移动到时，运动到最低点，可作图如下，点运动路径为，三点共线，

∵四边形为矩形，∴，∵，∴．故答案为：，．【点睛】此题考查了坐标与图形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，通过作辅助线确定出点的运动轨迹．7．（2023年河南省周口市一模数学试题）如图，在菱形中，，，对角线，交于点，，分别是，边上的点，且，，与交于点，则的值为．

【答案】或1【分析】先证，接着在中利用勾股定理求出所需线段的长度，最后利用正切的定义求解．【详解】解：在菱形中，，∴为等边三角形，∴，.∵，，∴，∴.如图，过点作于点.在中，，∴，∴.设，则，.

在中，，即，解得，.当时，，，∴，即，解得，∴，∴.当时，，，即，解得，∴，∴综上可知，的值为或1.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、正切的定义等．综合性较强，需要学生具有较强的几何推理能力．8．（2023.广东九年级期中）如图，在中，，，，，，点在上，交于点，交于点，当时，．【答案】3【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．【详解】如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ．∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．9．（2023年福建泉州中考数学模拟试卷）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=16，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰三角形时，求BP的长．【答案】（1）DE=，CE=；（2）CQ的长为11或14；（3）BP=或．【详解】分析：（1）先根据勾股定理求得BC的长，再结合点D为BC的中点可得CD的长，然后证得△ABC∽△DEC，根据相似三角形的性质即可求得结果；（2）分点P在AB边上和点P在AB的延长线上两种情况求解即可；（3）先证得△PDF∽△CDQ，因△PDF为等腰三角形可得△CDQ为等腰三角形，再分CQ=CD、QC=QD和DC=DQ三种情况，根据等腰三角形的性质求解即可.详解：（1）∵∠A=90°，AB=12，AC=16，∴根据勾股定理得到，BC==20，∴CD=BC=10，∵DE⊥BC，∴∠A=∠CDE=90°，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，即DE：12=CE：20=10：16，∴DE=，CE=；（2）分两种情况考虑：如图，∵△CDE∽△CAB，∴∠B=∠DEC，∵∠PDQ=90°，∴∠QDC+∠PDB=90°，∵∠QDC+∠EDQ=90°，∴∠EDQ=∠PDB，∴△PBD∽△QED，∴=，即=，∴EQ=，∴CQ=CE﹣EQ=﹣=11；如图2，∵∠B=DEC，∴∠PBD=∠QED，∵∠PDQ=90°∴∠BPD+∠QDB=90°，∵∠QDE+∠QDB=90°，∴∠BDP=∠QDE，∴△PBD∽△QED，∴=，即=，∴EQ=，∴CQ=+=14，则CQ的长为11或14；（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点FF，∴点P在边AB上，∵△BPD∽△EQD，∴====，若设BP=x，则EQ=x，CQ=﹣x，∵cot∠QPD==，cotC===，∴∠QPD=∠C，∵∠PDE=∠CDQ，∴△PDF∽△CDQ，∵△PDF为等腰三角形，∴△CDQ为等腰三角形，①当CQ=CD时，可得：﹣x=10，解得：x=；②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，如图3所示，∴CM=CD=5，∵cos∠C====，∴CQ=，∴﹣x=，解得：x=；③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，如图4所示，∴CQ=2CN，∵cos∠C===，∴CN=8，∴CQ=16，∴﹣x=16，解得：x=﹣（舍去），∴综上所述，BP=或．点睛：本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键．10．（2022春·四川达州·九年级专题练习）已知，在中，．（1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系；（2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长；（3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值．【答案】（1），理由见详解；（2）；（3）【分析】（1）由题意易得，则易证，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）过点A作AH⊥BC于点H，由题意易得，，然后可得，进而根据勾股定理可得，设，则，易得，则有，所以，最后问题可求解；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，由题意易得，，则有，然后可得，设，，进而根据勾股定理可求解x的值，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：（1），理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：∵，∴△BAC是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，设，则，∴，∴，∴，解得：，∴AF=5；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，如图所示：∵，，∴△BAC是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，由旋转的性质可得，∴，∴，∴，∵GM⊥BC，GN⊥AP，AP⊥BC，∴四边形GMPN是矩形，∴，设，∴，在Rt△ANG中，，∵，∴，化简得：，解得：，∵，∴当时，易知与相矛盾，∴，∴，∴，∴，∴在Rt△DTC中，，∴．【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理是解题的关键．11．（2023辽宁铁岭市中考模拟）如图，中，，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且．（1）如图1，当时，线段AG和CF的数量关系是．（2）如图2，当时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．（3）若，，，请直接写出CF的长．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2.5或5【分析】（1）如图1，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图2，连接AE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，解直角三角形即可得到；（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到，，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到，过A作于点H由三角函数的定义即可得到结论．②当点G在BD上，如图4，方法同（1）．【详解】解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，∵DE垂直平分AB，，，，，，，，，，，，，；故答案为；（2），理由：如图2，连接AE，，，，∵DE垂直平分AB，，，，，，，，，，，在中，，，，；（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，∵DE垂直平分AB，，，，，，，，，，，，，，，，过A作于点H，，，，，，，，，；②当点G在BD上，如图4，同（1）可得，，，，，，综上所述，CF的长为2.5或5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2023西南交通大学附属中学九年级月考）在中，，，，点为边的中点，交边于点，点为直线上的一动点，点为直线上的一动点，且．（1）求、的长．（2）若，求的长．（3）记线段与线段的交点为点，若为等腰三角形，求的长．【答案】（1），；（2）或；（3）或【分析】（1）由勾股定理求得BC=10．通过“两角法”证得△CDE∽△CAB，则对应边成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；（2）如图2，当P点在AB上时，由∠PDQ=90°就可以得出∠2=∠4，就可以证明△PBD∽△QED，就可以EQ的值，从而求得CQ的值；如图2-1，当P点在AB的延长线上时，证明△PBD∽△QED，由相似三角形的性质就可以求出结论；（3）如图3，4，5由条件可以求出△BPD∽△EQD，就有，设BP=x，则EQ=，CQ=，由三角函数值可以得出△PDF∽△CDQ．由△PDF为等腰三角形就可以得出△CDQ为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论就可以求出结论．【详解】解：（1）如图，∵，，，∴根据勾股定理得到，∴．∵．∴，∴∴，即∴，．（2）如图，∵，∴．∵∴．∵∴，∴，∴，∴，∴，∴．如图，∵，∴．∵∴．∵∴，∴∴，∴，∴，∴故或．（3）∵线段与线段的交点为点，∴点在边上∵∴．若设，则，．∵，，∴∵，∴．∵为等腰三角形，∴为等腰三角形．①当时，可得：，解得：．②当时，过点作于，∴．∵，∴，∴．∴解得：③当时，过点作于，∴．∵∴，∴，∴，∴解得：（舍去）．∴综上所述，或．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键．13．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）综合与实践问题情境：在中，．点在斜边上运动，过点作射线，分别与边交于点．猜想证明：（1）当点在斜边的中点处时，

①如图（1），在旋转过程中，当点时，与的数量关系是______，_______．②当旋转到如图②所示的位置时，的值是否发生变化？若不变，请证明；若变化，请说明理由．③如图③，在旋转过程中，当时，直接写出线段的长_______；类比探究（2）当点在斜边上运动时，①如图④，当点运动到时，_______；②如图⑤，连接，当是等腰三角形时，求的长．【答案】（1）①，；②不变化，证明见解析；③；（2）①；②【分析】（1）①证明四边形是矩形，求出，然后根据平行线分线段成比例定理可得，进而可得答案；②如图②，过点D作，证明，结合（1）的结论即可解答；③如图③，过点D作，同理可证：，设，然后根据相似三角形的性质结合①②列出方程求解即可；（2）①如图④，过点D作，利用三角函数求出，证明，再根据相似三角形的性质即可求出答案；②当是等腰三角形时，