初中数学试题大全（八十）图形的旋转中档题

80初中数学组卷：图形的旋转中档题

一.选择题（共10小题）

1.如图，在Rt^ABC中，NBAC=90。，将^ABC绕点A顺时针旋转90。后得到的

△AB'C'（点B的对应点是点B，，点C的对应点是点C）,连接CC.若NCC'B'=32°,

则NB的大小是（）

A.32°B.64°C.77°D.87°

2.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45。后得到正方形AB©Di，

边BEi与CD交于点。，则四边形ABQD的面积是（）

B.工C.回

AD.V2-1

4162

3.如图，正方形OABC绕着点。逆时针旋转40。得到正方形ODEF,连接AF,则

ZOFA的度数是（）

4.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形ABCD，位置，此时AC的中点恰好与D

点重合，AB咬CD于点E.若AB=3,则4AEC的面积为（）

A.3B.1.5C.2JsD.M

5.如图，将Rt^ABC绕直角顶点C顺时针旋转90。，得到△AEC,连接AAZ,若

Zl=20°,则NB的度数是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

6.在如图所示的平面直角坐标系中，AOAiBi是边长为2的等边三角形，作△

B2A2B1与△OAiBi关于点Bi成中心对称，再作AB2A3B3与AB2A2B1关于点B2成中

心对称，如此作下去，则AB2nA2n,lB2n,l（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（）

姝

公4

。|8V828V

4A,

A.（4n-1,折B.（2n-1,后c-（4n+l,折D.（2n+l,后

7.如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后

仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就

能知道周长的图形的标号为（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

8.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,将^ABC绕点A逆时针旋转，使

点c落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（)

A.V10B.2如C.3D.2海

9.如图所示，将一个含30。角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B,A,U

在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

10.一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角

形的斜边上，AC与DM,DN分别交于点E,F,把4DEF绕点D旋转到一定位置,

使得DE=DF,则NBDN的度数是（）

二.填空题（共10小题）

11.如图，已知Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,将^ABC绕直角顶点C

顺时针旋转90。得到△口£（：.若点F是DE的中点，连接AF,则AF=.

12.如图，将4ABC绕点A顺时针旋转60。得到^AED,若线段AB=3,则

BE=

13.若点（a,1）与（-2,b）关于原点对称，则ab=.

14.如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60。得到

线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为.

15.若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2,则点A关于原点对称的

点的坐标为.

16.如图，把AABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到△AEC,AB交AC于点

17.已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A（-2,0）,点

B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,

经过2015次翻转之后，点B的坐标是

18.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，ZEAF=45°,AECF

的周长为4,则正方形ABCD的边长为.

19.如图，已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点，且N

EDF=45。，将^DAE绕点D逆时针旋转90。，得到△DCM.若AE=1,则FM的长

为_______

20.在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A(4,5)逆时针旋转90。，得

到的点A的坐标为

三.解答题(共10小题)

21.如图，△ABC中，AB=AC=1,NBAC=45°,Z\AEF是由aABC绕点A按顺时针

方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D.

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

22.如图，正方形ABCD与正方形AiBiGDi关于某点中心对称，已知A,必，D

三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2).

(1)求对称中心的坐标.

(2)写出顶点B,C,Bi，J的坐标.

△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点

(点P与点A不重合)，连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,

连结QB并延长交直线AD于点E.

(1)如图1,猜想NQEP=

(2)如图2,3,若当NDAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想NQEP的度

数，选取一种情况加以证明;

24.如图，点O是等边4ABC内一点,ZAOB=110",ZBOC=a.将△BOC绕点C

按顺时针方向旋转60。得^ADC,连接0D.

(1)求证：acoD是等边三角形；

(2)当a=150。时，试判断AAOD的形状，并说明理由;

(3)探究：当a为多少度时，AAOD是等腰三角形？

25.如图，已知ABAD和ABCE均为等腰直角三角形，NBAD=NBCE=90。，点M

为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.

(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证：M为AN的中点；

(2)将图1中的4BCE绕点B旋转，当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),

求证：4人0\1为等腰直角三角形；

(3)将图1中4BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中的结论是否仍成立？若

成立，试证明之，若不成立，请说明理由.

图1图2图3

26.如图，在平面直角坐标系中，已知^ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,

5),B(-2,1),C(-1,3).

(1)若^ABC经过平移后得到△AiBiJ,已知点J的坐标为(4,0),写出顶点

A1；Bi的坐标;

(2)若4ABC和2c2关于原点O成中心对称图形，写出4A2B2c2的各顶点

的坐标；

(3)将^ABC绕着点。按顺时针方向旋转90。得到4A3B3c3，写出4A3B3c3的各

顶点的坐标.

27.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,将^ABC绕点C按顺时针方向

旋转n度后，得到△口£（：,点D刚好落在AB边上.

（1）求n的值；

（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由.

28.在4ABC中，AB=AC,ZA=60°,点D是线段BC的中点，ZEDF=120°,DE

与线段AB相交于点E.DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1,若DFLAC,垂足为F,AB=4,求BE的长；

（2）如图2,将（1）中的NEDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段

AC相交于点F.求证：BE+CF=LXB；

2

（3）如图3,将（2）中的NEDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与

线段AC的延长线相交于点F,作DNLAC于点N,若DN^AC于点N,若DN=FN,

求证：BE+CF=V3（BE-CF）.

29.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把^ADE顺时针旋转4ABF的

位置.

（1）旋转中心是点,旋转角度是度；

（2）若连结EF,则4AEF是三角形；并证明；

（3）若四边形AECF的面积为25,DE=2,求AE的长.

30.如图，4BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60。而得，且AB，BC,BE=CE,

连接DE.

（1）求证：^BDE话^BCE；

（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由.

80初中数学组卷：图形的旋转中档题

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2015•哈尔滨）如图，在RtaABC中,ZBAC=90",将△ABC绕点A顺时针旋

转90。后得到的△ABC（点B的对应点是点点C的对应点是点C）,连接CC.若

NCCB，=32。，则NB的大小是（）

B'\

BA

A.32°B.64°C.77°D.87°

【分析】旋转中心为点A,C、U为对应点，可知AC=AC,又因为NCAC=90。，根

据三角形外角的性质求出NCEA的度数，进而求出NB的度数.

【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC,

VZCAC=90°,可知△CAC为等腰直角三角形，则NCUA=45。.

VZCC/B,=32°,

ZCEA=ZC,CA+ZCC,B,=45°+32O=77°,

VZB=ZC,B,A,

AZB=77°,

故选C.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线

段相等.也考查了等腰直角三角形的性质.

2.（2015•枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45。后得到正

方形ABiGDi，边B©与CD交于点O,则四边形ABQD的面积是（）

C,

B._LC.近7D.A/2-1

A.3

4162

【分析】连接AJ,AO,根据四边形ABiJDi是正方形，得出NCiABi=NAJBi=45。,

求出NDABi=45。，推出A、D、J三点共线，在RtACiDiA中，由勾股定理求出

AJ,进而求出DCFOD,根据三角形的面积计算即可.

【解答】方法一：

解：连接AC。

四边形ABiCiDi是正方形，

ZCiABi=lx90°=45°=ZACiBi，

2

：边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45。后得到正方形ABiCiDi

AZBiAB=45°,

AZDABi=90°-45°=45°,

；.ACi过D点,即A、D、Ci三点共线,

,正方形ABCD的边长是1,

四边形ABiCiDi的边长是1,

在RQJD1A中，由勾股定理得：AC气/]2+11我,

则DJ=&-1,

：NACiBi=45°,ZCiDO=90°,

AZCiOD=45°=ZDCiO,

/•DCI=OD=-72-1，

1

SAAD0=—XOD»AD-^~.,

22

I.四边形ABiOD的面积是=2X与1,

方法二：

解：,••四边形ABCD是正方形，

.\AC=V2，ZOCBi=45°,

CBi=OBi

VABi=l,

/.CBi=OBi=AC-ABi=^/2_L

.』OBIC=L・OBI・CBI=L（V2-1）2,

22

•；SAADC=X^D»AC=^X1X1=1,

222

•'•S四边形AB10D二SZ\ADC-SA0B1C=1-1（V2-1）2=我_1；

22

故选：D.

【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进

行计算的能力，正确的作出辅助线是解题的关键.

3.（2015•曲靖）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40。得到正方形ODEF,

连接AF,则NOFA的度数是（）

【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到NAOF的度数，OA=OF,再根据

等腰三角形的性质即可求得NOFA的度数.

【解答】解：•.•正方形OABC绕着点0逆时针旋转40。得到正方形ODEF,

AZAOF=90°+40°=130°,OA=OF,

AZOFA=（180°-130°）4-2=25°.

故选：c.

【点评】考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等.同时考查了正方形

的性质和等腰三角形的性质.

4.（2015•抚顺）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形ABID位置，此时AC

的中点恰好与D点重合，AB，交CD于点E.若AB=3,则4AEC的面积为（）

【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角

形ACD中，ZACD=30°,再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到NDAE

为30。，进而得到NEAC=NECA,利用等角对等边得到AE=CE,设AE=CE=x,表示

出AD与DE,利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定

出EC的长，即可求出三角形AEC面积.

【解答】解：：旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=1AC=1JXC,

22

.•.在Rt^ACD中，ZACD=30°,即NDAC=60°,

ZDAD=60°,

AZDAE=30",

AZEAC=ZACD=30",

；.AE=CE,

在Rt^ADE中，设AE=EC=x,则有DE=DC-EC=AB-EC=3-x,AD=^X3=«,

3

根据勾股定理得：X2=(3-x)2+(V3)2,

解得：x=2,

AEC=2,

则SMECJEC・AD=E，

2

故选：D.

【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及

等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

5.（2014•义乌市）如图，将RtAABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△AEC,

连接AA,若N1=20。，则NB的度数是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

【分析】根据旋转的性质可得AC=AC,然后判断出AACA是等腰直角三角形，根

据等腰直角三角形的性质可得NCAA=45。，再根据三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和求出NAEC,然后根据旋转的性质可得NB=NAEC.

【解答】解：：RtAABC绕直角顶点C顺时针旋转90。得到△AEC,

，AC=A'C,

...△ACA是等腰直角三角形，

，NCAA'=45°,

NA'B'C=Nl+NCAA'=20°+45°=65°,

由旋转的性质得NB=NAEC=65。.

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个

外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关

键.

6.（2015•庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OAiBi是边长为2的等边

三角形，作AB2A2B1与△OAiBi关于点Bi成中心对称，再作AB2A3B3与AB2A2B1

关于点B2成中心对称,如此作下去，则AB2nA24隹2记1（n是正整数）的顶点A2n+1

的坐标是（）

A.（4n-1,«）B.（2n-1,旧）C.（4n+l,«）D.（2n+l,«）

【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得心的坐标为（1,V3）»

Bi的坐标为（2,0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A?、A3、A4的坐标

各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2m的坐标是多少即可.

【解答】解：•••△OA1B1是边长为2的等边三角形，

；.Ai的坐标为（1,如）,Bi的坐标为（2,0）,

AB2A2B1与△OA1B1关于点Bi成中心对称，

点A2与点Ai关于点Bi成中心对称,

V2X2-1=3,2X0-舟-M，

•••点A2的坐标是（3,-V5）,

：△B2A3B3与△B2A2Bi关于点B2成中心对称，

•••点A3与点A2关于点B2成中心对称，

•.•2X4-3=5,2X0-（-«）=6，

点A3的坐标是（5,

...△83人484与483人382关于点B3成中心对称，

点A4与点A3关于点B3成中心对称，

V2X6-5=7,2X0-V3=-V3-

点A4的坐标是（7,-遮），

V1=2X1-1,3=2X2-1,5=2X3-1,7=2X3-1,

.•.An的横坐标是2n-1,A2n+i的横坐标是2（2n+l）-l=4n+l,

•••当n为奇数时，4的纵坐标是当n为偶数时，飞的纵坐标是一遮,

顶点A2n+i的纵坐标是百，

.,.△B2nA2n+1B2n+i（n是正整数）的顶点A2n+i的坐标是（4n+l,«）.

故选：C.

【点评】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题的

关键是分别判断出An的横坐标、纵坐标各是多少.

7.(2015•宁波)如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和

2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割

后不用测量就能知道周长的图形的标号为()

①

②

③

②

①

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】首先设图形①的长和宽分别是a、c,图形②的边长是b,图形③的边长

是d,原来大长方形的周长是I,判断出1=2(a+2b+c),a=b+d,b=c+d；然后分

别判断出图形①、图形②的周长都等于原来大长方形的周长的L,所以它们的周

2

长不用测量就能知道，而图形③的周长不用测量无法知道，据此解答即可.

①

③d②

②6①

ba

【解答】解：如图1,图1,

设图形①的长和宽分别是a、c,图形②的边长是b,图形③的边长是d,原来大

长方形的周长是I,

则1=2(a+2b+c),

根据图示，可得

[a=b+d…⑴

fb=c+d…(2)

(1)-(2),可得：a-b=b-c,

2b=a+c,

A1=2(a+2b+c)=2X2(a+c)=4(a+c),或1=2(a+2b+c)=2X4b=8b,

2(a+c)=X,4b=—,

22

•••图形①的周长是2(a+c),图形②的周长是4b,上的值一定，

2

图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道.

...分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②.

故选：A.

【点评】此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键

是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中

心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

8.（2016•宜宾）如图，在ZXABC中,ZC=90°,AC=4,BC=3,将^ABC绕点A逆

时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间

的距离为（）

C

A.V1QB.2-./2C.3D.2、而

【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利

用勾股定理求出B、D两点间的距离.

【解答】解：：在^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

；.AB=5,

..,将4ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D

处，

；.AE=4,DE=3,

.\BE=1,

在RtABED中，

BD=7BE2+DE2=^-

故选：A.

【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转

的基本性质，特别是线段之间的关系.题目整体较为简单，适合随堂训练.

9.（2016•新疆）如图所示，将一个含30。角的直角三角板ABC绕点A旋转，使

得点B,A,C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（

A.60°B.90°C.120°D.150°

【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解.

【解答】解：旋转角是NCAC=180。-30°=150°.

故选：D.

【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角是解题的关键.

10.（2015•青海）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在

等腰直角三角形的斜边上，AC与DM,DN分别交于点E,F,把4DEF绕点D旋

转到一定位置，使得DE=DF,则NBDN的度数是（）

A.105°B.115℃.120°D.135°

【分析】根据等腰三角形的性质和特殊直角三角形的性质即可得到结果.

【解答】解：：DE=DF,NEDF=30°,

ZDFC=1（180°-ZEDF）=75°,

2

VZC=45",

ZBDN=ZDFC+ZC=75°+45°=120°,

故选C.

【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确

的识别图形是解题的关键.

二.填空题（共10小题）

11.（2015•扬州）如图，已知RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,将"BC

绕直角顶点C顺时针旋转90。得到△口£（：.若点F是DE的中点，连接AF,则AF=

【分析】根据旋转的性质，EC=BC=4,DC=AC=6,ZACD=ZACB=90°,由点F是

DE的中点，可求出EG、GF,因为AE=AC-EC=2,可求出AG,然后运用勾股定

理求出AF.

【解答】解：作FGXAC,

根据旋转的性质，EC=BC=4,DC=AC=6,NACD=NACB=90°,

•点F是DE的中点,

AFG//CD

/.GF=l.CD=ljXC=3

22

EG=.LEC=XBC=2

22

VAC=6,EC=BC=4

，AE=2

AAG=4

根据勾股定理，AF=5.

【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用,

作垂线构造直角三角形是解决问题的关键.

12.（2015•湘潭）如图，将4ABC绕点A顺时针旋转60。得到^AED,若线段AB=3,

则BE=3.

【分析】根据旋转的性质得出NBAE=60。，AB=AE,得出^BAE是等边三角形，进

而得出BE=3即可.

【解答】解：•.•将^ABC绕点A顺时针旋转60。得到^AED,

AZBAE=60°,AB=AE,

/.△BAE是等边三角形，

；.BE=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分

别相等，图形的大小、形状都不改变.要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；

②旋转方向；③旋转角度.

13.（2015•西宁）若点（a,1）与（-2,b）关于原点对称，则ab=1.

—_2-

【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x,y）,关于原点的对称点是（-x,-y）,

即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数.记忆方法是结合平面直角坐

标系的图形记忆.

【解答】解：•••点（a,1）与（-2,b）关于原点对称，

b=-1,8=2,

b-1

.•.a=2=l.

2

故答案为：1.

2

【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标,这一类题目是需要识记的基础题,

记忆时要结合平面直角坐标系.

14.（2016•达州）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针

旋转60。得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面

积为24+9立.

旋转的性质得AP=PQ=6,NPAQ=60。，则可判断△APQ为等边三角形，所以

PQ=AP=6,接着证明△APC咨△ABQ得到PC=QB=10,然后利用勾股定理的逆定理

证明^PBCi为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=SABPQ+SAAPQ

进行计算.

【解答】解：连结PQ,如图，

•.♦△ABC为等边三角形，

AZBAC=60°,AB=AC,

•••线段AP绕点A顺时针旋转60。得到线段AQ,

，AP=PQ=6,NPAQ=60°,

...△APQ为等边三角形，

，PQ=AP=6,

VZCAP+ZBAP=60°,ZBAP+ZBAQ=60°,

AZCAP=ZBAQ,

在AAPC和△ABQ中，

'AC=AB

-NCAP=/BAQ，

、AP=AQ

.♦.△APC四△ABQ,

.*.PC=QB=10,

在△BPQ中，VPB2=82=64,PQ2=62,BQ2=102,

而64+36=100,

.*.PB2+PQ2=BQ2,

...△PBQ为直角三角形，NBPQ=90°,

2

S四边形APBQ=SABPQ+SAAPQ=LX6X8+XAx6=24+9/3,

24

故答案为24+9A/3.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理和

等边三角形的性质.

15.（2015•青海）若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2,则点A关

于原点对称的点的坐标为（-1,-1）•

【分析】过点A作ADXOB于点D,根据等腰直角三角形的性质求出OD及AD

的长，故可得出A点坐标，再由关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论.

【解答】解：过点A作ADLOB于点D,

•••△AOB是等腰直角三角形，OB=2,

.,.OD=AD=1,

AA（1,1）,

点A关于原点对称的点的坐标为（-1,-1）.

故答案为（-1,-1）.

【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知等腰直角三角形的性

质是解答此题的关键.

16.（2014•梅州）如图，把^ABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到△ABC,

AB交AC于点D.若NA'DC=90°,则NA=55°

【分析】根据题意得出NACA=35。，则NA=90。-35。=55。，即可得出NA的度数.

【解答】解：:把aABC绕点C按顺时针方向旋转35。,得到△AEC,A'B'交AC

于点D,ZA,DC=90°,

NACA'=35°,贝l|NA'=90°-35°=55°,

则NA=NA'=55°.

故答案为:55°.

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出NA

的度数是解题关键.

17.（2015•衢州）已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A

（-2,0）,点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻

转，每次翻转60。，经过2015次翻转之后，点B的坐标是（4031,立）.

【分析】根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2015除以6,

根据商和余数的情况确定出点B的位置，然后求出翻转前进的距离，过点B作

BG，x于G,求出NBAG=60。，然后求出AG、BG,再求出OG,然后写出点B的

坐标即可.

【解答】解：•••正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转

60°,

•••每6次翻转为一个循环组循环，

：2015+6=335余5,

经过2015次翻转为第336循环组的第5次翻转，点B在开始时点C的位置，

VA(-2,0),

；.AB=2,

翻转前进的距离=2X2015=4030,

如图，过点B作BG，x于G,则NBAG=60。，

所以，AG=2X1=1,

2

BG=2X立=4，

2

所以，OG=4030+1=4031,

所以，点B的坐标为(4031,«).

故答案为：(4031,V3).

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，正六边形的性质，确定出最后点B

所在的位置是解题的关键，难点在于作辅助线构造出直角三角形.

18.(2014•绵阳)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，Z

EAF=45°,AECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为二

【分析】根据旋转的性质得出NEAF=45。，进而得出△FAE/^EAF,即可得出

EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4,得出正方形边长即可.

【解答】解：将4DAF绕点A顺时针旋转90度到^BAF位置，

由题意可得出：4DAF之△BAF',

.\DF=BF,,NDAF=/BAF',

...NEAF'=45°,

在AFAE和^EAF,中

'AF=AF'

<NFAE=/EAF'，

,AE=AE

.,.△FAE^AEAF,(SAS),

.•.EF=EF',

VAECF的周长为4,

.•.EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=DF+FC+BC=4,

；.2BC=4,

BC=2.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出

△FAE咨4EAF'是解题关键.

19.(2016•西宁)如图，已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边

上的点，且NEDF=45。，将^DAE绕点D逆时针旋转90。，得到△DCM.若AE=1,

则FM的长为5.

【分析】由旋转可得DE=DM,NEDM为直角，可得出NEDF+NMDF=90。，由N

EDF=45°,得到NMDF为45°,可得出NEDF=NMDF,再由DF=DF,利用SAS可得

出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；

则可得到AE=CM=1,正方形的边长为3,用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM

求出BM的长，设EF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x,在直角三角形

BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM

的长.

【解答】解：:△DAE逆时针旋转90。得到△DCM,

AZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,

・・.F、C、M三点共线，

.♦.DE=DM,NEDM=90°,

AZEDF+ZFDM=90°,

VZEDF=45°,

AZFDM=ZEDF=45°,

在Z^DEF和△DMF中，

'DE=DM

-ZEDF=ZFDM-

,DF=DF

.,.△DEF^ADMF(SAS),

，EF=MF,

设EF=MF=x,

VAE=CM=1,且BC=3,

・・・BM=BC+CM=3+1=4,

・・.BF=BM-MF=BM-EF=4-x,

VEB=AB-AE=3-1=2,

在RtAEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2,

即2?+(4-x)2=x2,

解得：x=5,

2

FM巨

2

故答案为：A.

2

【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以

及勾股定理.此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形

结合思想与方程思想的应用.

20.(2015•济宁)在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A(4,5)逆时针

旋转90°,得到的点A的坐标为(-5,4)

【分析】首先根据点A的坐标求出OA的长度，然后根据旋转变换只改变图形的

位置，不改变图形的形状与大小，可得OA，=OA,据此求出点A的坐标即可.

【解答】解：如图，过点A作AC，y轴于点C,作AB，x轴于点B,过A作AE

C

_Ly轴于点E,作AD_Lx轴于点D,

•点A(4,5),

...AC=4,AB=5,

,点A(4,5)绕原点逆时针旋转90。得到点A,

.•.A'E=AB=5,A'D=AC=4,

点A的坐标是（-5,4）.

故答案为：（-5,4）.

【点评】此题主要考查了坐标与图形变换-旋转，要熟练掌握，解答此题的关键

是要明确：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小.

三.解答题（共10小题）

21.（2015•湖北）如图，^ABC中，AB=AC=1,ZBAC=45",Z\AEF是由△ABC绕

点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D.

（1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

E

【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB,AF=AC,NEAF=NBAC,则NEAF+/BAF=

ZBAC+ZBAF,即NEAB=NFAC,禾烟AB=AC可得AE=AF,于是根据旋转的定义，

△AEB可由4AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到

BE=CD；

（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1,AC〃DE,根据等腰三角形的性质得/

AEB=NABE,根据平行线得性质得NABE=NBAC=45°,所以NAEB=NABE=45°,于

是可判断AABE为等腰直角三角形，所以BE=V2AC=V2-于是利用BD=BE-DE

求解.

【解答】（1）证明：•..△AEF是由AABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，

；.AE=AB,AF=AC,NEAF=NBAC,

ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,即NEAB=NFAC,

VAB=AC,

，AE=AF,

・•.AAEB可由4AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，

，BE=CF；

(2)解：•四边形ACDE为菱形，AB=AC=1,

.\DE=AE=AC=AB=1,AC〃DE,

ZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,

，NAEB=NABE=45°,

/.△ABE为等腰直角三角形，

BE=V2AC=V2»

.*.BD=BE-DE=A/2-1.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了菱形的性质.

22.(2015•南昌)如图，正方形ABCD与正方形AiBiGDi关于某点中心对称，已

知A,Di，D三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2).

(1)求对称中心的坐标.

(2)写出顶点B,C,Bi，G的坐标.

【分析】(1)根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是DiD的中点，据此解

答即可.

(2)首先根据A,D的坐标分别是(0,4),(0,2),求出正方形ABCD与正方

形AiBiCiDi的边长是多少，然后根据A,%,D三点的坐标分别是(0,4),(0,

3),(0,2),判断出顶点B,C,Bi，J的坐标各是多少即可.

【解答】解：(1)根据对称中心的性质，可得

对称中心的坐标是DiD的中点，

VDi，D的坐标分别是(0,3),(0,2),

，对称中心的坐标是(0,2.5).

(2)VA,D的坐标分别是(0,4),(0,2),

・•.正方形ABCD与正方形A1B1JD1的边长都是：4-2=2,

：.B,C的坐标分别是(-2,4),(-2,2),

VAiDi=2,上的坐标是(0,3),

；.Ai的坐标是(0,1),

ABi，G的坐标分别是(2,1),(2,3),

综上，可得

顶点B,C,Bi，J的坐标分别是(-2,4),(-2,2),(2,1),(2,3).

【点评】(1)此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的

关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关

于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

(2)此题还考查了坐标与图形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是

要明确点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x

轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐

标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.

23.(2016•市中区一模)如图1,已知NDAC=90。，AABC是等边三角形，点P

为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连结CP,将线段CP绕点C顺时

针旋转60。得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.

(1)如图1,猜想NQEP=60°；

(2)如图2,3,若当NDAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想/QEP的度

数，选取一种情况加以证明；

(3)如图3,若NDAC=135°,ZACP=15",且AC=4,求BQ的长.

【分析】（1）猜想NQEP=60。；

（2）以NDAC是锐角为例进行证明，如图2,根据等边三角形的性质得AC=BC,

ZACB=60°,再根据旋转的性质得CP=CQ,NPCQ=60°,则NACP=NBCQ,

根据"SAS"可证明AACP之△BCQ,得到NAPC=NQ,然后利用三角形内角和定理

可得到NQEP=ZPCQ=60°；

（3）连结CQ,作CHLAD于H,如图3,与（2）一样可证明△ACP/^BCQ,

则AP=BQ,由NDAC=135°,ZACP=15°,易得NAPC=30°,ZPCB=45°,则可判断

△ACH为等腰直角三角形，所以AH=CH=1AC=2«,在RtAPHC中，根据含30

度的直角三角形三边的关系得PH=«CH=2加，于是可计算出PA=PH-AH=2&-

2版,所以BQ=2遍-2圾.

【解答】解：⑴ZQEP=60°；

证明：连接PQ,

VPC=CQ,且NPCQ=60°,

则ACQB和4CPA中，

'PC=QC

-NPCQ=/ACB，

kAC=BC

.,.△CQB^ACPA(SAS),

AZCQB=ZCPA,

又因为△PEM和△CQM中，NEMP=NCMQ,

AZQEP=ZQCP=60°.

故答案为：60；

（2）ZQEP=60°.以NDAC是锐角为例.

证明：如图2,

•••△ABC是等边三角形，

，AC=BC,ZACB=60",

•.•线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,

.♦.CP=CQ,ZPCQ=6O°,

ZACB+ZBCP=ZBCP+ZPCQ,

即NACP=NBCQ,

在4ACP和△BCQ中，

'CAXB

-ZACP=ZBCQ-

CP=CQ

.♦.△ACP之△BCQ(SAS),

NAPC=NQ,

VZ1=Z2,

AZQEP=ZPCQ=60o；

(3)连结CQ,作CHLAD于H,如图3,

与(2)一样可证明4ACP丝△BCQ,

，AP=BQ,

VZDAC=135°,ZACP=15°,

AZAPC=30°,ZPCB=45°,

•••△ACH为等腰直角三角形，

AAH=CH=2ZIAC=返X4=2心

22

在RtAPHC中，PH=J5CH=2遥，

.,.PA=PH-AH=2巡-2血，

I.BQ=2遥-272.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了全等三角形

的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质.

24.（2015•裕华区模拟）如图，点0是等边4ABC内一点，ZAOB=110°,NBOC=a.将

ABOC绕点C按顺时针方向旋转60。得△ADC,连接0D.

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当a=150。时，试判断AAOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当a为多少度时，^AOD是等腰三角形？

【分析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD,结合题意即可证得结论；

（2）结合（1）的结论可作出判断；

（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.

【解答】（1）证明：•将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60。得△ADC,

.*.CO=CD,ZOCD=60°,

/.△COD是等边三角形.

（2）解：当a=150。时，△AOD是直角三角形.

理由是：：将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60。得△ADC,

.,.△BOC^AADC,

AZADC=ZBOC=150°,

又•••△COD是等边三角形，

AZODC=60°,

ZADO=ZADC-ZODC=90",

VZa=150°ZAOB=110°,ZCOD=60",

ZAOD=360°-Na-ZAOB-ZCOD=360°-150°-110°-60°=40°,

•••△AOD不是等腰直角三角形，即^AOD是直角三角形.

(3)解：①要使AO=AD,需NAOD=NAD。，

ZAOD=360°-110°-60°-a=190°-a,ZADO=a-60°,

A190°-a=a-60°,

.,.a=125°；

②要使OA=OD,需NOAD=NADO.

VZOAD=180°-(ZAOD+ZADO)=180°-(190°-a+a-60°)=50°,

：.a-60°=50°,

.,.a=110°；

③要使OD=AD,需NOAD=NAOD.

ZAOD=360°-110°-60°-a=190°-a,

/CAD=180°-(a-60°)=〔如。_三

22

1900-a=120°-

2

解得a=140°.

综上所述：当a的度数为125。或110。或140。时，AAOD是等腰三角形.

【点评】本题以“空间与图形"中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形

的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，

层层递进.试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变

化、数形结合、分类讨论、方程思想等)，能较好地考查学生的推理、探究及解

决问题的能力.

25.(2014・宿迁)如图，已知ABAD和ABCE均为等腰直角三角形，NBAD=N

BCE=90。，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.

(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证：M为AN的中点；

(2)将图1中的4BCE绕点B旋转，当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),

求证：4人0\1为等腰直角三角形；

(3)将图1中4BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中的结论是否仍成立？若

成立，试证明之，若不成立，请说明理由.

图1图2图3

【分析】(1)由EN〃AD和点M为DE的中点可以证到^ADM注△NEM,从而证

到M为AN的中点.

(2)易证AB=DA=NE,ZABC=ZNEC=135°,从而可以证到△ABCg^NEC,进而

可以证到AC=NC,ZACN=ZBCE=90°,则有△ACN为等腰直角三角形.

(3)延长AB交NE于点F,易得AADM之△NEM,根据四边形BCEF内角和，可

得NABC=NFEC,从而可以证到^ABC也ZiNEC,进而可以证到AC=NC,ZACN=

NBCE=90。，则有4ACN为等腰直角三角形.

【解答】(1)证明：如图1,

：EN〃AD,

AZMAD=ZMNE,ZA