新八年级数学讲义第3讲角平分线与垂直平分线-满分班(学生版+解析)

第3讲角平分线和垂直平分线1角平分线角平分线的性质1.角的平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

2.角的平分线的判定定理

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.【例题精选】例1(2023秋•永城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，CD＝DE，∠CBD＝26°，则∠A的度数为（）A．40° B．34° C．36° D．38°例2(2023秋•定州市期末）如图，已知∠AOB＝60°，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PO＝6cm，则PD长的最小值是（）A．7cm B．6cm C．5cm D．3cm【随堂练习】1.(2023秋•宜春期末）如图点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．115° B．105° C．125° D．130°2．(2023秋•霸州市期末）如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（）A．20 B．12 C．10 D．82垂直平分线线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.【例题精选】例1(2023秋•来凤县期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（）A．38° B．40° C．42° D．44°例2(2023•西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°【随堂练习】1．(2023秋•涟源市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）A．5 B．10 C．12 D．132．(2023秋•东台市期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（）A．130° B．95° C．90° D．85°二．解答题1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）2．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．4．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：（1）AB是∠CAF的角平分线；（2）∠FAD＝∠E．第3讲角平分线和垂直平分线1角平分线角平分线的性质1.角的平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

2.角的平分线的判定定理

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.【例题精选】例1(2023秋•永城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，CD＝DE，∠CBD＝26°，则∠A的度数为（）A．40° B．34° C．36° D．38°分析：利用角平分线的性质定理的逆定理得到BD平分∠ABC，则∠EBD＝∠CBD＝26°，然后利用互余计算∠A的度数．【解答】解：∵DE⊥AB，DC⊥BC，DE＝DC，∴BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD＝26°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣2×26°＝38°．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．例2(2023秋•定州市期末）如图，已知∠AOB＝60°，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PO＝6cm，则PD长的最小值是（）A．7cm B．6cm C．5cm D．3cm分析：作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PC＝PH，∠AOP＝∠AOB＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到PC＝3，则PH＝3，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：作PH⊥OB于H，如图，∵OP平分∠AOB，∴PC＝PH，∠AOP＝∠AOB＝30°，在Rt△OPC中，PC＝OP＝3，∴PH＝3，∴PD长的最小值为3cm．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．【随堂练习】1.(2023秋•宜春期末）如图点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．115° B．105° C．125° D．130°【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴点O为△ABC的内角平分线的交点，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），而∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×50°＝115°．故选：A．2．(2023秋•霸州市期末）如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（）A．20 B．12 C．10 D．8【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF＝OD＝2，∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积＝×（AB+BC+AC）×OD＝×10×2＝10，故选：C．2垂直平分线线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.【例题精选】例1(2023秋•来凤县期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（）A．38° B．40° C．42° D．44°分析：根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝68°，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，计算即可．【解答】解：∵∠BAC＝112°，∴∠C+∠B＝68°，∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，∴EB＝EA，FC＝FA，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝68°，∴∠EAF＝44°，故选：D．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．例2(2023•西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°分析：根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，由作图可知MN为AC的中垂线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故选：C．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•涟源市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）A．5 B．10 C．12 D．13【解答】解：∵ED垂直平分AB，∴BE＝AE，∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，∴12+5+AE＝30，∴AE＝13，∴BE＝AE＝13，故选：D．2．(2023秋•东台市期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB是线段CD的垂直平分线，故选：C．综合练习一．选择题（共3小题）1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，∴AD＝DC，∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，∴BC＝11cm，故选：D．2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（）A．130° B．95° C．90° D．85°【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，∴∠BDA＝50°，∴∠DAC＝∠BDA＝25°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°故选：B．二．解答题1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，＝∠BAC﹣（∠B+∠C），在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．2．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∵∠C＝90°，∠BDC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD，∴CD＝AD，∵AC＝6，∴AD＝4．3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．【解答】解：如图，作AM⊥BC于M．∵AC的中垂线交BC于E，∴EA＝EC，∴∠C＝∠EAC＝30°，∴∠AEM＝∠EAC+∠C＝60°，∵∠AME＝90°，AE＝EC＝4，∠MAE＝30°，∴EMAE＝2，AM＝2，∵∠