新九年级数学时期讲义第9讲圆的计算-满分班(学生版+解析)

第9讲与圆有关的计算1弧长的计算弧长公式:半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

【例题精选】例1(2023•麒麟区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径AB＝10，点D平分，DE⊥AB交⊙O于点E，∠EDC＝99°，则的长是（）A． B． C．3π D．【随堂练习】1．(2023•宁波模拟）已知扇形OAB的圆心O是坐标原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），那么扇形OAB的面积是（）A．25π B．π C．16π D．π2扇形面积的计算1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【例题精选】例1(2023秋•龙岗区期末）扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条AD的长为5cm，贴纸的部分BD的长为10cm．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，则纸扇贴纸部分的面积为（）A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．100πcm2例2(2023•瑞安市一模）如图，一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形，若大圆半径为2，小圆半径为1，则阴影部分的面积为（）A．π B．π C．3π D．π【随堂练习】1．(2023秋•巴彦县期末）若一个扇形的圆心角是45°，面积是2π，则这个扇形的半径是（）A．4 B．2 C．4π D．212．(2023秋•海淀区期末）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（）A． B．π C．2π D．4π3．(2023秋•济南期末）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．π B．π C． D．π3圆锥的计算圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

圆锥的侧面积，圆锥的全面积.

要点诠释：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

【例题精选】例1(2023•开福区模拟）如果圆锥的母线长为10cm，高为8cm，那么它的侧面积等于（）A．80πcm2 B．60πcm2 C．40πcm2 D．30πcm2例2(2023秋•新吴区期末）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的全面积是（）A．65πcm2 B．90πcm2 C．130πcm2 D．155πcm2【随堂练习】1．(2023秋•河南期末）已知一扇形的圆心角为60°，半径为5，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（）A．π B．10π C．π D．π2．(2023秋•富锦市期末）用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为（）A． B．4 C．3 D．23．(2023•枣阳市校级模拟）小李要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为（）cm2A．15π B．24π C．30π D．39π4．(2023•无锡一模）如果圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为________°．综合应用一．选择题1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（）A．2π B．3π C．6π D．12π2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（）A．5πcm2 B．30πcm2 C．55πcm2 D．85πcm23．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（）A． B． C． D．二．解答题5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．7．如图，图中圆O的周长为8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD为45度，求图中阴影部分（即扇形AOD）的面积．（结果保留π）8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求阴影部分的面积．第9讲与圆有关的计算1弧长的计算弧长公式:半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

【例题精选】例1(2023•麒麟区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径AB＝10，点D平分，DE⊥AB交⊙O于点E，∠EDC＝99°，则的长是（）A． B． C．3π D．分析：连接OC、OD、OE、BE．根据圆内接四边形的性质得出∠EBC＝180°﹣99°＝81°，由圆周角定理得到∠EOC＝2∠EBC＝162°．结合垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理求出∠EOA＝∠AOD＝∠DOC＝54°，那么∠DOE＝108°，最后利用弧长计算公式求出的长．【解答】解：如图，连接OC、OD、OE、BE．∵∠EDC＝99°，∴∠EBC＝180°﹣99°＝81°，∴∠EOC＝2∠EBC＝162°．∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴点A平分，又点D平分，∴∠EOA＝∠AOD＝∠DOC，∵∠EOC＝∠EOA+∠AOD+∠DOC＝162°，∴∠EOA＝∠AOD＝∠DOC＝54°，∴∠DOE＝108°，∵直径AB＝10，∴的长是：＝3π．故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，求出∠DOE的度数是解题的关键．【随堂练习】1．(2023•宁波模拟）已知扇形OAB的圆心O是坐标原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），那么扇形OAB的面积是（）A．25π B．π C．16π D．π【解答】解：∵点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），∴∠AOB＝90°，OA＝OB＝＝5，∴扇形OAB的面积＝＝π，故选：D．2扇形面积的计算1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【例题精选】例1(2023秋•龙岗区期末）扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条AD的长为5cm，贴纸的部分BD的长为10cm．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，则纸扇贴纸部分的面积为（）A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．100πcm2分析：贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形ADE的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为30cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．【解答】解：设AB＝R，AD＝r，则S贴纸＝πR2﹣πr2＝π（R2﹣r2）＝π（R+r）（R﹣r）＝×（15+5）×（15﹣5）π＝π（cm2）．答：贴纸部分的面积为πcm2．故选：C．【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一般．例2(2023•瑞安市一模）如图，一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形，若大圆半径为2，小圆半径为1，则阴影部分的面积为（）A．π B．π C．3π D．π分析：根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝2（S大扇形﹣S小扇形）进行计算．【解答】解：阴影部分的面积＝2（S大扇形﹣S小扇形）＝2（﹣＝π．故选：B．【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【随堂练习】1．(2023秋•巴彦县期末）若一个扇形的圆心角是45°，面积是2π，则这个扇形的半径是（）A．4 B．2 C．4π D．21【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：2π＝，解得r＝4，故选：A．2．(2023秋•海淀区期末）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（）A． B．π C．2π D．4π【解答】解：这个扇形的面积＝＝π．故选：B．3．(2023秋•济南期末）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．π B．π C． D．π【解答】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，则分针在钟面上扫过的面积是：＝π．故选：B．3圆锥的计算圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

圆锥的侧面积，圆锥的全面积.

要点诠释：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

【例题精选】例1(2023•开福区模拟）如果圆锥的母线长为10cm，高为8cm，那么它的侧面积等于（）A．80πcm2 B．60πcm2 C．40πcm2 D．30πcm2分析：利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的母线长为10cm，高为8cm，∴圆锥的底面半径为6cm，∴圆锥的侧面积＝π×6×10＝60π（cm2）．故选：B．【点评】考查圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式是解决本题的关键．用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形．例2(2023秋•新吴区期末）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的全面积是（）A．65πcm2 B．90πcm2 C．130πcm2 D．155πcm2分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算扇形的侧面积，然后计算扇形的底面积，从而求得答案．【解答】解：这个圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2）．底面积为：52×π＝25π（cm2），所以全面积为65π+25π＝90π（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【随堂练习】1．(2023秋•河南期末）已知一扇形的圆心角为60°，半径为5，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（）A．π B．10π C．π D．π【解答】解：半径为5，圆心角为60°的扇形的弧长是＝π，所以以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为，故选：A．2．(2023秋•富锦市期末）用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为（）A． B．4 C．3 D．2【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr＝，解得r＝2cm，所以圆锥的高为＝4cm，故选：B．3．(2023•枣阳市校级模拟）小李要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为（）cm2A．15π B．24π C．30π D．39π【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长＝6π（cm），圆锥的侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2），底面面积＝9π（cm2），∴圆锥的表面积＝15π+9π＝24π（cm2）．故选：B．4．(2023•无锡一模）如果圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为________°．【解答】解：因为底面半径为3cm，所以地面周长为6πcm，设圆心角为n°，根据题意得6π＝，解得n＝180．故答案为：180．综合应用一．选择题1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（）A．2π B．3π C．6π D．12π【解答】解：S扇形＝＝3π，故选：B．2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（）A．5πcm2 B．30πcm2 C．55πcm2 D．85πcm2【解答】解：底面周长是2×5π＝10πcm，底面积是：52π＝25πcm2．母线长是：＝6（cm），则圆锥的侧面积是：×10π×6＝30π（cm2），则圆锥的表面积为25π+30π＝55π（cm2）．故选：C．3．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，S圆锥侧面积＝×2πr×6＝，解得：r＝3，故选：C．4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（）A． B． C． D．【解答】解：120°的圆心角所对的弧长＝＝．故选：A