人教版九年级数学上册专题03圆中的重要模型-圆弧的中点模型(原卷版+解析)

专题03圆中的重要模型-圆弧的中点模型当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率模型1、与垂径定理相关的中点模型图1图2图31）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（

）A．8 B．4 C． D．例2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点为的中点，连接，，，与相交于点，过点作直线，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求阴影部分的面积．例3．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，点C是的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，．(1)求证：；(2)若，求的度数．例4．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，为的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分．(1)求证：为的切线；(2)作，，垂足分别为点D，F，若，，求AE的长．

模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型）图1图2图31）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．例1．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．例2．（2023·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点；(2)在图1中，连接交于点，连接，求证；(3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．

例3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点(1)若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；(2)在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示）；(3)若，且，求的面积．例4．（2023·四川巴中·统考一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E．(1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积．模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．例1．（2023·湖南长沙·长沙市统考一模）如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个例2．（2023·浙江金华·校联考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为．例3．（2023·河南信阳·统考一模）如图，是的直径，点是圆上一点，点是的中点，，过点作的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，的半径是3，求的长．例4．（2023·四川成都·统考二模）如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)已知，求的值．

模型4、与托勒密定理相关的中点模型图1图21）同侧型:条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD+CD=2AD×cosθ；特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD+CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）；结论：BD+CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）；结论：BD+CD=AD2）异侧型:条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD-CD=2AD×cosθ；特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD-CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）；结论：BD-CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）；结论：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年级期中）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；(2)如图2、若、平分，，求的长度．例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在中，为的直径，过点C作射线，，点B为弧的中点，连接，，．点P为弧上的一个动点（不与B，C重合），连接，，，．(1)若，判断射线与的位置关系；(2)求证：．

例3．（2023·山西阳泉·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？依据1：

依据2：（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：（请写出定理名称）.（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的长.课后专项训练1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图，，是的两条直径，点是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023·重庆·三模）如图，是半径为6的的直径，是弦，是弧的中点，与相交于点，若为的中点，则的长为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江温州·校考二模）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连接交于点E，若，则的度数是（

）A． B． C． D．4．（2023·山东德州·统考一模）如图，是的直径，点E，C在上，点A是的中点，过点A作的切线，交的延长线于点D，连接．若，则的度数（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽滁州·校考三模）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的切线与边的延长线交于点E，若点D是的中点，，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．（2023·重庆·校考二模）如图，在中，是圆的直径，过点B作的切线，连接交于点D，点E为弧中点，连接，若，，则的长为（

）A．2 B． C． D．7．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，⊙O的内接四边形中，，，，点C为弧的中点，则的长是（

）A． B． C． D．8．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，四边形内接于，A为中点，，则等于（）

A． B． C． D．9．（2023·河南三门峡·统考二模）如图，在扇形中，，，点是中点，点分别为线段上的点，连接，当的值最小时，图中阴影部分的面积为．

10．（2022·广东东莞·九年级校考期末）如图，A，B，C，D是圆上的四个点，点是弧的中点，如果，那么．

11．（2023·安徽安庆·校考二模）已知，如图，点是优弧的中点，，，则的半径是．

12．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，已知，，则度．13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．（1）若，则的长是（结果保留）；（2）若，则．

14．（2023·辽宁鞍山·统考三模）如图，是的直径，是中点，若，则．15．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是．

16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，连接，．过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点．(1)求证：是的中点；(2)求证：；(3)若是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积．

17．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．(1)求出：是的切线；(2)若，求的长；(3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．18．（2023·河南周口·校考三模）如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接．过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，求的长．19．（2022·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过原点，与轴交于，与轴交于，点为劣弧的中点，连接并延长到，使，连接．(1)求的半径．(2)证明：为的切线．

20．（2023·贵州贵阳·统考三模）如图，为的直径，为上的点，是的中点，交的延长线于点．(1)填空：________（选填“>”“=”或“<”）；(2)判断与的位置关系，并说明理由；(3)已知，，求点到的距离．

专题03圆中的重要模型-圆弧的中点模型当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率模型1、与垂径定理相关的中点模型图1图2图31）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（

）A．8 B．4 C． D．【答案】D【分析】连接，过点O作，证明是等边三角形，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接，过点O作，如图所示，∵点C是优弧的中点，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵的半径为8，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查圆的性质，涉及到等边三角形的判定和证明，正确作出辅助线是解题的关键．例2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点为的中点，连接，，，与相交于点，过点作直线，交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由垂径定理得，由平行线的性质推出，即可得证；（2）连接、，过点作，垂足是，由圆周角定理可得，则，，推出是等边三角形，解求得，根据三线合一求得，利用求解即可．【详解】（1）证明：如图所示，连接，点为的中点，，，．是的切线．（2）解：如图所示，连接、，过点作，垂足是，，点为的中点，，，，又，是等边三角形，是半圆的直径，，在中，，，，，，．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，掌握知识点并灵活运用是解题的关键．例3．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，点C是的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，，先证明，再利用等腰三角形的三线合一性质得出，由切线的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证；（2）利用等边对等角和三角形外角的性质可得，利用三角形内角的定理并结合条件“”可求出，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数．【详解】（1）证明：连接，，∵点C是的中点，∴，∴，又∵，∴，∵直线EF与相切于点C，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，由（1）知，，∴，即，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．例4．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，为的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分．(1)求证：为的切线；(2)作，，垂足分别为点D，F，若，，求AE的长．

【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）利用圆周角定理，得到，由点C为的中点，得到，再等量代换证明，即可证明结论；（2）延长交于点G，延长交于点Ｈ，连接，证明四边形为矩形，求得，再证明，利用相似三角形的性质求得，再根据勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵为的直径，∴，则，∵点C为的中点，∴，，则，∵AC平分，∴，则，∴，∴为的切线；（2）解：延长交于点G，延长交于点Ｈ，连接，

∵，∴，∵，∴，∵为的直径，∴，∵，∴，∴四边形为矩形，∴，在中，，，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴．【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记掌握相似三角形的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型）图1图2图31）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．例1．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】解：点是的中点，，．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．例2．（2023·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．

(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点；(2)在图1中，连接交于点，连接，求证；(3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，【分析】（1）作线段的垂直平分线与的交点即为点；（2）根据，证得，进而证明∽，对应线段成比例，从而推出结论；（3）连接，因为为半圆中点，则为等腰直角三角形，已知斜边可求出的长，可证明∽，得到，求解关于的方程即可求解．【详解】（1）解：如图所示，点为所作点：

（2）证明：∵点D是劣弧的中点，

∴，∴，∵，∴∽∴，∴（3）解：连结BD，∵点D是的中点，∴，∵是的直径，∴∴为等腰直角三角形，∴由（1）得∽，，即，∴，∴，解得或（负值舍去）∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，数量掌握垂径定理和相似三角形的性质是求解的关键．例3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点(1)若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；(2)在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示）(3)若，且，求的面积．【答案】(1)；(2)；(3)108．【分析】（1）过作于，连接，根据点为弧的中点，可得，进而得出，再根据圆的半径为，即可得到，从而得解；（2）先判定，从而根据相似三角形的性质即可求解；（3）连接，，，并延长至点，依据，，判定，即可得到，设，再根据，得即，再利用勾股定理求出，可得，从而即可得解．【详解】（1）解∶如图，过作于，连接，则，∵是圆的直径，∴，∵点为弧的中点，∴弧弧，∴，∴，∴，∴，∵圆的半径为，即，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，由可知，∴；（3）解：如图，连接，，，并延长至点，∵是圆的直径，∴，∵，，∴垂直平分，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴即，设，则，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，即，解，∴，∴的面积．【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例得到方程得出结论．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．例4．（2023·四川巴中·统考一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E．(1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据点C为弧的中点，得出，然后得出，根据平行线的性质得出，进而即可证明结果；（2）连接，根据圆周角定理可得，证明，即可得出结果；（3）根据，可得，从而可证是等边三角形，即得，即，从而可得，由（2）可知，，从而求出，最后根据即可求出结果．【详解】（1）证明：连接，∵点C为弧的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴是半圆O的切线；（2）证明：连接，∵是半圆O的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：∵在中，，，∴，，∴，∴，∴，，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∵由（2）可知，，∴，∴圆O的半径为，．【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数及扇形面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．例1．（2023·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学统考一模）如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据圆的切线定理，同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一半等依次判断，即可．【详解】解：∵是的直径，与相切于点，∴，∴正确；∵是弧的中点、∴∴，，∵所对的圆周角是，∴，∴∴，∴正确；∵所对的圆心角是，所对的圆周角是，∴，∴正确；∵，，但无法证明与的等量关系，∴，∴错误；综上所述，正确的为：共3个．故选：C．【点睛】本题考查圆的知识，解题关键是掌握圆的基本性质，圆的切线定理，圆周角，圆心角，弦的关系．例1．（2023·浙江金华·校联考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为．【答案】/【分析】延长交于点G，连接、，先由同弧或等弧所对的圆周角相等得，得，由直径所对的圆周角等于得，勾股定理得，则，再由勾股定理求出，则，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：延长交于点G，连接、，如图所示：∵点D是弧的中点，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵是的直径，的半径为2，∴，∴，，∴，∵∴，∴；即：，∵，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．例3．（2023·河南信阳·统考一模）如图，是的直径，点是圆上一点，点是的中点，，过点作的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，的半径是3，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，先根据切线定理，得，再根据等弧所对的圆周角相等，得到，再根据垂径定理及等角的余角相等可推出结论．（2）由已知，结合（1）中结论得即可求出的长．【详解】（1）证明：连接．∵是的切线，∴．∵点是的中点，∴，∴．∵，∴∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．（2）解：∵，，∴，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，切线的性质。熟练掌握圆的切线的性质及圆中的相关计算是解题的关键．例4．（2023·四川成都·统考二模）如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)已知，求的值．

【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由切线的性质，圆周角定理得到，又，即可证明问题；（2）由得到，由，得到，因此，于是得到．【详解】（1）证明：∵切于，∴直径，∴，∵是的直径，，，，∵，∴；（2）解：如图所示，连接，

∵C是中点，，∵，，，，∵，∴，∴，，由（1）知，∴，，，．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由，，得到．模型4、与托勒密定理相关的中点模型图1图21）同侧型:条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD+CD=2AD×cosθ；特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD+CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）；结论：BD+CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）；结论：BD+CD=AD2）异侧型:条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD-CD=2AD×cosθ；特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD-CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）；结论：BD-CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）；结论：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年级期中）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；(2)如图2、若、平分，，求的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）如图：绕B逆时针旋转交于E,即，先说明是等边三角形可得；再说明是等边三角形可得，进而证明可得，最后根据即可证明结论；（2）如图：连接,交于E，先说明为直径,即，再运用圆周角定理和勾股定理可得，进而求得、，最后运用勾股定理即可解答【详解】（1）解：如图：绕B逆时针旋转交于E，即，∵，∴，∴是等边三角形，∴

,∵点D为的中点∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴,即,∴，∴,∴,即．

（2）解：如图：连接，交于E，∵，∴为直径,即∵点D为的中点，∴，

∴,即,解得：,∵平分，∴,又∵,∴垂直平分,即，∴,∵．∴是的中位线，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关定理是解答本题的关键．例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在中，为的直径，过点C作射线，，点B为弧的中点，连接，，．点P为弧上的一个动点（不与B，C重合），连接，，，．(1)若，判断射线与的位置关系；(2)求证：．

【答案】(1)与相切，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据为的直径，得出，根据，得出，即可证明结论；（2）在上截取，连接，证明，得出，求出，过点B作于点H，根据三角函数求出，得出，即可证明结论．【详解】（1）解：与相切，理由如下：

∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∵且为半径，∴为的切线．（2）证明：在上截取，连接，如图3，∵点B为弧的中点，，∴，∴，，∵与同对弧，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴，过点B作于点H，∴，∴，在中，，∴，∴，又∵，，∴．【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，全等三角形的判断和性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．例3．（2023·山西阳泉·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？依据1：

依据2：（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：（请写出定理名称）.（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的长.【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；两角分别对应相等的两个三角形相似（2）勾股定理（3）AC=【分析】（1）根据圆周角定理的推论以及三角形相似的判定定理，即可得到答案；（2）根据矩形的性质和托勒密定理，即可得到答案；（3）连接BD，过点C作CE⊥BD于点E．由四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，可得∆BCD是底角为30°的等腰三角形，进而得BD=2DE=CD，结合托勒密定理，列出方程，即可求解．【详解】（1）依据1指的是：同弧所对的圆周角相等；依据2指的是：两角分别对应相等的两个三角形相似．故答案是：同弧所对的圆周角相等；两角分别对应相等的两个三角形相似；（2）∵当圆内接四边形ABCD是矩形时，∴AC=BD，BC=AD，AB=CD，∵由托勒密定理得：AC·BD=AB·CD+BC·AD，∴．故答案是：勾股定理；

（3）如图，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAD=60°，∴∠BCD=120°，

∵点C是弧BD的中点，∴弧BC=弧CD，∴

BC=CD，∴∠CBD=30°.

在Rt△CDE中，DE=CD·cos30°，∴DE=CD，∴

BD=2DE=CD．

由托勒密定理得：AC·BD=AB·CD+BC·AD．∴AC·CD=3CD+5CD．∴AC=．【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质与相似三角形的综合，添加辅助线，构造底角为30°的等腰三角形，是解题的关键．课后专项训练1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图，，是的两条直径，点是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．【详解】解：连接，如图所示：

∵，，∴，∴，∵E是劣弧的中点，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．2．（2023·重庆·三模）如图，是半径为6的的直径，是弦，是弧的中点，与相交于点，若为的中点，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，，则可证明为的中位线，所以，通过证明得到，所以，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．【详解】解：是半径为6的的直径，，是弧的中点，，，，为的中位线，，为的中点，，在和中，，，，，，即，，解得：，在中，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，也考查了垂径定理和圆周角定理．3．（2023·浙江温州·校考二模）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连接交于点E，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接AD，根据点B是中点求出，根据三角形内角和可求解．【详解】解：连接，∵B是的中点，，∴，∴，∵是直径，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了圆的性质，掌握圆内弧和圆周角的关系以及三角形内角和是解题的关键．4．（2023·山东德州·统考一模）如图，是的直径，点E，C在上，点A是的中点，过点A作的切线，交的延长线于点D，连接．若，则的度数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出，根据垂径定理得到，进而得出答案．【详解】解：∵过点A作的切线，交的延长线于点D，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∵点A是的中点，∴，∴故选：B．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5．（2023·安徽滁州·校考三模）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的切线与边的延长线交于点E，若点D是的中点，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，先根据切线的性质证明，再求出的度数，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，再根据点D是的中点，得，即可求出结果．【详解】解：连接，

∵过点C的切线与边的延长线交于点E，，即，，，，∵四边形是圆内接四边形，，∵点D是的中点，，，故选：B．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理以及圆内接四边形，掌握切线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质是正确解答的关键．6．（2023·重庆·校考二模）如图，在中，是圆的直径，过点B作的切线，连接交于点D，点E为弧中点，连接，若，，则的长为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】连接、，根据点E是中点，得出，根据是圆的直径，，根据，得出，进而得出，，求出，即可得出．【详解】解：连接、，∵点E是中点，∴，∴，∵是圆的直径，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵与相切，∴，则，∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角．7．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，⊙O的内接四边形中，，，，点C为弧的中点，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆内接四边形，可得，根据角平分线的性质可得，将绕点C逆时针旋转得，根据旋转的性质得出，，，可得，即A、B、E三点共线，过C作于M，求出，根据解直角三角形即可求出．【详解】如图：

∵A、B、C、D四点共圆，∴∵，平分∴将绕点C逆时针旋转得则，，∴∴A、B、E三点共线过C作于M∵∴在中，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形性质，角平分线的性质，旋转的性质，解直角三角形，能正确作出辅助线是解此题的关键．8．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）如图，四边形内接于，A为中点，，则等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由A为中点得到，由得到的度数为，则的度数为，即可得到的度数．【详解】解：∵A为中点，∴，∵，∴的度数为，∴的度数为，∴,故选：A【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2023·河南三门峡·统考二模）如图，在扇形中，，，点是中点，点分别为线段上的点，连接，当的值最小时，图中阴影部分的面积为．

【答案】【分析】当时，最小，连接，根据点是中点，，可得，由，可得为等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数可得，分别计算出、、，由，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，当时，最小，连接，

，当在同一条线上时，即最小时，最小，当时，最小，点是中点，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算—求不规则图形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，添加适当的辅助线，掌握等边三角形的判定与性质，将不规则图形面积进行转换为，是解题的关键．10．（2022·广东东莞·九年级校考期末）如图，A，B，C，D是圆上的四个点，点是弧的中点，如果，那么．

【答案】/54度【分析】根据圆内接四边形的性质可知，由此可得的度数，再依据等弧所对圆周角相等可得的度数．【详解】解：∵四边形内接于，∴，∴，∵点B是优弧的中点，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，解决这类问题的技巧是找到同弧或等弧推理角相等．11．（2023·安徽安庆·校考二模）已知，如图，点是优弧的中点，，，则的半径是．

【答案】2【分析】如图所示，连接，先根据题意得到，进而证明平分，则，由圆周角定理得，再证明是等边三角形，得到，则的半径是2．【详解】解：如图所示，连接，∵点是优弧的中点，∴，∴，∵点O是的外接圆，∴，∴平分，∴，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴的半径是2，故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，弧与弦之间的关系等等，推出平分是解题的关键．12．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，已知，，则度．【答案】100【分析】连接，易得，根据三角形内角和定理得，由点是弧的中点得，所以，然后利用进行计算．【详解】解：连接，如图，，，，点是弧的中点，，∵∴是等边三角形，，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边三角形的判定与性质．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．

（1）若，则的长是（结果保留）；（2）若，则．【答案】【分析】（1）连接，根据点为的中点，根据已知条件得出，然后根据弧长公式即可求解；（2）连接，根据垂径定理的推论得出，是的切线，则,得出，根据平行线分线段成比例得出，设，则，勾股定理求得,J进而即可求解．【详解】解：（1）如图，连接，

∵点为的中点，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．（2）解：如图，连接，

∵点为的中点，∴，∴，∵是的切线，∴,∴∴，∵，∴，设，则，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．14．（2023·辽宁鞍山·统考三模）如图，是的直径，是中点，若，则．【答案】【分析】根据圆周角定理可求出的度数，根据D为的中点，可得的度数，根据等腰三角形的性质即可得答案．【详解】解：如下图，连接，分别是所对的圆周角和圆心角，，为的中点，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半．15．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是．

【答案】4【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵点D，M分别是弦，弧的中点，∴，且，∴，∴，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，连接，．过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点．

(1)求证：是的中点；(2)求证：；(3)若是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据圆周角定理、平行线的性质、垂径定理即可得到结论；（2）连接，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，证出，即可得出结论；（3）求出，由三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出答案．【详解】（1）证明：为的直径，，，，即，是的中点；（2）证明：连接，

是的切线，，，为的直径，，，，，，，，；（3）解：为的中点，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理，是解题的关键．17．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．(1)