九年级数学下册专题07 相似三角形的基本模型（K字型）（原卷版）（人教版）

专题07相似三角形的基本模型（K字型）【模型说明】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.【例题精讲】例1．（基本模型）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．例2．（培优综合1）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝．例3．（培优综合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．例4．（培优综合3）⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE.⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.①求证：；②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值.例5．（与反比例函数综合）如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为．例6．（与二次函数综合）如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．（1）求此拋物线的解析式．（2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．（3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．课后训练1．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（

）A．－6 B．－12 C．－18 D．－242．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．3．如图，在中，，点在上，连接，，，，则线段．

4．如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数的图象上，则k的值为5．如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为．6．已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．9．（1）问题如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．10．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．12．如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．

（1）求证：E