模糊数学建模方法省公共课一等奖全国赛课获奖课件

含糊数学建模方法重庆邮电大学数理学院沈世云shensy1页第1章含糊集基本概念第2页第一节含糊数学概述1.含糊数学产生至今，数学发展已经历三代：（1）第一代数学：经典数学，研究和处理准确必定现象；（2）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性(随机性)；（3）第三代数学：含糊数学，研究和处理事物含糊性。它们都是不确定数学，是准确（确定）数学延伸和发展。FuzzyMaths，专门用来处理和研究含糊性事物一个新数学方法。1965年美国加州大学查德(L.A.Zadeh)教授发表《FuzzySets》一文，标志其诞生。第3页2.含糊数学概念处理现实对象数学模型确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必定联络.随机性数学模型:对象含有或然性或随机性含糊性数学模型:对象及其关系均含有含糊性.随机性与含糊性区分随机性:指事件出现某种结果机会.含糊性:指存在于现实中不分明现象.含糊数学:研究含糊现象定量处理方法.第4页用数学眼光看世界，可把我们身边现象划分为：1）.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象规律性靠经典数学去刻画；2）.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象规律性靠概率统计去刻画;3）.含糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等等。此话准确吗？有多大水分？靠含糊数学去刻画。第5页3.含糊数学任务（1）给数学“禁区”各门学科，如社会、人文学科等提供新语言和工具；（2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断，提升自动化水平，使电脑更“聪明”。第6页4.事物含糊性？指客观事物在中介过渡时所展现“亦此亦彼性”。(1)清楚事物——每个概念内涵（内在涵义或本质属性）和外延（符合本概念全体）都必须是清楚、不变，每个概念非真即假，有一条截然分明界限，如男、女。(2)含糊性事物——因为人未认识，或有所认识但信息不够丰富，使其含糊性不可忽略。它是一个没有绝对明确外延事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、深浅等认识就是含糊。第7页“事物复杂性与准确性矛盾是当代科学一个基本矛盾”，由此促使着含糊数学产生和发展。“含糊”并非坏事，在有些情况下它比准确更有意义，会带来更加好效果，如含糊描述人特征，对人进行含糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂”，实际上包含了难得含糊哲理。第8页含糊数学是研究和处理含糊性现象数学方法.众所周知，经典数学是以准确性为特征.然而，与准确形相悖含糊性并不完全是消极、没有价值.甚至能够这么说，有时含糊性比准确性还要好.比如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜中年男人”.尽管这里只提供了一个准确信息――男人，而其它信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是含糊概念，不过你只要将这些含糊概念经过头脑综合分析判断，就能够接到这个人.含糊数学在实际中应用几乎包括到国民经济各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有含糊数学广泛而又成功应用.第9页数学建模与含糊数学相关问题含糊数学—研究和处理含糊性现象数学（概念与其对立面之间没有一条明确分界限）与含糊数学相关问题（一）含糊分类问题—已知若干个相互之间不分明含糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个含糊概念来反应更合理准确含糊相同选择—按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见问题，不过用来比较性质含有边界不分明含糊性第10页数学建模与含糊数学相关问题含糊聚类分析—依据研究对象本身属性结构含糊矩阵，在此基础上依据一定隶属度来确定其分类关系含糊层次分析法—两两比较指标确实定含糊综合评判—综合评判就是对受到多个原因制约事物或对象作出一个总评价，如产品质量评定、科技结果判定、某种作物种植适应性评价等，都属于综合评判问题。因为从多方面对事物进行评价难免带有含糊性和主观性，采取含糊数学方法进行综合评判将使结果尽可能客观从而取得更加好实际效果第11页参考书目1.含糊数学基础，张文修，西交大出版社2.含糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社第12页第二节含糊子集及其运算经典集合经典集合含有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作x

A),要么不属于集合(记作x

A)，二者必居其一.集合表示法：(1)枚举法，A={x1,x2,…,xn}；(2)描述法，A={x|P(x)}.

A

B若x

A，则x

B；

A

B若x

B，则x

A；

A=B

A

B且A

B.第13页

集合A全部子集所组成集合称为A幂集，记为

(A).并集A∪B={x|x

A或x

B}；交集A∩B={x|x

A且x

B}；余集Ac

={x|x

A}.集合运算规律幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；第14页分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=

；U为全集，

为空集.集合直积：

X

Y={(x,y)|x

X,y

Y

}.第15页含糊子集及其运算含糊子集与隶属函数

设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上含糊子集A，映射A(x)称为A隶属函数，它表示x对A隶属程度.

使A(x)=0.5点x称为A过渡点，此点最具含糊性.

当映射A(x)只取0或1时，含糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它特征函数.可见经典子集就是含糊子集特殊情形.第16页

例设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人身高，那么U上一个含糊集“高个子”(A)隶属函数A(x)可定义为也可用Zadeh表示法：第17页还可用向量表示法：A

=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).另外，还能够在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、“年轻人”、“中年人”等含糊子集.从上例可看出：(1)一个有限论域能够有没有限个含糊子集,而经典子集是有限；(2)一个含糊子集隶属函数确实定方法是主观.隶属函数是含糊数学中最主要概念之一，含糊数学方法是在客观基础上，尤其强调主观方法.第18页

如：考虑年纪集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一个年纪集，u=20∉A，40呢？…查德给出了“年老”集函数刻画:10U50100第19页再如，B=“年轻”也是U一个子集，只是不一样年纪段隶属于这一集合程度不一样，查德给出它隶属函数：

102550UB（u）第20页含糊集运算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：A

B

A(x)≤B(x)；并：A∪B隶属函数为(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B隶属函数为(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac隶属函数为Ac(x)=1-

A(x).第21页含糊集并、交、余运算性质

幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；还原律：(Ac)c=A；第22页对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，

(A∩B)c=Ac∪Bc；

对偶律证实：对于任意x

U(论域)，(A∪B)c(x)=1-

(A∪B)(x)=1-

(A(x)∨B(x))=(1-

A(x))∧(1-

B(x))=Ac(x)∧Bc(x)

=Ac∩Bc(x)含糊集运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即A∪Ac

U，A∩Ac

.含糊集不再含有“非此即彼”特点，这正是含糊性带来本质特征.第23页

例设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个含糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)

U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.第24页第25页一、含糊截集与强截集1.定义第三节含糊集基本定理第26页含糊集

-截集A

是一个经典集合，由隶属度大于

组员组成.例：论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集)，他们成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好学生”隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.第27页2.性质性质1第28页性质1'第29页性质2第30页性质3性质4第31页性质5第32页例1解性质6第33页定义2性质7 当 时,称为正规含糊集.第34页第35页 下面将要介绍分解定理就是反应这一事实. 先来学习数积概念与性质. 从前面介绍性质能够看出当从1逐步下降趋于0，而不到达0时，是从核Ker逐步扩展为支集Supp.所以，我们能够将含糊集看作是其边界在Ker和Supp之间游移,即将含糊集看作是普通集合族 总体.第36页1.数积概念与性质其隶属函数为二、分解定理定义第37页第38页定理1（分解定理I）证实2.分解定理第39页第40页定理2（分解定理II）第41页定理3（分解定理III）第42页第43页第四节、隶属函数确定

含糊数学基本思想是隶属度思想。应用含糊数学方法建立数学模型关键是建立符合实际隶属函数。怎样确定一个含糊集隶属函数至今还是还未处理问题。这里仅仅介绍几个惯用确实定隶属函数方法。1.含糊统计方法

与概率统计类似，但有区分：若把概率统计随机事件A是固定不变，样本空间中样本点数十变动，而含糊统计试验中，x是固定不变，而含糊集A*是可变。2.指派方法

一个主观方法依据实践经验来确定，普通给出隶属函数解析表示式。3.借用已经有“客观”尺度依据问题实际意义来确定，在经济管理，社会管理中惯用。如U表示产品，定义A含糊集“质量稳定”，可用产品“正品率”作为A隶属度。第44页惯用隶属函数有Z函数（偏小型）、∏函数（中间型）、S函数（偏大型）.偏小型普通适合于描述像“小，少，浅，淡，青年”等偏小程度含糊现象。偏大型普通适合于描述像“大，多，深，浓，老年”等偏大程度含糊现象。中间型普通适合于描述像“中，适中，不太多，不太浓，暖和，中年”等处于中间状态含糊现象。第45页惯用隶属函数有偏小型、中间型、偏大型.偏小型：偏大型：中间型：梯形分布：第46页偏小型：偏大型：中间型：分布第47页偏小型：偏大型：中间型：正态分布第48页以人年纪作为论域X,含糊集表示“年老”,表示“年轻”，不妨设X=[0,150].Zadeh给出它们隶属函数分别以下：例1Old\young第49页trig(x;20,60,80)trap(x;10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)第50页cc-ac+a斜率=-b/2a隶属函数参数化举例：以钟形函数为例，a,b,c,几何意义如图所表示。改变a,b,c,即可改变隶属函数形状。第51页第52页第二章

含糊模式识别第53页第一节含糊模型识别模型识别已知某类事物若干标准模型，现有这类事物中一个详细对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.模型识别在实际问题中是普遍存在.比如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.含糊模型识别所谓含糊模型识别,是指在模型识别中,模型是含糊.也就是说,标准模型库中提供模型是含糊.第54页模型识别原理为了能识别待判断对象x=(x1,x2,…,xn)T是属于已知类A1,A2,…,Am中哪一类？

事先必须要有一个普通规则,一旦知道了x值,便能依据这个规则马上作出判断,称这么一个规则为判别规则.

判别规则往往经过某个函数来表示,我们把它称为判别函数,记作W(i;x).一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最好将已知类别对象代入检验，这一过程称为回代检验，方便检验你判别函数和判别规则是否正确.第55页第二节最大隶属标准含糊向量内积与外积

定义称向量a=(a1,a2,…,an)是含糊向量,其中0≤ai≤1.

若ai只取0或1,则称a=(a1,a2,…,an)是Boole向量.

设a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn)都是含糊向量，则定义

内积：a

○

b

=∨{(ak∧bk)|1≤k≤n}；

外积：a⊙b

=∧{(ak∨bk)|1≤k≤n}.内积与外积性质(a

○

b

)c=ac⊙bc

;(a⊙b

)c=ac

○

bc.第56页含糊向量集合族设A1,A2,…,An是论域X上n个含糊子集,称以含糊集A1,A2,…,An为分量含糊向量为含糊向量集合族，记为A=(A1,A2,…,An).

若X上n个含糊子集A1,A2,…,An隶属函数分别为A1(x),A2(x),…,An(x),则定义含糊向量集合族A=(A1,A2,…,An)隶属函数为A(x)=∧{A1(x1),A2(x2),…,An(xn)}或者A(x)=[A1(x1)+A2(x2)+…+An(xn)]/n.其中x=(x1,x2,…,xn)为普通向量.第57页最大隶属标准

最大隶属标准Ⅰ设论域X={x1,x2,…,xn}上有m个含糊子集A1,A2,…,Am(即m个模型),组成了一个标准模型库,若对任一x0∈X,有k∈{1,2,…,m},使得Ak(x0)=∨{A1(x0),A2(x0),…,Am(x0)}，则认为x0相对隶属于Ak.

最大隶属标准Ⅱ设论域X上有一个标准模型A,待识别对象有n个：x1,x2,…,xn∈X,假如有某个xk满足A(xk)=∨{A(x1),A(x2),…,A(xn)},

则应优先录用xk.第58页例1在论域X=[0,100]分数上建立三个表示学习成绩含糊集A=“优”,B=“良”,C=“差”.当一位同学成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？A(88)=0.8第59页B(88)=0.7第60页A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.依据最大隶属标准Ⅰ,88分这个成绩应隶属于A,即为“优”.

例2论域X={x1(71),x2(74),x3(78)}表示三个学生成绩,那一位学生成绩最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,依据最大隶属标准Ⅱ，x1(71)最差.第61页例3细胞染色体形状含糊识别细胞染色体形状含糊识别就是几何图形含糊识别,而几何图形经常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}标准模型库={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三角形)}.某人在试验中观察到一染色体几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一个三角形？第62页先建立标准模型库中各种三角形隶属函数.直角三角形隶属函数R(A,B,C)应满足以下约束条件：(1)当A=90时,R(A,B,C)=1;(2)当A=180时,R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.所以，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.则R(x0)=0.955.

或者其中p=|A–90|则R(x0)=0.54.第63页正三角形隶属函数E(A,B,C)应满足以下约束条件：(1)当A=B=C=60时,E(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=C=0时,E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.

所以，不妨定义E(A,B,C)=1–(A–

C)/180.则E(x0)=0.677.

或者其中p=A–C

则E(x0)=0.02.第64页等腰三角形隶属函数I(A,B,C)应满足以下约束条件：(1)当A=B或者B=C时,I(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=60,C=0时,I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.

所以，不妨定义I(A,B,C)=1–[(A–

B)∧(B–

C)]/60.则I(x0)=0.766.

或者

p=(A–

B)∧(B–

C)则I(x0)=0.10.第65页等腰直角三角形隶属函数(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形隶属函数T(A,B,C)=Ic∩Rc∩Ec=(I∪R∪E)c.T(x0)=(0.766∨0.955∨0.677)c=(0.955)c=0.045.

经过以上计算,R(x0)=0.955最大,所以x0应隶属于直角三角形.或者(I∩R)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.依然是R(x0)=0.54最大,所以x0应隶属于直角三角形.第66页阈值标准设论域X={x1,x2,…,xn}上有m个含糊子集A1,A2,…,Am(即m个模型),组成了一个标准模型库,若对任一x0∈X,取定水平

∈[0,1].

若存在i1,i2,…,ik,使Aij(x0)≥

(j=1,2,…,k),则判决为：x0相对隶属于

若∨{Ak(x0)|k=1,2,…,m}＜

,则判决为：不能识别,应该找原因另作分析.该方法也适合用于判别x0是否隶属于标准模型Ak.若Ak(x0)≥

,则判决为：x0相对隶属于Ak;

若Ak(x0)＜

,则判决为：x0相对不隶属于Ak.第67页第三节择近标准设在论域X={x1,x2,…,xn}上有m个含糊子集A1,A2,…,Am(即m个模型),组成了一个标准模型库.被识别对象B也是X上一个含糊集,它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类含糊识别问题.

先将含糊向量内积与外积概念扩充.设A(x),B(x)是论域X上两个含糊子集隶属函数,定义

内积：A

○

B

=∨{A(x)

∧B(x)|x∈X}；

外积：A⊙B

=∧{A(x)∨B(x)|x∈X}.第68页内积与外积性质(1)(A

○B

)c=Ac⊙Bc;(2)(A⊙B

)c=Ac○

Bc;(3)A

○

Ac

≤1/2;

(4)A⊙Ac≥1/2.证实(1)(A

○

B)c

=1-∨{A(x)

∧B(x)|x∈X}

=∧{[1-

A(x)]∨[1-

B(x)]|x∈X}=∧{Ac(x)∨Bc(x)|x∈X}=Ac⊙Bc.证实(3)A

○

Ac=∨{A(x)

∧[1-

A(x)]|x∈X}

≤∨{1/2|x∈X}≤1/2.第69页下面我们用

(A,B)表示两个含糊集A,B之间贴近程度(简称贴近度),贴近度

(A,B)有一些不一样定义.

0(A,B)=[A○B+(1-A⊙B)]/2(格贴近度)

1(A,B)=(A○B)∧(1-

A⊙B)择近标准

设在论域X={x1,x2,…,xn}上有m个含糊子集A1,A2,…,

Am组成了一个标准模型库,B是待识别模型.若有k∈{1,2,…,m},使得

(Ak,B)=∨{

(Ai,B)|1≤i≤m},则称B与Ak最贴近,或者说把B归于Ak类.这就是择近标准.第70页⊙C=⊙C=故B比A更贴近于Ｃ.第71页茶叶等级识别茶叶分为I，II，III，IV，V种，识别A为哪一个。指标数以下：I=（0.5，0.4，0.3，0.6，0.5，0.4）II=（0.3，0.2，0.2，0.1，0.2，0.2）III=（0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.2）IV=（0，0.1，0.2，0.1，0.1，0.1）V=（0，0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）

待识别茶叶指标数：第72页利用贴近度得由此可得A为I型茶叶。，，

第73页算法演示算法演示：第74页计算MATLAB程序以下：a=[0.50.40.30.60.50.40.30.20.20.10.20.20.20.20.20.10.10.200.10.20.10.10.100.10.10.10.10.1];b=[0.40.20.10.40.50.6];fori=1:5x=[a(i,:);b];t(i)=min([max(min(x))1-min(max(x))]);endt第75页多个特征择近标准设在论域X={x1,x2,…,xn}上有n个含糊子集A1,A2,…,An组成了一个标准模型库,每个模型又由个特征来刻划：Ai=(Ai1,Ai2,…,Aim),i=1,2,…,n,

待识别模型B=(B1,B2,…,Bm).先求两个含糊向量集合族贴近度：si=∧{

(Aij,Bj)|1≤j≤m},i=1,2,…,n,若有k∈{1,2,…,n},使得

(Ak,B)=∨{si|1≤i≤n},则称B与Ak最贴近,或者说把B归于Ak类.这就是多个特征择近标准.第76页贴近度改进格贴近度不足之处是普通

0(A,A)≠1.定义(公理化定义)若

(A,B)满足①

(A,A)=1;②

(A,B)=

(B,A);③若A≤B≤C,则

(A,C)≤

(A,B)∧

(B,C).则称

(A,B)为A与B贴近度.显然,公理化定义显得自然、合理、直观,防止了格贴近度不足之处,它具有理论价值.但是公理化定义并未提供一个计算贴近度方法,不便于操作.于是,人们一方面尽管以为格贴近度有缺陷,但还是乐意采用易于计算格贴近度来解决一些实际问题；其次,在实际工作中又给出了许多具体定义.第77页离散型连续型第78页离散型连续型第79页离散型连续型第80页实际上,择近标准关键就是最大隶属标准.如在小麦品种含糊识别(仅对百粒重考虑)中,可重新定义“早熟”、“矮秆”、“大粒”、“高肥丰产”、“中肥丰产”隶属函数.重新定义“早熟”隶属函数为重新定义“矮秆”隶属函数为第81页例4大学生体质水平含糊识别.陈蓓菲等人在福建农学院对240名男生体质水平按《中国学生体质健康调查研究》手册上要求,从18项体测指标中选出了反应体质水平4个主要指标(身高、体重、胸围、肺活量),依据聚类分析法,将240名男生分成5类：A1(体质差),A2(体质中下),A3(体质中),A4(体质良),A5

(体质优),作为论域U(大学生)上一个标准模型库,然后用最大隶属标准,去识别一个详细学生体质.5类标准体质4个主要指标观察数据以下表所表示.第82页身高(cm)体重(kg)胸围(cm)肺活量(cm3)A1158.4±3.047.9±8.484.2±2.43380±184A2163.4±4.850.0±8.689.0±6.23866±800A3166.9±3.655.3±9.488.3±7.04128±526A4172.6±4.657.7±8.289.2±6.44349±402A5178.4±4.261.9±8.690.9±8.04536±756现有一名待识别大学生x={x1,x2,x3,x4}={175,55.1,86,3900}，他应属于哪种类型？第83页第3章

含糊聚类分析第84页第一节、含糊矩阵定义：设称R为含糊矩阵。当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。当含糊方阵对角线上元素都为1时，称R为含糊自反矩阵。（1）含糊矩阵间关系及运算定义：设都是含糊矩阵，定义相等：包含：第85页并：交：余：例：取大运算取小运算第86页（2）含糊矩阵合成定义：设称含糊矩阵为A与B合成，其中。例：第87页合成(○

)运算性质：性质1：(A○

B)○

C=A○(B○

C)；性质2：Ak

○

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A○

(B∪C)=(A○

B)∪(A○

C)；

(B∪C)○

A=(B○

A)∪(C○

A)；性质4：O○

A=A○

O=O，I○

A=A○

I=A；性质5：A≤B，C≤D

A○C≤B○

D.注：合成(○

)运算关于(∩)分配律不成立，即(A∩B)○

C(A○

C)∩(B○

C)第88页(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)第89页（3）含糊矩阵转置定义：设称为A转置矩阵，其中。（4）含糊矩阵截矩阵定义：设对任意称为含糊矩阵A截矩阵，其中第90页例：第91页第二节含糊关系与含糊子集是经典集合推广一样，含糊关系是普通关系推广.

设有论域X，Y，X

Y一个含糊子集R称为从X到Y含糊关系.

含糊子集R隶属函数为映射R:X

Y[0,1].并称隶属度R(x,y)为

(x,y)关于含糊关系R相关程度.

尤其地，当X=Y时，称之为X上各元素之间含糊关系.第92页含糊关系运算

因为含糊关系R就是X

Y一个含糊子集，所以含糊关系一样含有含糊子集运算及性质.设R，R1，R2均为从X到Y含糊关系.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1

R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2隶属函数为(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2隶属函数为(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc隶属函数为Rc(x,y)=1-

R(x,y).第93页

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对含糊关系“R1或者R2”相关程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)对含糊关系“R1且R2”相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对含糊关系“非R”相关程度.含糊关系矩阵表示对于有限论域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，则X到Y含糊关系R可用m×n阶含糊矩阵表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)关于含糊关系R相关程度.

又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与

yj之间要么相关系(rij=1),要么没相关系(rij=0).第94页例设身高论域X={140,150,160,170,180}(单位：cm),体重论域Y={40,50,60,70,80}(单位：kg),下表给出了身高与体重含糊关系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81第95页含糊关系合成

设R1是X到Y关系,R2是Y到Z关系,则R1与R2合成R1○

R2是X到Z上一个关系.(R1○

R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

当论域为有限时，含糊关系合成化为含糊矩阵合成.

设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y含糊关系R1=(aik)m×s，Y到Z含糊关系R2=(bkj)s×n，则X到Z含糊关系可表示为含糊矩阵合成：R1○

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.第96页含糊关系合成运算性质性质1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性质2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；性质4：A

B，C

D

A°C

B°D.注：(1)合成(°

)运算关于(∩)分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)这些性质在有限论域情况下,就是含糊矩阵合成运算性质.第97页第三节含糊等价矩阵含糊等价关系若含糊关系R是X上各元素之间含糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2

R,

则称含糊关系R是X上一个含糊等价关系.

当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时,X上一个含糊等价关系R就是含糊等价矩阵,即R满足：I

R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2

R.R2

R(

∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).第98页含糊等价矩阵基本定理

定理1

若R含有自反性(I≤R)和传递性(R2≤R),则R2=R.

定理2

若R是含糊等价矩阵,则对任意

∈[0,1]，R

是等价Boole矩阵.

∈[0,1]，A≤B

A

≤B

；(A°B)

=A

°B

；(AT

)

=(A

)T证实以下：(1)自反性：I≤R

∈[0,1]，I

≤R

∈[0,1]，I

≤R

，即R

含有自反性；(2)对称性：RT=R

(RT)

=R

(R

)T=R

，即R

含有对称性；(3)传递性：R2≤R

(R

)2≤R

，即R

含有传递性.第99页

定理3

若R是含糊等价矩阵,则对任意0≤

＜

≤1,R

所决定分类中每一个类是R

决定分类中某个类子类.

证实：对于论域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R

分在一类，则有rij(

)=1

rij≥

rij≥

rij(

)=1，即若xi,xj按R

也分在一类.

所以，R

所决定分类中每一个类是R

决定分类中某个类子类.第100页含糊相同关系

若含糊关系R是X上各元素之间含糊关系，且满足：

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称含糊关系R是X上一个含糊相同关系.当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时，X上一个含糊相同关系R就是含糊相同矩阵，即R满足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)对称性：RT=R

(

rij=rji

).第101页含糊相同矩阵性质

定理1

若R是含糊相同矩阵，则对任意自然数k，Rk也是含糊相同矩阵.

定理2

若R是n阶含糊相同矩阵，则存在一个最小自然数k(k≤n)，对于一切大于k自然数l，恒有Rl=Rk，即Rk是含糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R传递闭包，记作t(R)=Rk.

上述定理表明，任一个含糊相同矩阵可诱导出一个含糊等价矩阵.平方法求传递闭包t(R)：R

R2

R4

R8

R16…第102页例：设有含糊相同矩阵第103页第四节含糊聚类分析数据标准化设论域X={x1,x2,…,xn}为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n于是,得到原始数据矩阵为第104页含糊聚类分析普通步骤１、建立数据矩阵第105页（1）标准差标准化第106页（2）极差正规化（3）极差标准化（4）最大值规格化其中：第107页２、建立含糊相同矩阵（1）相同系数法①夹角余弦法②相关系数法第108页（2）距离法①Hamming距离②Euclid距离③Chebyshev距离第109页（3）贴近度法①最大最小法②算术平均最小法③几何平均最小法第110页3、聚类并画出动态聚类图（1）含糊传递闭包法步骤：第111页例：设对于含糊等价矩阵第112页故R是含糊等价矩阵当得到分类为当得到分类为第113页于是,得到动态聚类图如右图所表示

λ１３４５２

10.80.60.50.4r54321第114页第115页解：由题设知特征指标矩阵为采取最大值规格化法将数据规格化为第116页用最大最小法结构含糊相同矩阵得到用平方法合成传递闭包第117页取，得第118页取，得取，得第119页取，得取，得第120页画出动态聚类图以下：0.70.630.620.531第121页蠓分类左图给出了9只Af和6只Apf蠓触角长和翼长数据,其中“●”表示Apf,“○”表示Af.依据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是主要.①给定一只Af族或Apf族蠓,怎样正确地域分它属于哪一族？②将你方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本.第122页第123页含糊判别方法先将已知蠓重新进行分类.第124页当

=0.919时,分为3类{1,2,3,6,4,5,7,8},{9},{10,11,12,13,14,15},三类中心向量分别为(1.395,1.770),(1.560,2.080),(1.227,1.927).用平移极差变换将它们分别变为A1=(0.200,0.637)(Af蠓),A2=(0.390,1.000)(Af蠓),A3=(0.000,0.821)(Apf蠓),再将三只待识别蠓用上述变换分别变为B1=(0.015,0.672),B2=(0.062,0.719),B3=(0.203,0.953).第125页采取贴近度

3(A,B)=计算得：

3(A1,B1)=0.89,

3(A2,B1)=0.65,

3(A3,B1)=0.92.

3(A1,B2)=0.89,

3(A2,B2)=0.69,

3(A3,B2)=0.92.

3(A1,B3)=0.84,

3(A2,B3)=0.88,

3(A3,B3)=0.83.依据择近标准及上述计算结果,第一只待识别蠓(1.24,1.80)属于第三类,即Apf蠓；第二只待识别蠓(1.28,1.84)属于第三类,即Apf蠓；第三只待识别蠓(1.40,2.04)属于第二类,即Af蠓.第126页③

设Af是传粉益虫,Apf是某种疾病载体,是否应修改你分类方法？若需修改,为何？第127页2000网易杯全国大学生数学建模竞赛DNA序列分类6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完成，预计年能够完成准确全序列图，今后人类将拥有一本统计着本身生老病死及遗传进化全部信息“天书”。这本大自然写成“天书”是由4个字符A，T，C，G按一定次序排成长约30亿序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示4种碱基以外，人们对它包含“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息“天书”是二十一世纪最主要任务之一。在这个目标中，研究DNA全序列含有什么结构，由这4个字符排成看似随机序列中隐藏着什么规律，又是解读这部天书基础，是生物信息学（Bioinformatics）最主要课题之一。第128页即使人类对这部“天书”知之甚少，但也发觉了DNA序列中一些规律性和结构。比如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质序列片段，即由这4个字符组成64种不一样3字符串，其中大多数用于编码组成蛋白质20种氨基酸。又比如，在不用于编码蛋白质序列片段中，A和T含量尤其多些，于是以一些碱基尤其丰富作为特征去研究DNA序列结构也取得了一些结果。另外，利用统计方法还发觉序列一些片段之间含有相关性，等等。这些发觉让人们相信，DNA序列中存在着局部和全局性结构，充分发掘序列结构对了解DNA全序列是十分有意义。当前在这项研究中最普通思想是省略序列一些细节，突出特征，然后将其表示成适当数学对象。第129页这种被称为粗粒化和模型化方法往往有利于研究规律性和结构。作为研究DNA序列结构尝试，提出以下对序列集合进行分类问题：1）下面有20个已知类别人工制造序列（见下页），其中序列标号1—10为A类，11-20为B类。请从中提取特征，结构分类方法，并用这些已知类别序列，衡量你方法是否足够好。然后用你认为满意方法，对另外20个未标明类别人工序列（标号21—40）进行分类，把结果用序号（按从小到大次序）标明它们类别（无法分类不写入）：A类

；B类

。请详细描述你方法，给出计算程序。假如你部分地使用了现成分类方法，也要将方法名称准确注明。这40个序列也放在以下地址网页上，用数据文件Art-model-data标识，供下载：网易网址：教育频道在线试题；教育网：Newsmcm教育网：/mcm第130页2）在一样网址数据文件Nat-model-data中给出了182个自然DNA序列，它们都较长。用你分类方法对它们进行分类，像1）一样地给出分类结果。提醒：衡量分类方法优劣标准是分类正确率，结构分类方法有许多路径，比如提取序列一些特征，给出它们数学表示：几何空间或向量空间元素等，然后再选择或结构适合这种数学表示分类方法；又比如结构概率统计模型，然后用统计方法分类等。

第131页1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacatacacggcggcaacggacggaacggaggaaggagggcggcaatcggtacggaggcggcgga4.atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagcttagatgcatatgttttttaaataaaatttgtattattatggtatcataaaaaaaggttgcga5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacggggag6.atggaaaattttcggaaaggcggcaggcaggaggcaaaggcggaaaggaaggaaacggcggatatttcggaagtggatattaggagggcggaataaaggaacggcggcaca7.atgggattattgaatggcggaggaagatccggaataaaatatggcggaaagaacttgttttcggaaatggaaaaaggactaggaatcggcggcaggaaggatatggaggcg8.atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttttcgacaaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatgagg9.atggcggaaaaaggaaatgtttggcatcggcgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcgaaaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg10.tggccgcggaggggcccgtcgggcgcggatttctacaagggcttcctgttaaggaggtggcatccaggcgtcgcacgctcggcgcggcaggaggcacgcgggaaaaaacg11.gttagatttaacgttttttatggaatttatggaattataaatttaaaaatttatattttttaggtaagtaatccaacgtttttattactttttaaaattaaatatttatt12.gtttaattactttatcatttaatttaggttttaattttaaatttaatttaggtaagatgaatttggttttttttaaggtagttatttaattatcgttaaggaaagttaaa13.gtattacaggcagaccttatttaggttattattattatttggattttttttttttttttttttaagttaaccgaattattttctttaaagacgttacttaatgtcaatgc14.gttagtcttttttagattaaattattagattatgcagtttttttacataagaaaatttttttttcggagttcatattctaatctgtctttattaaatcttagagatatta15.gtattatatttttttatttttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaaaaatttttttttttttttttttttttttttttttaaaatttataaatttaa16.gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctggatcgataatgtaaacttattgaatctatagaattacattattgat17.gtatgtctatttcacggaagaatgcaccactatatgatttgaaattatctatggctaaaaaccctcagtaaaatcaatccctaaacccttaaaaaacggcggcctatccc18.gttaattatttattccttacgggcaattaattatttattacggttttatttacaattttttttttttgtcctatagagaaattacttacaaaacgttattttacatactt19.gttacattatttattattatccgttatcgataattttttacctcttttttcgctgagtttttattcttactttttttcttctttatataggatctcatttaatatcttaa20.gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatcttctaaaactgtttgatttaaacttttgtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat第132页21.tttagctcagtccagctagctagtttacaatttcgacaccagtttcgcaccatcttaaatttcgatccgtaccgtaatttagcttagatttggatttaaaggatttagattga22.tttagtacagtagctcagtccaagaacgatgtttaccgtaacgtqacgtaccgtacgctaccgttaccggattccggaaagccgattaaggaccgatcgaaaggg23.cgggcggatttaggccgacggggacccgggattcgggacccgaggaaattcccggattaaggtttagcttcccgggatttagggcccggatggctgggaccc24.tttagctagctactttagctatttttagtagctagccagcctttaaggctagctttagctagcattgttctttattgggacccaagttcgacttttacgatttagttttgaccgt25.gaccaaaggtgggctttagggacccgatgctttagtcgcagctggaccagttccccagggtattaggcaaaagctgacgggcaattgcaatttaggcttaggcca26.gatttactttagcatttttagctgacgttagcaagcattagctttagccaatttcgcatttgccagtttcgcagctcagttttaacgcgggatctttagcttcaagctttttac27.ggattcggatttacccggggattggcggaacgggacctttaggtcgggacccattaggagtaaatgccaaaggacgctggtttagccagtccgttaaggcttag28.tccttagatttcagttactatatttgacttacagtctttgagatttcccttacgattttgacttaaaatttagacgttagggcttatcagttatggattaatttagcttattttcga29.ggccaattccggtaggaaggtgatggcccgggggttcccgggaggatttaggctgacgggccggccatttcggtttagggagggccgggacgcgttagggc30.cgctaagcagctcaagctcagtcagtcacgtttgccaagtcagtaatttgccaaagttaaccgttagctgacgctgaacgctaaacagtattagctgatgactcgta31.ttaaggacttaggctttagcagttactttagtttagttccaagctacgtttacgggaccagatgctagctagcaatttattatccgtattaggcttaccgtaggtttagcgt32.gctaccgggcagtctttaacgtagctaccgtttagtttgggcccagccttgcggtgtttcggattaaattcgttgtcagtcgctctrtgggtttagtcattcccaaaagg33.cagttagctgaatcgtttagccatttgacgtaaacatgattttacgtacgtaaattttagccctgacgtttagctaggaatttatgctgacgtagcgatcgactttagcac34.cggttagggcaaaggttggatttcgacccagggggaaagcccgggacccgaacccagggctttagcgtaggctgacgctaggcttaggttggaacccggaaa35.gcggaagggcgtaggtttgggatgcttagccgtaggctagctttcgacacgatcgattcgcaccacaggataaaagttaagggaccggtaagtcgcggtagcc36.ctagctacgaacgctttaggcgcccccgggagtagtcgttaccgttagtatagcagtcgcagtcgcaattcgcaaaagtccccagctttagccccagagtcgacg37.gggatgctgacgctggttagctttaggcttagcgtagctttagggccccagtctgcaggaaatgcccaaaggaggcccaccgggtagatgccasagtgcaccgt38.aacttttagggcatttccagttttacgggttattttcccagttaaactttgcaccattttacgtgttacgatttacgtataatttgaccttattttggacactttagtttgggttac39.ttagggccaagtcccgaggcaaggaattctgatccaagtccaatcacgtacagtccaagtcaccgtttgcagctaccgtttaccgtacgttgcaagtcaaatccat40.ccattagggtttatttacctgtttattttttcccgagaccttaggtttaccgtactttttaacggtttacctttgaaatttttggactagc