2023-2024学年江苏省常州市高二下学期6月联考数学阶段检测试题（含解析）

/2023-2024学年江苏省常州市高二下学期6月联考数学阶段检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.设集合，，则（）A.B.C. D.已知，，且，则（）A．， B．，C．， D．，3.设，且，则的（

）A．最小值为-3 B．最小值为3C．最大值为-3 D．最大值为34.函数在区间的图象大致为()5.设随机变量ξ～N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝（

）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝EQ\F(λ\S(k),k!)eEQ\S\UP6(－λ)(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（

）A．EQ\F(2,e\S(4）B．EQ\F(4,e\S(4）C．EQ\F(6,e\S(4）D．EQ\F(8,e\S(4）已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则=（）A．-3B．3C．-1D．1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．9.下列说法正确的是（

）A．“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充分不必要条件B．命题“”的否定是C．已知幂函数的图象过点，则=D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点.下列选项中正确的有(

)A． B．C．直线与所成的角的余弦值为 D．平面与平面不垂直11.在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（

）A． B．C． D．若，则填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是．13.若不等式＋≥在x∈(，2)上恒成立，则实数的取值范围为．14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为．解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程．已知集合，．（1）命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）函数的定义域为，若，求实数的取值范围。设函数若函数是奇函数，求与的值；在（1）的条件下，判断并证明函数的单调性，并求不等式的解集．如图，三棱柱中，，，，，.（1）求证：平面；（2）直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.18.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．已知函数，．（1）若函数依次在处取到极值．①求的取值范围；②若，求的值．若存在实数，使对任意的，不等式恒成立．求正整数的最大值．高二数学答案与解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.设集合QUOTEA=-1,0,1A=-1,0,1，QUOTEB=xlgx+2>0B=xlgx+2>0，则QUOTE（）A.QUOTEB.QUOTE0,10,1C.QUOTE11 D.【正确答案】B已知QUOTE，QUOTE，且QUOTE，则（）A．QUOTEx=13x=13，QUOTEy=1y=1 B．QUOTEx=12x=12，QUOTEy=−4y=−4C．，QUOTEy=−14y=−14 D．QUOTEx=1x=1，QUOTEy=−1y=−1【正确答案】B【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.【详解】因为QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE由QUOTE，可得QUOTE，解之得QUOTEx=12y=-4x=12y=-4故选：B3.设QUOTEa>0,b>0a>0,b>0，且QUOTEa+2b=1a+2b=1，则QUOTElog2a+log2blog2a+logA．最小值为-3 B．最小值为3C．最大值为-3 D．最大值为3【正确答案】C【分析】由已知结合基本不等式先求QUOTEabab的范围，然后结合对数的运算性质即可求解.【详解】因为QUOTEa>0,b>0a>0,b>0，且QUOTEa+2b=1a+2b=1，所以QUOTE，即QUOTE，当且仅当QUOTEa=2ba=2b时取等号，所以QUOTE，即QUOTE.故选：C.4.函数QUOTEy=(3x-3-x)cosx答案A5.设随机变量ξ～N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝（

）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413【正确答案】B若过点QUOTE1,b1,b可以作曲线QUOTEy=lnx+1y=lnx+1的两条切线，则（

）A．QUOTEln2<b<2ln2<b<2 B．QUOTEb>ln2b>ln2C．QUOTE0<b<ln20<b<ln2 D．QUOTEb>1b>1【正确答案】B【分析】设切点点QUOTEPt,lnt+1Pt,lnt+1，写出切线方程，将点QUOTE1,b1,b代入切线方程得QUOTEb=1-tt+1+lnt+1b=1-t【详解】在曲线QUOTEy=lnx+1y=lnx+1上任取一点QUOTEPt,lnt+1Pt,lnt+1，QUOTEy'=所以曲线QUOTEy=lnx+1y=lnx+1在点QUOTEPP处的切线方程为QUOTEy-lnt+1=1t+1x-ty-由题意可知，点QUOTE1,b1,b在直线QUOTEy-lnt+1=1t+1x-ty-lnt+1=1t+1x-t上，可得QUOTEb=令函数QUOTE，令QUOTEm=t+1>0m=t+1>0泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝EQ\F(λ\S(k),k!)eEQ\S\UP6(－λ)(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（

）A．EQ\F(2,e\S(4）B．EQ\F(4,e\S(4）C．EQ\F(6,e\S(4）D．EQ\F(8,e\S(4）【正确答案】D由题意可知，P(X＝1)＝P(X＝2)，即EQ\F(λ,1!)eEQ\S\UP6(－λ)＝EQ\F(λ\S(2),2!)eEQ\S\UP6(－λ)，解得λ＝2，所以P(X＝k)＝EQ\F(2\S(k),k!)eEQ\S\UP6(－2)，所以两周共销售2件该商品的概率2P(X＝0)P(X＝2)＋P(X＝1)P(X＝1)＝2eEQ\S\UP6(－2)EQ\F(2\S(2),2!)eEQ\S\UP6(－2)＋EQ\F(2\S(1),1!)eEQ\S\UP6(－2)EQ\F(2\S(1),1!)eEQ\S\UP6(－2)＝EQ\F(8,e\S(4），故答案选D．已知函数QUOTEfxfx的定义域为QUOTERR，且满足QUOTEf(x)+f(3−x)=4f(x)+f(3−x)=4，QUOTEfxfx的导函数为QUOTEg(x)g(x)，函数QUOTEy=g(1+3x)−1y=g(1+3x)−1为奇函数，则QUOTEf(32)+g(2024)f(32)+g(2024)=（）BA．-3B．3C．-1D．1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．9.下列说法正确的是（

）A．“x>2”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)”的充分不必要条件B．命题“QUOTE”的否定是QUOTEC．已知幂函数QUOTE的图象过点QUOTE，则QUOTE=QUOTE3232D．已知随机变量QUOTEXX服从两点分布，且QUOTEPX=0=0.6PX=0=0.6，QUOTEPX=1=0.4PX=1=0.4，令QUOTEY=3X−2Y=3X−2，则QUOTE【正确答案】ACD如图，已知斜三棱柱QUOTEABC−A1B1C1ABC−A1B1C1中，QUOTE鈭燘AC=蟺2鈭燘AC=蟺2，QUOTE，QUOTE，QUOTEAB=AC=1AB=AC=1，QUOTEAA1=2AA1=2，点QUOTEOO是与的交点.下列选项中正确的有(

AC

)A．QUOTE B．QUOTEC．直线QUOTEAOAO与QUOTEBCBC所成的角的余弦值为QUOTE D．平面QUOTEABCABC与平面QUOTE不垂直11.在一个有限样本空间中，假设QUOTEPA=PB=PC=13PA=PB=PC=A． B．QUOTEC．QUOTE D．若QUOTEPCB+PCB=12PCB+PCB=12【正确答案】BCD【分析】A与B相互独立，则QUOTEPAB=PAPBPAB=PAPB,又因为QUOTE可判断A选项；由条件概率的运算QUOTEPBA=PBAPAPBA=PBAPA判断B选项；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故QUOTEPCA=PA【详解】对于A，A与B相互独立，则QUOTE,QUOTE，A错误；对于B，因为A与C互斥，所以,所以QUOTE,QUOTE,所以QUOTE,B正确；对于C，QUOTE,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，所以QUOTEPCA=PAPCA=PA,所以QUOTE，C正确；对于D，显然QUOTEPC=PBC+PBC=13PC=PBC由QUOTEPCB+PCB=12PCB+PC解得QUOTEPBC=0PBC=0，所以B与C故选：BCD.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是0.175．解：设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.13.若不等式QUOTEaa＋QUOTEx2−1xx2−1x≥QUOTE2log2x2log2x在x∈(QUOTE1212，2)上恒成立，则实数QUOTEaa的取值范围为．QUOTE14.如图，已知点QUOTEAA是圆台QUOTEO1OO1O的上底面圆QUOTEO1O1上的动点，QUOTEB,CB,C在下底面圆QUOTEOO上，QUOTEAO1=1,OO1=2,BO=3,BC=25AO1=1,OO1=2,BO=3,BC=25，则直线QUOTEAOAO与平面QUOTEO1BCO1BC所成角的正弦值的最大值为．【正确答案】QUOTE31010310【分析】以QUOTEOO为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【详解】连接QUOTEOCOC，过QUOTECC作QUOTECHCH垂直于QUOTEBOBO的延长线于点，以QUOTEOO为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：在三角形QUOTEOBCOBC中，因为QUOTEOB=3,OC=3,BC=25OB=3,OC=3,BC=25，故QUOTE，则QUOTE，则QUOTECH=BC2-BH2=20-1009=453CH=BC2-BH2又QUOTEB3,0,0,O0,0,0,O10,0,2B3,0,0,O0,0,0,O10,0,2，设点QUOTE，由QUOTEO1A=1O1A=1，则可得QUOTEQUOTE，设平面QUOTEO1BCO1BC的法向量QUOTE，则QUOTE，即QUOTE-103x+453y=0-3x+2z=0-103x+453y=0-3x+2z=0，取QUOTEy=5y=5，则QUOTE故平面QUOTEO1BCO1BC的法向量QUOTE，又QUOTE，设直线QUOTEAOAO与平面QUOTEO1BCO1BC所成角为QUOTE，则QUOTE因为QUOTE，且QUOTEm2+n2=1m2+n2=1，故令QUOTE，则QUOTE又QUOTE，故QUOTEsin?+??"C"C?-1,1sin?+??"C"C?-1,1，QUOTE，也即QUOTE，故QUOTE的最大值为QUOTE9310=310109310解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程．已知集合QUOTE，QUOTE．（1）命题p：QUOTE，命题q：QUOTE，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；（2）函数的定义域为QUOTECC，若QUOTE，求实数QUOTEaa的取值范围。【详解】（1）解不等式QUOTE，即QUOTE，解得QUOTE，所以，QUOTE．由于p是q的必要非充分条件，则QUOTEBB是QUOTEAA的真子集，所以QUOTE，解得QUOTE，因此，实数QUOTEmm的取值范围是QUOTE2,32,3；┄┄6分（2）因为QUOTE，在QUOTE1,41,4内有有解令QUOTE，则QUOTE，所以QUOTEa>0a>0┄┄13分设函数QUOTEf(x)=-2x+a2若函数QUOTEf(x)f(x)是奇函数，求QUOTEaa与QUOTEbb的值；在（1）的条件下，判断并证明函数QUOTEf(x)f(x)的单调性，并求不等式QUOTEf(x)>−16f(x)>−16的解集．解析：（1）由函数QUOTEf(x)f(x)是奇函数，得QUOTEf(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x)，即QUOTE-2x+a2x+1+b-2x+a2x+1+b对定义域内任意实数QUOTE，它对定义域内任意实数QUOTExx都成立，所以QUOTE2a−b=0,2ab−4=0,2a−b=0,2ab−4=0,所以QUOTEa=−1,b=−2a=−1,b=−2或QUOTEa=1,b=2.a=1,b=2.经检验QUOTEa=1,b=2,a=1,b=2,符合题意．………7分（3）由（2）可知QUOTEf(x)=-2x+12x+1+2,f(x)=-2x易判断QUOTEf(x)f(x)为QUOTE上的减函数。证明略（定义法或导数法）由QUOTEf(1)=−16f(1)=−16，不等式QUOTEf(x)>−16f(x)>−16即为QUOTEf(x)>f(1)f(x)>f(1)，由QUOTEf(x)f(x)为QUOTE上的减函数可得QUOTEx<1.x<1.或者由QUOTEf(x)>−16f(x)>−16即QUOTE，所以QUOTE所以QUOTEx/x<1.x/x<1.………15分如图，三棱柱QUOTEABC−A1B1C1ABC−A1B1C1中，QUOTE，QUOTE，QUOTEA1C鈯BA1C鈯B，QUOTEAC=1AC=1，QUOTEAA1=2AA1=2.（1）求证：QUOTE平面QUOTEABCABC；（2）直线QUOTEBA1BA1与平面QUOTEBCC1B1BCC1B1所成角的正弦值为QUOTE3434，求二面角QUOTEA1（1）证明：在QUOTE中，QUOTE，QUOTEAC=1AC=1，QUOTEAA1=2AA1=2，由余弦定理可得QUOTE，QUOTE，QUOTE，又QUOTE，QUOTEAB鈭〢C=AAB鈭〢C=A，QUOTE平面QUOTEABCABC；………………5分（2）由（1）知：QUOTECACA、QUOTECBCB、QUOTECA1CA1两两垂直，以QUOTECC为原点，QUOTECACA、QUOTECBCB、QUOTECA1CA1所在直线分别为QUOTExx、QUOTEyy、QUOTEzz轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则QUOTEA1,0,0A1,0,0、QUOTEC0,0,0C0,0,0、QUOTEA10,0,3A10,0,3，设点QUOTEB0,b,0B0,b,0，其中QUOTEb>0b>0，设平面QUOTEBCB1BCB1法向量为QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，取QUOTEx=3x=3，则QUOTEy=0y=0，QUOTEz=1z=1，得QUOTE，QUOTE，由已知QUOTE，解得：QUOTEb=1b=1，可得点QUOTEB0,1,0B0,1,0，设为平面的法向量，QUOTE，由QUOTE，取QUOTEx1=3x1=3，则QUOTEy1=3y1=3，QUOTEz1=1z1=1，可得QUOTE，QUOTE，由图可知，二面角QUOTEA1−BB1−CA1−BB1−C为锐角，所以，二面角QUOTEA1………15分18.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为QUOTE，QUOTE1−伪1−伪；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为QUOTEf伪f伪，求QUOTEf伪f伪的最小值；(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为QUOTEx1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量QUOTEXX（QUOTEx1,x2,x3,x4x1,x2【正确答案】(1)QUOTE1414(2)分布列见解析；期望为QUOTE2088120881【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数QUOTEf伪f伪表达式，进一步即可求解最小值；（2）QUOTEXX的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望.【详解】（1）由题可知QUOTE，因为QUOTE0<伪<10<伪<1，所以当QUOTE伪=12伪=12时，QUOTEf伪f伪的最小值为QUOTE1414．…………5分（2）由题设知，QUOTEXX的可能取值为1，2，3，4．①当QUOTEX=1X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，QUOTE，②当QUOTEX=2X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或