随机变量及其分布单元检测-2023-2024学年高二下学期数学人教A版2019选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布（单元检测）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A为“两个点数不同”，事件B为“两个点数中最大点数为4”，则P(B|A)＝()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,5)D.eq\f(5,6)2.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为()A.0.62B.0.48C.0.5D.0.43.袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机摸取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若摸球的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是()A.ξ＝4B.ξ＝5C.ξ＝6D.ξ≤54.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()A.np(1－p)B.npC.nD.p(1－p)5.从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为()A.0.24B.0.26C.0.288D.0.2926.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是eq\f(5,7)，则语文课本共有()A.2本B.3本C.4本D.5本7.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为()A.(90,100]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]8.已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝0.012，则P(－1≤ξ≤1)＝()A.0.976B.0.024C.0.488D.0.048二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则()A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为eq\f(5,9)C.已知在甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为eq\f(25,36)D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则E(ξ)＝eq\f(1,2)10.已知随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则下列结论正确的是()A.E(X)＝－eq\f(1,3)B.E(X＋4)＝－eq\f(1,3)C.D(3X＋1)＝5D.P(X>0)＝eq\f(1,6)11.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出n(1≤n≤6，n∈N*)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着n(1≤n≤6，n∈N*)的增加，下列说法正确的是()A.E(ξ)增大B.D(ξ)增大C.D(ξ)减小D.E(ξ)减小三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________13.随机变量ξ的取值为0，1，2．若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________14.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)，已知成绩在[90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50，60)中，则n＝______；现从成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（15分）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．16.（15分）已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．17.（15分）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A、B、C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其他的为废品，不进入市场．(1)生产一个元件，求该元件为二等品的概率；(2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率．18.（16分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．19.（16分）九节虾的虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：质量/g[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]数量4121185(1)若购进这批九节虾35000g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列及期望．参考答案及解析：一、单项选择题1.C解析：事件A为“两个点数不同”的基本事件个数为36－6＝30，事件B为“两个点数中最大点数为4”的基本事件有(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共6个，即P(B|A)＝eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)．2.A解析：设A1为进入比赛的一级射手，A2为进入比赛的二级射手，A3为进入比赛的三级射手，则P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.4且A1，A2，A3两两互斥，B＝“任取一名射手进入比赛”，则P(B)＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.4×0.4＝0.62.3.C解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.故选C.4.B解析：供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np.故选B.5.C解析：恰好有2次摸出白球的概率为Ceq\o\al(2,3)×0.42×(1－0.4)＝0.288．6.C解析：设语文课本有x本，则数学课本有(7－x)本，由题意知eq\f(C\o\al(1,x)·C\o\al(1,7－x),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(2,7－x),C\o\al(2,7))＝eq\f(5,7)．整理，得x2－x－12＝0，解得x＝－3(舍)或x＝4．∴语文课本有4本．7.C解析：∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，又eq\f(57,60)＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100<X≤120)．8.C解析：由题意知，对称轴为x＝1，则P(ξ<－1)＝P(ξ>3)＝0.012，故P(－1≤ξ≤1)＝eq\f(1－0.012－0.012,2)＝0.488．二、多项选择题9.BCD解析：选项A：甲乙丙三人每人都有6种选择，共有6×6×6＝216种，故A错误，选项B：恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，则概率为P＝eq\f(A\o\al(3,6),63)＝eq\f(5,9)，故B正确，选项C：甲不选择课程“御”的概率为1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，甲乙丙同时不选择课程“御”的概率为eq\f(53,63)＝eq\f(125,216)，则甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为eq\f(\f(125,216),\f(5,6))＝eq\f(25,36)，故C正确，选项D：三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则ξ服从二项分布，则E(ξ)＝3×eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，故D正确，故选BCD．10.ACD解析：E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(X＋4)＝eq\f(11,3)，故A正确，B错误．D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，D(3X＋1)＝9D(X)＝5，故C正确．P(X>0)＝P(X＝1)＝eq\f(1,6)，故D正确．11.BD解析：依题意，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球个数X服从超几何分布，即X～H(6，3，n)，其中P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(n－k,3),C\o\al(n,6))，其中k∈N，k≤3且k≤n，E(X)＝eq\f(3n,6)＝eq\f(n,2)，故从甲盒中取球，相当于从含有eq\f(n,2)＋1个红球的n＋1个球中取一球，取到红球个数为ξ，故P(ξ＝1)＝eq\f(\f(n,2)＋1,n＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2n＋2)，随机变量ξ服从两点分布，所以E(ξ)＝P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2n＋2)，随着n的增大，E(ξ)减小；D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2n＋2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2n＋2)))，随着n的增大，D(ξ)增大．三、填空题12.答案：0.868解析：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2}．由题意P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．13.答案：eq\f(2,5)解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5)．14.答案：50，eq\f(4,3)解析：由(0.012＋0.016＋0.018＋0.024＋x)×10＝1，解得x＝0.03．依题意0.016×10n＝8，则n＝50．成绩在[50，60)人数为0.012×10×50＝6，其中4个为女生，2个为男生．ξ可能取值为0，1，2．P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，故E(ξ)＝0×eq\f(1,15)＋eq\f(8,15)×1＋2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,3)．四、解答题15.解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30．根据分步乘法计数原理，有n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，所以P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3)．(2)因为n(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5)．(3)法一：由(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5)．法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)．16.解：(1)由随机变量分布列的性质，得eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＋eq\f(1,20)＝1，解得m＝eq\f(1,6)．(2)E(X)＝(－2)×eq\f(1,4)＋(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,20)＝－eq\f(17,30)．(3)法一(公式法)：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－eq\f(62,15)．法二(直接法)：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)eq\f(1,6)eq\f(1,20)所以E(Y)＝(－7)×eq\f(1,4)＋(－5)×eq\f(1,3)＋(－3)×eq\f(1,5)＋(－1)×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,20)＝－eq\f(62,15)．17.解：(1)不妨设元件经A，B，C三道工序加工合格的事件分别为A，B，C．所以P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，P(C)＝eq\f(3,4)．P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)．设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”．由已知A，B，C是相互独立事件．根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，P(D)＝P(eq\x\to(A)BC＋Aeq\x\to(B)C＋ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为eq\f(11,24)．(2)生产一个元件，该元件为一等品的概率为P＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)．设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则P(E)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,32)．所以至少有2个元件是一等品的概率为eq\f(5,32)．18.解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,3),C\o\al(3,7))(k＝0,1,2,3)．所以随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(18