面面垂直的性质定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3课时2面面垂直的性质定理1.通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系2.归纳并掌握平面与平面垂直的性质定理lABβα．P．Q从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角的记法：①二面角α-AB-β；②二面角P-AB-Q；③二面角α-l-β或P-l-Q．ABβαl在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．O二面角的大小可以用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角．

二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o．一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.那么已知两个平面垂直，可以得出哪些结论？如图，设α⊥β，α∩β=a，则β任意一条直线b与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？为什么？

平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．

面面垂直

线面垂直图形语言：符号语言：

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．

性质定理的证明：

设b与a的交点为A，过点A在α内作直线c⊥a，则直线b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β知，b⊥c．又因为b⊥a，a和c是α内的两条相交直线，所以b⊥α.证明：A例1

已知平面α⊥平面β，不在平面α内的直线a⊥β，判断a与α的位置关系．

例2

如图所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAB．

PABC证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E．因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC．又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB．所以AE⊥平面PBC，设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？所以直线a与直线b重合，因此a⊂α．设α∩β＝c．过点P在平面α内作直线b⊥c．由平面与平面垂直的性质定理可知，b⊥β．因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直，c

又AC⊂平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.A1.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在 (

)A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部【解析】：因∠BAC=90，所以AC⊥AB,又因为AC⊥BC1,且AB∩BC1=B所以AC⊥平面ABC1.2.如图所示,四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB=600，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，E为AD的中点，求证:BC⊥平面PEB.分析：要证BC⊥平面PEB思路1：线面垂直判定思路2：面面垂直性质1、BC所在的平面垂直平面PEB。2、BC垂直于两平面的交线。BC或与其平行的直线与平面PEB内两相交直线垂直。证明：∴△ABD为正三角形，又∵△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，BE⊥AD，又∵PE∩BE=EAD⊥面PEB,又∵AD//BC∴BC⊥平面PEB连BD，四边形ABCD为菱形且∠DAB=600，方法一2.如图所示,四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB=600，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，E为AD的中点，求证:BC⊥平面PEB.证明：又∵△PAD为正三角形，E为AD的中点，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=600，连BD后△ABD为正三角形∵面PAD⊥面ABCD，且交于AD又∵PE⊂面PEB，∴面PEB⊥面ABCD，且交于BE又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，又∵AD//BC∴BC⊥BE，又∵BC⊂面ABCD，∴BC⊥平面PEB∴PE⊥AD，∵PE⊂面PAD，∴PE⊥面ABCD,方法二面面垂直性质定理的应用技巧(1)面面垂直的性质定理,为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候,经常找交线的垂线,这样就可利用面面垂直证明线面垂直.(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作