2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题（人教A版（2019）必修第二册）

2023-2024学年高一第二学期期末模拟考试（新人教A版）数学试题2024.61、满分为150分，考试用时120分钟。2．考试内容：必修第二册：第六章《平面向量及其应用》，第七章《复数》，第八章《立体几何初步》，第九章《统计》，第十章《概率》一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、已知为虚数单位，若，则（）A. B.2 C. D.2、某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名（假设测试成绩两两不同），成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（）A.15 B.25 C.30 D.353、在正方体中，下列关系正确的是（）A. B. C. D.4、掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（）．A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等5、某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米6、已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（）A. B.2 C. D.7、把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8、为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9、国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个城市的90m²及以下二手住宅销售价格的环比数据如下：北方城市环比（单位：%，上月=100）南方城市环比（单位：%，上月=100）北京99.5上海99.5天津99.6南京99.5石家庄99.6南昌99.6沈阳99.7福州99.8则（）A.4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差B.4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值C.4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差D.4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数10、下列说法正确的是（）A.，B.C.若，，则的最小值为1D.若是关于x的方程的根，则11、如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（）A.异面直线与所成的角为B.直线与平面所成的角为C.二面角平面角的正切值为D.点到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12、水平放置的平行四边形,用斜二测画法画出它的直观图,如右图所示.此直观图恰好是个边长为的正方形,则原平行四边形的面积为.13、如图，用，，三种不同元件连接成系统S，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响.当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统S正常工作.已知元件，，正常工作的概率分别为0.6，0.5，0.5，则系统S正常工作的概率为______.14、已知为的外心，，，，则的面积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、（13分）已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，，三点共线．（1）用，来表示；（2）求的最小值．16．（15分）为分析某次数学考试成绩，现从参与本次考试的学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示．（1）求频率分布直方图中的值；（2）试估计本次数学考试成绩的平均数和第50百分位数；（3）从样本分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的2名学生中恰有1人成绩在中的概率．17．（15分）如图，在正方体中，，为上底面的中心.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）判断棱上是否存在一点，使得？并说明理由.18、（17分）某市为提升城市形象，打造城市品牌，拟规划建设一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域ABCDE（如图所示），其中三角形区域ABE为健身休闲区，四边形区域BCDE为文娱活动区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知，，，.（1）求道路BE的长度；（2）求道路AB、AE长度之和的最大值.19、（17分）如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥（如图2）.（1）若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度；（2）若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小.参考答案1、B2、B3、D4、C5、A6、A7、D8、C7、【详解】如图，取的中点，连接，因为，，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，即，所以为等边三角形，所以，因为，所以，所以，所以，即，得，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A8、【详解】解：由，如图设，即是的重心同理可得，所以．故选：C．9、AD10、ACD11、ACD12、13、14、14、由为的外心可得，，，故，又，可得，故，则的面积为15、（1）∵∴∴（2）∵，，∴，，∴，∴，∵，，三点共线，∴，∴，∴，∴当且仅当，时，的最小值为．16、（1）由频率分布表知，成绩在内的频率依次为，由，解得，所以.（2）由（1）知，，第50百分位数，则有，解得，所以本次数学考试成绩的平均数为107.4，第50百分位数105.7.（3）分数在，的两组学生的人数比为，因此用分层抽样的方法抽取的5名学生中，分数在内的学生有4人，记为，分数在内的学生有1人，记为，从5名学生中随机选取2人的结果有，共10个，选出的2名学生中恰有1人成绩在内的结果有，共4个，所以选出的2名学生中恰有1人成绩在中的概率为.17、（1）连接，因为，为中点，所以，又因为，所以.（2）设点到平面的距离为，所以，所以，则，所以.所以到平面距离为.（3）不存在,如下图，作一个相同的正方体，取为上底面的中心，连接，易知是平行四边形，所以，而与相交，所以棱上不存在一点，使得.18、（1）如图，连结，在中，由余弦定理得，则，∵，则，又，∴，在中，，，由正弦定理，，∴，或（舍去），即，由，得，即的长度是（2）设，由，得，在中，由正弦定理，，∴∴，又，∴，当，即时，取得最大值，即道路长度之和的最大值为19、解：（1）取的中点,连接,因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；因为平面，，平面，所以平面平面；因为平面平面,平面平面,所以，即为的中点，所以.（2）由图1可知