北京2024年第二次高中学业水平合格考数学模拟试卷（含答案解析）

年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的大致图像是（

）A．B．C． D．4．函数的定义域是（

）A． B． C． D．5．复数（

）A． B． C． D．6．不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．函数的零点是（

）A． B．C．0 D．18．在中，角的对边分别是，已知，，，则（

）A．7 B．19 C． D．9．若，则（

）A． B． C． D．10．（）A． B． C． D．11．已知，，则的值为（

）A． B．ab C． D．12．的内角、、所对的边分别为、、，且，，，则边的值为（

）A． B． C． D．13．设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，，则（

）A．1 B． C． D．14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（

）A． B． C． D．15．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（

）A． B． C． D．116．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（

）A．0.85 B．0.80 C．0.70 D．0.2917．已知向量，，，则（

）A．6 B． C． D．18．已知与的夹角为，则（

）A．-3 B．3 C． D．19．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（

）A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱20．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（

）A．众数是7 B．平均数是7C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）21．命题“”的否定是.22．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于，此时a=.23．复数(i为虚数单位)的实部是.24．已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的有①．若，，则 ②．若，，则③．若，，则 三、解答题（本题共4小题，共28分）25．（7分）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合.26．（7分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.27．（7分）阅读下面题目及其解答过程.已知函数.（1）证明：是偶函数；（2）证明：在区间上单调递增.解：（1）的定义域为①________.因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数.（2）③________，且，因为，所以④________0，⑤________0，.所以，即.所以在区间上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”），空格序号选项①A．

B．

②A．

B．③A．任取

B．存在④A．

B．⑤A．

B．28．（7分）给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足：（i），；（ii）对任意x，，只要，就有．问：(1)直接判断是否为减0集，是否为减1集；(2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；(3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．答案详解一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用并集的定义直接求解即可.【详解】集合，，所以.故选：C2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】，故是的必要不充分条件，故选：B3．函数的大致图像是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的特点即可求解.【详解】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数的大致图像.故选：A.4．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据被开方数不小于零列不等式求解.【详解】∵有意义，∴，即，所以函数的定义域是，故选:A.5．复数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数乘法计算.【详解】.故选：D6．不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性求解.【详解】因为，又函数是R上的增函数，所以，所以不等式的解集为.故选：C.7．函数的零点是（

）A． B．C．0 D．1【答案】C【分析】由零点的定义求解即可.【详解】令，得，故函数的零点是0.故选：C8．在中，角的对边分别是，已知，，，则（

）A．7 B．19 C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求得正确答案.【详解】由余弦定理得，所以．所以．故选：D9．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用诱导公式即可得.【详解】.故选：A.10．（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦函数的二倍角公式即可求解.【详解】由题意得，故A正确.故选：A.11．已知，，则的值为（

）A． B．ab C． D．【答案】D【分析】根据对数的运算规则计算.【详解】显然；故选：D.12．的内角、、所对的边分别为、、，且，，，则边的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理可求得边的长.【详解】因为，，，由正弦定理，可得.故选：B.13．设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，得到函数为奇函数，结合，代入即可求解.【详解】由函数的图像关于原点对称，可得函数为奇函数，所以，又由时，，则.故选：B.14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，向量，则线段中点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据计算得到答案.【详解】设线段中点为，则，故线段中点为.故选：B.15．设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义直接求解即可.【详解】设角的终边与单位圆的交点坐标为，所以.故选：C16．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（

）A．0.85 B．0.80 C．0.70 D．0.29【答案】D【分析】由对立事件概率、互斥加法以及独立乘法即可求解.【详解】由题意恰好有一人中靶的概率为.故选：D.17．已知向量，，，则（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】运用向量垂直的坐标表示列式求解即可.【详解】∵，∴，即，解得，故选：D．18．已知与的夹角为，则（

）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【分析】由数量积公式求解即可.【详解】.故选：B19．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（

）A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱【答案】B【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案.【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥.故选：B20．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（

）A．众数是7 B．平均数是7C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8【答案】B【分析】根据众数，平均数，中位数，百分位数的定义逐一判断即可.【详解】由题意可知，众数是4，A错；中位数为，D错；平均数为，B对；因为为10×75%=7.5，所以第75百分位数为第8个数9，C错.故选：B.二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）21．命题“”的否定是.【答案】“”【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.【详解】命题“”的否定是“”。故答案为：22．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于，此时a=.【答案】3【解析】根据题意，分析可得，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，正数a、b满足，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时.故答案为：3；.【点睛】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.23．复数(i为虚数单位)的实部是.【答案】3【分析】根据复数的概念可选答案.【详解】复数(i为虚数单位)的实部是3故答案为：324．已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】②③【解析】根据线面平行和垂直的关系，逐个分析判断即可得解.【详解】对①，根据直线平行的传递性，故①正确；对②，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故②错误；对③，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故③错误；故选：②③三、解答题（本题共4小题，共28分）25．（7分）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合.【答案】(1)(2)的最大值是，此时自变量的集合为.【分析】（1）利用辅助角公式化简的解析式，然后根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】（1），所以的最小正周期.（2）由（1）得，所以当时，取得最大值，此时自变量的集合为.26．（7分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC与BD交于点O，连接OE，则，结合线面平行的判定定理即可证明.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又平面为菱形，所以，又平面，所以平面；（2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE，则，又平面，平面，所以平面.27．（7分）阅读下面题目及其解答过程.已知函数.（1）证明：是偶函数；（2）证明：在区间上单调递增.解：（1）的定义域为①________.因为对任意，都有，且②________，所以是偶函数.（2）③________，且，因为，所以④________0，⑤________0，.所以，即.所以在区间上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”），空格序号选项①A．

B．

②A．

B．③A．任取

B．存在④A．

B．⑤A．

B．【答案】ABABA【分析】根据的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于的定义域为R，故A正确；②由于，故B正确；③根据函数单调性定义可知任取，故A正确；④因为，所以，故，故B正确；⑤因为，故，故，故A正确.28．（7分）给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足：（i），；（ii）对任意x，，只要，就有．问：(1)直接判断是否为减0集，是否为减1集；(2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；(3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．【答案】(1)P是“减0集”，不是“减1集”(2)不存在，理由见解析(3)存在“减1集”；【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）利用反证法证明即可；（3）根据所给定义，假设,即可得到,即可得到1个“减1集”，依次类推即可.【详解】（1）因为，，，所以是“减0集”，同理因为，，，所以不是“减1集”.（2）假设存在“减2集”，则，那么，分以下两种情形来讨论：情形一：当时，有，注意到，所以中有一个是2，有一个是4，所以集合中除1以外的最小元素为6，但是，，而这与集合是“减2集