统计中的随机抽样和统计推断的应用

统计中的随机抽样和统计推断的应用一、随机抽样1.1简单随机抽样：从总体N个对象中，利用抽签、随机数表法等方法抽取n个（n<N）样本，使每个对象被抽中的概率相等。1.2分层随机抽样：将总体按某特征分为若干层，然后从每层中独立、随机地抽取样本。1.3系统随机抽样：将总体编号，按一定的间隔k，随机抽取一个起始编号i，然后从编号i开始，每隔k个抽取一个样本。1.4整群随机抽样：将总体划分为若干群，然后随机抽取若干群作为样本。二、统计推断2.1参数估计：根据样本信息，估计总体某一未知参数。主要包括点估计和区间估计。2.2假设检验：对总体某一未知参数提出假设，然后利用样本信息判断假设是否成立。主要包括单样本检验、两样本检验和方差分析。2.3置信区间：对总体某一未知参数，根据样本信息，给出一个区间估计，在该区间内，该参数的真实值出现的概率达到一定程度（如95%）。2.4假设检验的类型：左侧检验、右侧检验、双侧检验。2.5假设检验的步骤：建立假设、选择显著性水平、计算统计量、判断结论。2.6回归分析：研究两个或两个以上变量间相互依赖关系的统计分析方法。主要包括线性回归和非线性回归。2.7相关分析：研究两个变量间线性关系的方法，通过计算相关系数来衡量变量间的相关程度。三、应用实例3.1调查某校初中生身高分布情况，采用随机抽样方法，估计该校初中生身高的平均值和标准差。3.2比较两种药物的疗效，采用随机抽样方法，从两组患者中分别抽取样本，进行假设检验。3.3分析某地区历年空气质量数据，采用回归分析方法，研究空气质量与气象因素之间的关系。3.4调查某商品的顾客满意度，采用分层随机抽样方法，从不同消费群体中抽取样本，进行统计推断。四、注意事项4.1随机抽样要保证每个个体被抽中的概率相等，以提高样本的代表性。4.2进行统计推断时，要合理选择假设检验方法和置信区间宽度。4.3回归分析时要考虑变量间的多重共线性问题，避免模型过拟合。4.4相关分析只能判断变量间的线性关系，不能确定因果关系。习题及方法：一、随机抽样习题1：某学校有初中生1000人，高中生800人，总共1800人。现在要从中随机抽取一个容量为100的样本，采用分层随机抽样，高中学段应抽取多少人？解题方法：根据分层随机抽样的原则，各层抽取的样本数应与该层在总体中的比例相同。因此，高中学段的抽样人数=800/1800*100=44.4，向上取整，故应抽取45人。习题2：某商店有10个销售员，要从中随机抽取3个销售员进行培训。采用系统随机抽样，如果随机抽取的起始编号为2，间隔为3，那么第三个被抽取的销售员编号是多少？解题方法：根据系统随机抽样的原则，从编号2开始，每隔3个抽取一个销售员。因此，第三个被抽取的销售员编号=2+3*2=8。习题3：某工厂有5个车间，要从中随机抽取2个车间进行质量检查。采用整群随机抽样，如果随机抽取的车间为1号和3号车间，那么第二个被抽取的车间是几号车间？解题方法：根据整群随机抽样的原则，从5个车间中随机抽取2个车间。因此，第二个被抽取的车间是3号车间。二、统计推断习题4：某学校初中生身高分布呈正态分布，样本容量为100，样本均值为160cm，样本标准差为5cm。估计该校初中生身高的真实均值和标准差。解题方法：根据样本信息，可以估计总体身高的分布。样本均值即为总体均值估计值，样本标准差即为总体标准差估计值。因此，该校初中生身高的真实均值为160cm，真实标准差为5cm。习题5：比较两种药物的疗效，从两组患者中分别随机抽取30人进行治疗。治疗后，甲组患者的康复率为60%，乙组患者的康复率为70%。进行假设检验，判断两种药物疗效是否存在显著性差异。解题方法：根据样本信息，可以计算出康复率的样本比例，分别为0.6和0.7。采用z检验，计算z值和p值，判断两组康复率是否存在显著性差异。具体计算过程略。习题6：某地区历年空气质量数据如下：年份1990年至2019年，共30年。要研究空气质量与气象因素之间的关系，采用回归分析方法。气象因素包括温度、湿度、风速等。解题方法：根据历年空气质量数据和气象因素数据，采用最小二乘法计算线性回归方程，分析空气质量与气象因素之间的关系。具体计算过程略。习题7：某商品的顾客满意度调查，采用分层随机抽样方法，从不同消费群体中抽取样本。调查结果如下：高收入群体满意度均值为4.5，低收入群体满意度均值为3.5。解题方法：根据调查结果，可以估计总体顾客满意度的分布。由于只给出了两个群体的满意度均值，无法计算总体满意度均值。但可以得出结论：高收入群体的满意度高于低收入群体。习题8：某班级有50名学生，要研究学生成绩与学习时间的关系。收集了学生每周学习时间和成绩的数据，采用相关分析方法。计算得到的correlationcoefficient为0.8。解题方法：根据相关分析结果，correlationcoefficient接近1，说明学生成绩与学习时间之间存在较强的正相关关系。具体的相关方程可以通过线性回归分析得出。三、应用实例习题9：某地区进行了一次初中生身高调查，随机抽取了50名初中生。调查结果显示，初中生身高的平均值为165cm，标准差为6cm。请估计该地区初中生身高的真实均值和标准差。解题方法：根据样本信息，可以估计总体身高的分布。样本均值即为总体均值估计值，样本标准差即为总体标准差估计值。因此，该地区初中生身高的真实均值为165cm，真实标准差为6cm。习题10：某企业生产两种产品A和B，对两种产品的质量进行了假设检验。从A产品中随机抽取30个样本，均值为40，标准差为2；从B产品中随机抽取30个样本，均值为50，其他相关知识及习题：一、概率论基础1.1随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事件。1.2概率：描述随机事件发生的可能性。1.3条件概率：在某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率。1.4独立事件：两个事件的发生互不影响。习题11：抛掷一个正常的六面骰子两次，计算至少有一次出现6的概率。解题方法：先计算两次都不出现6的概率，再用1减去这个概率得到至少有一次出现6的概率。两次都不出现6的概率为(1/6)习题12：从一副52张的扑克牌中随机抽取4张牌，计算抽到至少一张红桃的概率。解题方法：先计算没有抽到红桃的概率，再用1减去这个概率得到至少抽到一张红桃的概率。没有抽到红桃的概率为(40/52)二、概率分布2.1离散型随机变量：可能取有限个或无限个整数值的随机变量。2.2连续型随机变量：取值范围为无限区域的随机变量。2.3概率分布：描述随机变量取各种可能值的概率。习题13：一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，随机取出一个球，计算取出红球的概率。解题方法：取出红球的概率为红球的数量除以总球数，即5/习题14：一个学生的数学、英语和物理成绩分别服从正态分布，均值为60，标准差为10。计算该学生至少有两门成绩超过80的概率。解题方法：首先计算一门成绩超过80的概率，然后计算两门成绩超过80的概率。一门成绩超过80的概率为1−(60−三、抽样分布与中心极限定理3.1抽样分布：从总体中随机抽取的样本统计量的分布。3.2中心极限定理：当样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。习题15：从正态分布的总体中随机抽取50个样本，均值为50，标准差为5，计算样本均值的抽样分布的均值和标准差。解题方法：样本均值的抽样分布的均值等于总体的均值，即50。标准差为总体标准差除以样本容量的平方根，即5/习题16：已知一个正态分布的总体均值为10，标准差为2，从该总体中随机抽取5个样本，计算这5个样本标准差的抽样分布的均值和标准差。解题方法：样本标准差的抽样分布的均值等于总体标准差，即2。标准差为总体标准差的平方根除以样本容量的平方根，即2/四、假设检验与P值4.1假设检验：对总体参数提出假设，然后根据样本信息判断假设是否成立。4.2P值：在假设检验中，表示拒绝原假设的最小显著性水平。习题17：比较两