新八年级数学讲义第9讲分式-提高班(学生版+解析)

第9讲分式1分式的基本概念分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且．【例题精选】例1(2023秋•郾城区期末）在﹣3x、、﹣、、﹣、、中，分式的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6例2(2023秋•青龙县期末）在，，，，中，分式的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【随堂练习】1．(2023春•龙海市期中）下列有理式中，，，，其中是分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(2023春•东湖区校级月考）下列各式中，，，，，其中分式的个数有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2分式有意义的条件分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即．【例题精选】例1(2023秋•长白县期末）要使分式有意义，x的取值应满足（）A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x≠1或x≠﹣2 D．x≠1且x≠﹣2例2(2023•南岸区校级模拟）若分式﹣有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x≠﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣6【随堂练习】1．(2023秋•湛江期末）要使分式有意义，x应满足的条件是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠﹣3 D．x≠32．(2023•成都模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≠﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠23．(2023•高新区一模）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣13.分式值为0的条件分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．即当且时，．【例题精选】例1(2023春•沙坪坝区校级月考）已知分式当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式没有意义，则分式有意义时，a+b的值为（）A．﹣2 B．2 C．6 D．﹣6例2(2023秋•谢家集区期末）若分式的值为0，则（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝2或x＝﹣2 D．x≠2或x≠﹣2【随堂练习】1．(2023秋•平山县期末）若式子的值为零，则x的值为_______．2．(2023秋•勃利县期末）当m＝________时，分式的值为0．4分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即【例题精选】例1(2023秋•大连期末）把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（）A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的10倍 D．扩大为原来的100倍例2(2023•浦城县二模）下列变形正确的是（）A．＝ B． C． D．【随堂练习】1．(2023春•江阴市期中）如果把分式中的m和n都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大4倍 B．缩小2倍 C．不变 D．扩大2倍2．(2023秋•梁园区期末）下列各式中的变形，错误的是（）A．＝﹣ B．＝ C．＝ D．＝5.最简分式约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.【例题精选】例1(2023秋•荆州区期末）下列各分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．例2(2023秋•扎鲁特旗期末）下列各分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．【随堂练习】1．(2023秋•宜城市期末）下列各分式中，最简分式是（）A． B． C． D．2.(2023春•唐河县期中）下列分式，，，，中，最简分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个综合应用一．选择题1．下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．若分式的值为0，则（）A．x＝﹣6 B．x＝6 C．x＝36 D．x＝±63．若把分式中x和y都缩小为原来的一半，那么分式的值（）A．缩小为原来的一半 B．不变 C．扩大为原来的2倍 D．不确定4．下列式子从左至右变形正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝第9讲分式1分式的基本概念分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且．【例题精选】例1(2023秋•郾城区期末）在﹣3x、、﹣、、﹣、、中，分式的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6分析：直接可以分式的定义进而分析得出答案．【解答】解：﹣3x、、﹣、、﹣、、中，分式是：、﹣、﹣，共3个．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题关键．例2(2023秋•青龙县期末）在，，，，中，分式的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，，分母中含有字母，因此是分式．故选：C．【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．【随堂练习】1．(2023春•龙海市期中）下列有理式中，，，，其中是分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：，的分母中不含有字母，是整式，的分母中含有字母．故选：A．2．(2023春•东湖区校级月考）下列各式中，，，，，其中分式的个数有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解答】解：的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，是分式，共2个，故选：D．2分式有意义的条件分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即．【例题精选】例1(2023秋•长白县期末）要使分式有意义，x的取值应满足（）A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x≠1或x≠﹣2 D．x≠1且x≠﹣2分析：根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，（x+2）（x﹣1）≠0，解得，x≠1且x≠﹣2，故选：D．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．例2(2023•南岸区校级模拟）若分式﹣有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x≠﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣6分析：根据分式有意义的条件可得2x+6≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x+6≠0，解得：x≠﹣3，故选：B．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．【随堂练习】1．(2023秋•湛江期末）要使分式有意义，x应满足的条件是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠﹣3 D．x≠3【解答】解：要使分式有意义，x应满足的条件是：x﹣3≠0，解得：x≠3．故选：D．2．(2023•成都模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≠﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠2【解答】解：若分式有意义，则x+2≠0，解得：x≠﹣2．故选：B．3．(2023•高新区一模）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1【解答】解：由分式有意义的条件可知：x+1≠0，∴x≠﹣1，故选：D．3.分式值为0的条件分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．即当且时，．【例题精选】例1(2023春•沙坪坝区校级月考）已知分式当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式没有意义，则分式有意义时，a+b的值为（）A．﹣2 B．2 C．6 D．﹣6分析：根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得b的值；根据分式没有意义，即分母等于0，求得a的值，从而求得a+b的值．【解答】解：∵x＝2时，分式的值为零，∴2﹣b＝0，解得b＝2．∵x＝﹣2时，分式没有意义，∴2×（﹣2）+a＝0，解得a＝4．∴a+b＝4+2＝6．故选：C．【点评】考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0．例2(2023秋•谢家集区期末）若分式的值为0，则（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝2或x＝﹣2 D．x≠2或x≠﹣2分析：根据分式的值为零的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，∴x＝2，故选：A．【点评】本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型．【随堂练习】1．(2023秋•平山县期末）若式子的值为零，则x的值为_______．【解答】解：∵式子的值为零，∴x2﹣1＝0，（x﹣1）（x+2）≠0，解得：x＝﹣1．故答案为：﹣1．2．(2023秋•勃利县期末）当m＝________时，分式的值为0．【解答】解：由题意可知：解得：m＝﹣3，故答案为：﹣34分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即【例题精选】例1(2023秋•大连期末）把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（）A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的10倍 D．扩大为原来的100倍分析：根据分式的基本性质，把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍得：＝＝，即可得到答案．【解答】解：把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍得：＝＝，即分式的值扩大为原来的10倍，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．例2(2023•浦城县二模）下列变形正确的是（）A．＝ B． C． D．分析：根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：（A）≠，故A错误；（B）＝，故B错误；（C）﹣1＝，故C错误；故选：D．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．【随堂练习】1．(2023春•江阴市期中）如果把分式中的m和n都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大4倍 B．缩小2倍 C．不变 D．扩大2倍【解答】解：根据题意得：原式可变形为：，分式的分子分母同时除以2得：原式＝，即分式的值不变，故选：C．2．(2023秋•梁园区期末）下列各式中的变形，错误的是（）A．＝﹣ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：A、＝﹣，故A正确；B、分子、分母同时乘以﹣1，分式的值不发生变化，故B正确；C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确；D、≠，故D错误；故选：D．5.最简分式约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.【例题精选】例1(2023秋•荆州区期末）下列各分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．分析：最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A．是最简分式；B．＝＝x﹣y，不符合题意；C．＝＝，不符合题意；D．＝，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．例2(2023秋•扎鲁特旗期末）下列各分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．分析：根据分式的分子分母都不含有公因式的分式是最简分式，可得答案．【解答】解：A．＝＝，不符合题意；B．＝＝m﹣n，不符合题意；C．是最简分式，符合题意；D．＝＝，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．【随堂练习】1．(2023秋•宜城市期末）下列各分式中，最简分式是（）A． B． C． D．【解答】解：（A）原式＝，故A不是最简分式；（B）原式＝＝，故B不是最简分式；（C）原式＝，故C是最简分式；（D）原式＝＝，故D不是最简分式；故选：C．2.(2023春•唐河县期中）下列分式，，，，中，最简分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：＝﹣，＝＝，所以最简分式有，，．故选：C．综合应用一．选择题1．下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：，x2，+1是分式，故选：C．2．若分式的值为0，则（）A．x＝﹣6 B．x＝6 C．x＝36 D．x＝±6【解答】解：∵分式的值为0，∴x