新八年级数学讲义第11讲分式方程-提高班(学生版+解析)

第11讲分式方程1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.【例题精选】例1(2023春•电白区期末）下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1【随堂练习】1．(2023春•上海期中）在下列方程组中，（）是分式方程．A．＝1 B． C． D．2分式方程的解【例题精选】例1(2023秋•东城区期末）已知﹣2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为________．3解分式方程解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.【例题精选】例1(2023•长兴县一模）关于x的分式方程﹣1＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝例2(2023•广东模拟）分式方程+＝1的解为（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无解【随堂练习】1．(2023春•历下区校级期中）解分式方程﹣2＝，去分母得（）A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣5）＝3 C．1﹣2x﹣10＝﹣3 D．1﹣2x+10＝32．(2023•天桥区模拟）方程＝的解是（）A．x＝6 B．x＝7 C．x＝8 D．x＝﹣84分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【例题精选】例1(2023•衡阳）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？例2(2023•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【随堂练习】1．(2023•西宁一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成 D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成2．(2023•南海区模拟）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．（1）现在平均每天生产多少台机器；（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．综合练习一．选择题（共2小题）1．解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣12．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程﹣＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成 C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成 D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成二．解答题（共5小题）3．解方程：﹣＝14．某自动化车间计划生产40个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序升级改造，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求升级改造前每小时生产多少个零件？5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣36．某商店第一次用300元购进2B铅笔若干支，第二次又用300元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于210元，问每支售价至少是多少元？7．服装店去年10月以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元，进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5倍．（1）求每件羽绒服的标价是多少元；（2）进入l2月份，服装店决定把剩余羽绒服按10月份标价的八折销售，结果全部卖掉，而且这批羽绒服总获利不少于15000元，问这批羽绒服至少购进多少件？第11讲分式方程1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.【例题精选】例1(2023春•电白区期末）下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，故选：B．【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．【随堂练习】1．(2023春•上海期中）在下列方程组中，（）是分式方程．A．＝1 B． C． D．【解答】解：A、是分式方程，故此选项符合题意；B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；C、不是分式方程，故此选项不符合题意；D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；故选：A．2分式方程的解【例题精选】例1(2023秋•东城区期末）已知﹣2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为________．分析：将x＝﹣2代入分式方程，求出k即可．【解答】解：将x＝﹣2代入分式方程，可得：﹣2﹣k＝﹣4，解得：k＝2，故答案为2．【点评】本题考查分式方程的解；将所给方程的解代入原方程求解k的值是关键．3解分式方程解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.【例题精选】例1(2023•长兴县一模）关于x的分式方程﹣1＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：1﹣x＝2x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故选：D．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．例2(2023•广东模拟）分式方程+＝1的解为（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无解分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解，则分式方程的解为x＝2．故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【随堂练习】1．(2023春•历下区校级期中）解分式方程﹣2＝，去分母得（）A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣5）＝3 C．1﹣2x﹣10＝﹣3 D．1﹣2x+10＝3【解答】解：方程变形得：﹣2＝﹣，去括号得：1﹣2（x﹣5）＝﹣3，故选：A．2．(2023•天桥区模拟）方程＝的解是（）A．x＝6 B．x＝7 C．x＝8 D．x＝﹣8【解答】解：去分母得：2x﹣6＝x+2，解得：x＝8，经检验x＝8是分式方程的解．故选：C．4分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【例题精选】例1(2023•衡阳）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？分析：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15．答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，依题意，得：，解得：15≤m≤16．∵m为整数，∴m＝15或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．例2(2023•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？分析：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【随堂练习】1．(2023•西宁一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成 D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成【解答】解：设实际每天铺设管道x米，原计划每天铺设管道（x﹣10）米，方程，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间＝15天，那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．故选：C．2．(2023•南海区模拟）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．（1）现在平均每天生产多少台机器；（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．【解答】解：（1）设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器，依题意，得：＝，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，∴x+50＝200．答：现在平均每天生产200台机器．（2）﹣＝20﹣15＝5（天）．答：现在比原计划提前5天完成．综合练习一．选择题（共2小题）1．解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣1【解答】解：去分母得：2x+2（2x﹣1）＝x﹣1，即2x+4x﹣2＝x﹣1，故选：C．2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程﹣＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成 C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成 D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成【解答】解：∵利用工作时间列出方程：﹣＝20，∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．故选：C．二．解答题（共5小题）3．解方程：﹣＝1【解答】解：2（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2﹣16x＝﹣2，经检验，x＝﹣是原方程的根，所以原方程的解为：x＝﹣．4．某自动化车间计划生产40个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序升级改造，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求升级改造前每小时生产多少个零件？【解答】解：设升级改造前每小时生产x个零件，则升级改造前每小时生产（1+）x个零件，依题意，得：﹣＝+，解得：x＝10，经检验，x＝10是所列分式方程的解，且符合题意．答：升级改造前每小时生产10个零件．5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣3【解答】解：（1）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，