数列求和讲义-2025届高三数学一轮复习

基础课34数列求和考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养分组求和与并项求和理解2023年新高考Ⅱ卷T2021年新高考Ⅰ卷T★★☆逻辑推理数学运算裂项相消法求和掌握2023年全国甲卷（理）T2020年新课标Ⅰ卷（理）T★★★逻辑推理数学运算错位相减法求和掌握2021年全国乙卷（文）T★★★逻辑推理数学运算命题分析预测从近几年高考的情况来看，本基础课为高考的重点，其中等差、等比数列的通项与求和为命题热点，多以解答题的形式呈现，难度中等.预计2025年高考命题情况变化不大，但应加强对非等差、等比数列求和的训练，注重与其他知识的综合创新，同时也要注意对结构不良试题的训练数列求和的几种常用方法一、公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.1.等差数列的前n项和公式：Sn2.等比数列的前n项和公式：S二、分组求和法与并项求和法1.若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.2.形如an三、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.四、裂项相消法裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项.（1）裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.（2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.题组1走出误区1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S（2）当n≥2时，1n（3）求Sn=a+2（4）若数列a1，a2−a1，⋯，an−2.（易错题）已知数列{an}的前n项和Sn=3⋅【易错点】忽视新数列{a[解析]当n≥2时，an=Sn−Sn−1题组2走进教材3.（人教A版选修②P40·T4改编）设数列{an}的前n项和Sn=12n2+1A.1−1nC.1−1n[解析]由Sn=12n2+12n知，数列{an}是等差数列，所以12=d2,a1−d24.（人教A版选修②P40·T3改编）已知数列{an}的通项公式为an=n⋅[解析]因为Sn=1×21+2×题组3走向高考5.（2023·新高考Ⅱ卷改编）已知an=2n−3,n[解析]由题可知，奇数项和偶数项均为n项，所以S奇=−1+考点一分组求和与并项求和［师生共研］典例1（一题练透）已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，满足S3（1）求{a（2）设bn=2an+a（3）若cn=ansin[解析]（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得S3=3a2=9，则a2=3，因为6是a2+（2）由（1）可得bn=2所以Tn（3）因为sin2nπ3的最小正周期为3，c分组求和与并项求和的类型1.分组转化法求和的常见类型：（1）分段型，如an=bn±cn（2）周期型，如an=sinn2.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两或几个结合求解，则称之为并项求和.形如an（一题练透）已知等差数列{an}满足a5=5，a1+a7=（1）求{an}[解析]设等差数列{an}的公差为d，等比数列{由题意可得a解得a1=d又bn>0且b2=a2（2）若cn=an+bn[解析]因为cn所以S==n（3）若en=−1n⋅log[解析]en当n为偶数时，Tn当n为奇数时，Tn综上所述,数列{en}的前考点二裂项相消法求和［师生共研］典例2[2024·四川模拟]设数列{an}的前n项和为S（1）证明数列{an−2}（2）若数列{2n+1ana[解析]（1）因为Sn=2an+2n当n≥2时，Sn整理得an=2an所以数列{an−2}（2）记bn则数列{bn}的前m则12−22m+1+2数列裂项的五种类型数列（n为正整数）裂项方法{（k为非零常数）1{1{1{2{log[2024·南宁模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求{a[解析]由题意，当n=1时，当n≥2时，当n=故{an}（2）设bn=log3an2，c[解析]由（1）得，an=3n，所以当n为偶数时，Tn当n为奇数时，Tn综上所述，Tn考点三错位相减法求和［师生共研］典例3[2024·湖南校考]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，an+（1）求数列{an}（2）若cn=anbnn[解析]（1）当n=1时，a2当n≥2时，由an所以an+1因为a2=4a1故数列{an}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以{由n+3b当n≥2时，b2b1=42，b3则当n≥2时，验证b1=6（2）由cn=a所以Tn4T两式相减得−3Tn错位相减法求和的基本步骤其中，{an}是公差为d的等差数列，{[2024·辽宁校考]已知数列