2024年辽宁省丹东市第五中学九年级中考三模数学试题

2024年辽宁省丹东市振兴区丹东市第五中学九年级中考三模数学试题一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一个选项最符合题意要求，请将最符合题意要求的选项涂在答题卡指定位置上。本题共10小题，每小题3分，共30分。）1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为（）A．6.4×10﹣5 B．6.4×106 C．6.4×10﹣6 D．6.4×1053．（3分）质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（）A． B． C． D．4．（3分）下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A． B． C． D．5．（3分）下列各式运算正确的是（）A．a5•a2＝a15 B．（a5）5＝a10 C．（ab2）3＝ab6 D．a8÷a7＝a6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B的对应点D的坐标为（）A．（2，4） B．（3，4） C．（3，5） D．（4，3）7．（3分）将分别标有“大”、“美”、“织”、“金”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“织金”的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）下列命题为真命题的是（）A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形9．（3分）如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．（3分）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg），已知U0随着R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（）A．在一定范围内，U0越大，R1越小 B．当U0＝3V时，R1的阻值为50Ω C．当踏板上人的质量为90kg时，U0＝2V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）11．（3分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）分解因式x2y﹣16y的结果为．13．（3分）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝．15．（3分）如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+（a≠0）经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，过D作DF∥BC交x轴于F点，则DF的最小值为．三、解答题（本题共8小题，共75分）17．（9分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．甲、乙两人射箭成绩统计表第1次第2次第3次第4次第5次甲94746乙757a7小宇的作业：解：，．（1）a＝，x乙＝，甲成绩的众数是，乙成绩的中位数是．（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线．（3）①请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．18．（8分）为加强学生安全教育，某学校组织了“安全教育”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；购买2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且总费用不超过1100元，求至少购买多少副乒乓球拍．19．（8分）某单位准备购买一种水果，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该水果在两家超市的标价均为13元/千克．甲超市购买该水果的费用y（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；乙超市该水果在标价的基础上每千克直降3元．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）现计划用290元购买该水果，选甲、乙哪家超市能购买该水果更多一些？20．（8分）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．（1）当PA＝45cm时，求PC的长；（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）21．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．（1）求证：FD∥AB；（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．22．（12分）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作判断】操作一；如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF．（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF＝°；②线段EF，BE，DF之间的数量关系为．【深入探究】操作二：如图2、将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示．（2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①AP＝BE+DF；②∠BAE＝30°．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．【拓展应用】（3）若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE或AF上时，请直接写出线段BE的长．23．（12分）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），如果满足y1﹣x1＝y2﹣x2，那么称P、Q两点互为“等差点”．（1）请判断在点A（2，﹣1）、B（1，4）、C（﹣2，﹣1）中，有哪些点与点D（﹣1，2）互为“等差点”？（2）已知点E在直线y＝x﹣2上，点F在双曲线（k为常数，且k≠±1）上，且E、F两点互为“等差点”．请求出点F的坐标（用含k的代数式表示）；（3）已知抛物线（a，b为常数且a≠0、b≠0）的顶点为G点，与x轴交于M、N两点，GM⊥GN，P、Q两点分别在抛物线和直线上，如果P、Q两点互为“等差点”，且P、Q两点的横坐标是一元二次方程的两根，求3a﹣b的值．参考答案与试题解析一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一个选项最符合题意要求，请将最符合题意要求的选项涂在答题卡指定位置上。本题共10小题，每小题3分，共30分。）1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、原图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．2．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为（）A．6.4×10﹣5 B．6.4×106 C．6.4×10﹣6 D．6.4×105【解答】解：0.0000064＝6.4×10﹣6．故选：C．3．（3分）质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（）A． B． C． D．【解答】解：∵|﹣3|＞|2|＞|0.75|＞|﹣0.6|，∴﹣0.6的足球最接近标准质量，故选：B．4．（3分）下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、影子的方向不相同，错误；B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误；D、影子的方向不相同，错误；故选：B．5．（3分）下列各式运算正确的是（）A．a5•a2＝a15 B．（a5）5＝a10 C．（ab2）3＝ab6 D．a8÷a7＝a【解答】解：A．a5•a2＝a7，故此选项不合题意；B．（a5）5＝a25，故此选项不合题意；C．（ab2）3＝a3b6，故此选项不合题意；D．a8÷a7＝a，故此选项符合题意．故选：D．6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B的对应点D的坐标为（）A．（2，4） B．（3，4） C．（3，5） D．（4，3）【解答】解：∵以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，点B的坐标为（﹣1，﹣2），∴点B的对应点D的坐标为（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4），故选：A．7．（3分）将分别标有“大”、“美”、“织”、“金”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“织金”的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“织金”的有2种结果，所以两次摸出的球上的汉字能组成“织金”的概率为．故选：B．8．（3分）下列命题为真命题的是（）A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【解答】解：A、若ab＞0，则a、b同号，错误，是假命题；B、两个锐角分别相等的两个直角三角形相似但不一定全等，错误，是假命题；C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，错误，是假命题；故选：C．9．（3分）如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：拿走图中的“乙”一个积木后，此图形主视图的形状会改变，第二列小正方形的个数由原来的两个变成一个．故选：B．10．（3分）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg），已知U0随着R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（）A．在一定范围内，U0越大，R1越小 B．当U0＝3V时，R1的阻值为50Ω C．当踏板上人的质量为90kg时，U0＝2V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg【解答】解：∵图2中U0随R1的增大而减小，∴在一定范围内，U0越大，R1越小．A正确，不符合题意；∵图2中的图象经过点（50，3），∴当U0＝3V时，R1的阻值为50Ω．B正确，不符合题意；∵当m＝90时，R1＝﹣2m+240＝60Ω，U0＝2V时，对应的是90Ω，∴踏板上人的质量为90kg时，U0＝2V，错误．C符合题意．∵R1＝﹣2m+240，∴R1随m的增大而减小．∵R1的最小值为10，∴m的最大值为115．∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg．D正确，不符合题意．故选：C．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）11．（3分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥5．【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，故实数x的取值范围是：x≥5．故答案为：x≥5．12．（3分）分解因式x2y﹣16y的结果为y（x+4）（x﹣4）．【解答】解：x2y﹣16y＝y（x2﹣16）＝y（x+4）（x﹣4）．故答案为：y（x+4）（x﹣4）．13．（3分）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是40°．【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，∵∠ABC＝90°，∴∠4＝∠ABC﹣∠3＝40°，∴∠2＝∠4＝40°．故答案为：40°．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝2：3．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝4：25，∴＝，∵AB＝CD，∴DE：EC＝2：3．故答案为：2：3．15．（3分）如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+（a≠0）经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，过D作DF∥BC交x轴于F点，则DF的最小值为．【解答】解：设点B的坐标为（m，a（m﹣1）2+），点C坐标为（n，0）．∵点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，∴OD＝BD，又∵DF∥BC，∴DF是△OBC的中位线，∴DF＝BC．根据两点间的距离公式可知：BC2＝（m﹣n）2+＝（m﹣n）2+a2（m﹣1）4+2a（m﹣1）2+2，结合抛物线开口向上可知a＞0，∴（m﹣n）2≥0，a2（m﹣1）4≥0，2a（m﹣1）2≥0，∴BC2≥2，∴BC＝．∵DF＝BC，∴DF≥．故答案为：．三、解答题（本题共8小题，共75分）17．（9分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．甲、乙两人射箭成绩统计表第1次第2次第3次第4次第5次甲94746乙757a7小宇的作业：解：，．（1）a＝4，x乙＝6，甲成绩的众数是4，乙成绩的中位数是7．（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线．（3）①请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．【解答】解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6＝30，则a＝30﹣7﹣7﹣5﹣7＝4，＝30÷5＝6，甲成绩的众数是4，乙成绩的中位数是＝7，故答案为：4；6；4；7；（2）如图所示：（3）①S2乙＝×[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]＝1.6．由于，所以乙成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．18．（8分）为加强学生安全教育，某学校组织了“安全教育”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；购买2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且总费用不超过1100元，求至少购买多少副乒乓球拍．【解答】解：（1）设购买1副乒乓球拍需要x元，购买1副羽毛球拍需要y元，由题意得：，解之得：，答：购买1副乒乓球拍需要30元，购买1副羽毛球拍需要50元；（2）设购买a副乒乓球拍，则购买（30﹣a）副羽毛球拍，由题意得：30a+50（30﹣a）≤1100，∴30a+15﹣50a≤1100，∴a≥20，∵a取最小整数，∴a＝20．答：至少要购买20副乒乓球拍．19．（8分）某单位准备购买一种水果，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该水果在两家超市的标价均为13元/千克．甲超市购买该水果的费用y（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；乙超市该水果在标价的基础上每千克直降3元．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）现计划用290元购买该水果，选甲、乙哪家超市能购买该水果更多一些？【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝kx（k≠0），把（5，65）代入解析式得：5k＝65，解得k＝13，∴y1＝13x；当x＞5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝mx+n（m≠0），把（5，65）和（10，110）代入解析式得，解得，∴y1＝9x+20，综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1＝；（2）在甲商店购买：9x+20＝290，解得x＝30，∴在甲商店290元可以购买30千克水果；在乙商店购买：10x＝290，解得x＝29，∴在乙商店290元可以购买29千克，∵30＞29，∴在甲商店购买更多一些．20．（8分）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．（1）当PA＝45cm时，求PC的长；（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）连接OP，∵D为AO的中点，PD⊥AO，∴PD是AO的垂直平分线，∴PA＝PO＝45cm，∵PC⊥BC，∴∠PCO＝90°，∵BC＝12cm，OB＝24cm，∴OC＝OB+BC＝36（cm），∴PC＝＝＝27（cm），∴PC的长为27cm；（2）过点D作DE⊥OC，交CO的延长线于点E，过点D作DF⊥PC，垂足为F，由题意得：DE＝CF，DF＝EC，DF∥EC，∵∠AOC＝120°，∴∠DOE＝180°﹣∠AOC＝60°，∵D为AO的中点，∴OD＝OA＝12（cm），在Rt△DOE中，DE＝DO•sin60°＝12×＝6（cm），OE＝DO•cos60°＝12×＝6（cm），∴DE＝CF＝6cm，DF＝EC＝OE+OB+OC＝42（cm），∵DF∥EC，∴∠FDO＝∠DOE＝60°，∵∠PDO＝90°，∴∠PDF＝∠PDO﹣∠FDO＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝DF•tan30°＝42×＝14（cm），∴PC＝PF+CF＝20≈34.6（cm），∴PC的长约为34.6cm．21．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．（1）求证：FD∥AB；（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．【解答】（1）证明：连接OD．∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵CD平分∠ACB，∴＝，∴OD⊥AB，∴AB∥DF；（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵BC＝，AC＝2，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，∴CH＝＝2，∴BH＝＝1，∴OH＝OB﹣BH＝﹣1＝，∵DF∥AB，∴∠COH＝∠F，∵∠CHO＝∠ODF＝90°，∴△CHO∽△ODF，∴＝，∴＝，∴DF＝．22．（12分）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作判断】操作一；如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF．（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF＝45°；②线段EF，BE，DF之间的数量关系为EF＝BE+DF．【深入探究】操作二：如图2、将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示．（2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①AP＝BE+DF；②∠BAE＝30°．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．【拓展应用】（3）若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE或AF上时，请直接写出线段BE的长．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质可知，∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45．故答案为：45．②由折叠的性质可知，BE＝ME，DF＝MF，∵EF＝ME+MF∴EF＝BE+DF．故答案为：EF＝BE+DF．（2）选择结论①．结论①是正确的，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°．由折叠的性质可知，BE＝ME，DF＝MF，∠AME＝∠B＝∠C＝∠ENF＝90°，∴∠ANF＝∠AMF＝90°，又∵∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE．由（1）得∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形．∴AN＝FN．∴△ANP≌△FNE（ASA）．∴AP＝EF．∵EF＝EM+FM＝BE+DF，∴AP＝BE+DF．或选择结论②．结论②是正确的，理由如下：由折叠的性质可知，∠BAE＝∠MAE，∠CFE＝∠NFE，∠AFD＝∠AFM．易