人教版八年级下册数学 第十七章 勾股定理 导学案（全章）（无答案）

第十七章勾股定理导学案(全章)

§17.1勾股定理(1)

一、学习目标：

1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。了解我国古代在勾股定

理研究方面所取得的成就。

3.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。人

二、教学过程：

㈠、自助探究

1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，

这就是当时采用的会徽.你知道这个图案的名字吗？你知道它

的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？

2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成

的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请同学们也观察一下，看看能发现什

么？'小小一不/

(1)引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；

(2)引导学生把面积的关系转化为边的关系.

结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.

3、等腰直角三角形有上述性质，

其它直角三角形也有这个性质吗？

4、猜想：由此，我们得出直角三角形ABC的三边长度之间存在的关系是:

㈡、自助提升

1、定理证明

(1)赵爽利用弦图证明。

显然4个的面积+中间小正方形的面积=该图案的面积.

即4X,X+()2=c；化简后得到

2

概括：

由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为

a,b,斜边为c,那么一定有

a2+,b72=c2

这个关系我们称为勾股定理。

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

(2)其他证明方法：教材101页做一做。

应用:

例题分析:

(1)己知RSA8C中，ZC=90°,BC=6,AC=8,求4A

(2)己知RtA4BC中，ZA=90°,AB=5,BC=6,求AC.

(3)已知RtAABC中,ZB=90°,a,b,c分别是NA,ZB,

/C的对边，c：a=3：4,6=15,求a,c及斜边高九

㈢、自助检测

1.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是（）

A、斜边长为25B.三角形的周长为25

C.斜边长为5D.三角形面积为20

2、如图，在/ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD_LAB与D。

求：（1）AC的长；（2）/ABC的面积；（3）CD的长。

3.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长

为（）

A.4B.8C.10D.12

4.直角三角形的两直角边的长分别是5和12,则其斜边上的高的长为（）

A.6B.8C.—D.—

1313

5、已知，如图1-1-5,折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD

使点。落在BC边的点尸处，已知A8=8cm,BC=10cm,求CFCE

6、一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，折断处离地面的高度是多

少？

7、13=9+4,BP（713/=（79）?+（）3；若以_和_为直角三角形的两直角边

长，则斜边长为“3。

同理以和—为直角三角形的两直角边长，则斜边长为旧

8、如图1-1-4,所有的四边形都是正方形，所有的三角

形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,

则正方形A,B,C,。的面积之和是多少？

三、小结与反思

这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？

§17.1勾股定理(2)

一、学习目标

通过经历和体验，运用勾股定理解决一些实际问题的过程，进一步掌握勾股定理。

重点：勾股定理的应用。

难点：实际问题向数学问题的转化。

二教学过程

㈠、自助探究

1、一个门框的尺寸如图所示：

DC

(1)若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否从门框内通过？―7

/2m

AImB

(2)若有一块长3米，宽1.5米的薄木板，能否从门框内通过？

(3)若有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？

分析：(3)木板的宽2.2米大于1米，所以横着不能从门框内通过.

木板的宽2.2米大于2米，所以竖着不能从门框内通过.

因为对角线4c的长度最大，所以只能试试斜着能否通过.

所以将实际问题转化为数学问题.

小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出RSA8C,并求出斜边AC的

2、例2、如图，一个3米长的梯子4B,斜靠在一竖直的墙A。上，这时A。的距离为2.5

米.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？

(计算结果保留两位小数)

分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB

3、一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，折断处离地面的高度是多

少？

自助提升

1、已知：△ABC为等边三角形，AO_LBC于D,AD=6.求4c

的长.

2、如果直角三角形的三边分别为3,5,a试求满足条件a的值?

3、以知正三角形ABC的边长为a,求aABC的面积？

自助检测

1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上

的高为（）

A、12cmB、10cmC、8cmD、6cm

2、如图，在/ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD_LAB与D。

求：（1）AC的长；（2）/ABC的面积；（3）CD的长。

3、如图，-圆柱高8cm,底面半径、2cm,一只蚂蚁从点A爬到点

A

B处吃食，要爬行的最短路程（万取3）是（）J

D

A、20cm;B、10cm;C、14cm;D、无法确定.

4、若等腰直角三角形的斜边长为2,则它的直角边的长为,斜边上的高的长为o

5、要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m,至少需要多长的梯

子？（画出示意图）

6、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m°,其对角线长为10m,为建栅

栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

7、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水

面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。谁的深度

和这根芦苇的长度分别是多少？

小结与反思

教后记

§17.1勾股定理（3）

学习目标：1、熟练掌握勾股定理的内容

2、会用勾股定理解决简单的实际问题

3、利用勾股定理，能在数轴上表示无理数的点

重点：会在数轴上表示新（〃为正整数）

难点：综合运用

自助探究

1、勾股定理的内容______________________________________________

2、如图，已知长方形ABCD中,AB=3cm,10cm"D、12cm2

AD=9cm,将此长方形折

叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则

△ABE的面积为（）

AN6cmB、8cmC、

即（jlj）2=（j可2+（）1若以—和—为直角三角形的两直角边

3、13=9+4,

长，则斜边长为旧。同理以和—为直角三角形的两直角边长，则斜边长为J行

自助提升

1、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表

示旧的点吗？

分析：（1）若能画出长为J万的线段，就能在数轴上画出表示月的点.

（2）由勾股定理知，直角边为1的等腰RS,斜边为0.因此在数轴上能表示血的

点.那么长为曲的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？

012345

在数轴上画出表示旧的点？（尺规作图）

012345

2、如图：螺旋状图形是由若干个直角

三角形所组成的，其中①是直角边长为1的

等腰直角三角形。那么0A产,0A尸,0A尸___,0A尸,

0As=,0A（；=,0A；=，…,0AH=,…，0A„=.

思考：怎样在数轴上画出表示册（〃为正整数）的点？

自助检测：

1、在数轴上找出表示店和-厢的点

2、已知：如图，在△4BC中，AO1BC于。，AB=6,AC=4,BC=8,求B。，0c的长.

A

3、已知矩形ABC。沿直线3。折叠，使点C落在同一平面内C'处，8C'与AO交于点E,

AD=6,AB=4,求QE的长.

4、已知：如图，四边形ABC。中，AB=2,CD=\,ZA=60°,ZB=ZD=90°.求四边形ABC。

§17.2勾股定理的逆定理（1）

一、学习目标：

1.掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.并能应用它进行计算和证明。

学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用.

学习难点：勾股定理逆定理的证明.

二教学过程

㈠、自助探究：

1、引入新课见教材U2页，古埃及人问题

2、做一做

画以线段a,b,C,为边的三角形并判断分别以上述“、b、C为边的三角形的形状.

2a=3,b=4c-5⑵。=5,b=12c=13⑶a=7,b=24c=25

3、思考你画的三角形的三边a,b,c有什么的关系?

概括：勾股定理的逆定理

几何语言：

CB

㈡、自助提升：

1、命题证明：如果三角形的三边长。、b、c满足/+从=c2,那么这个三角形是直

角三角形.

己知：在△A8C中，AB=c,BC=a,CA=b,fia2+b2=c2

求证：ZO90°

思路：构造法一一构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，利用对应角相等来证明.

通过证明，我发现勾股定理的逆题是的，它也是一个，我们把它叫做勾

股定理的.

2、例2、判断由线段小b,c组成的△ABC是不是直角三角形.

⑴〃=40,力=41,c=9

(2)。=13,/?=14,c=15

⑶〃：b：c=V13：3：2

22

(4)a=n+1fb=n-1,c=2n(〃>1且〃为整数)

分析：①首先确定最大边;

②验证最大边的平方与最短的两边平方和是否相等

3、勾股数（114页）

能够成为直角三角形三条边长的三个正整婺，称为勾股数.

3,4,56,8,10

㈢、自助检测：

1、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3,4,5；（2）5,12,13；

（3）8,15,17；（4）4,5,6.其中能构成直角三角形的有（）

A.4组B.3组C.2组D.1组

2、三角形的三边长分别为7+/、2浦、/一/（“、b都是正整数），则这个三角形

是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

3、已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为cm时，这三条线段

能组成一个直角三角形。

4、一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中NA

和NQBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右

图所示，这个零件符合要求吗？

4、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长

分别为，此三角形的形状为»

5、己知：如图，四边形ABC。中，AB=3,BC=4,CD=5,AD=50,

NB=90。，求四边形的面积.

小结与反思

目前判定三角形是直角三角形的方法有哪些？

§17.2勾股定理的逆定理（2）

学习目标:

1、进一步掌握勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理的逆定理解决有关问题。

2、在探究活动过程中，经历知识的发生、发展与形成的过程.培养敢于实践、勇于发现、

大胆探索、合作创新的精神，增强学好数学、用好数学的信心和勇气.

学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用.

学习难点：勾股定理逆定理的灵活应用.

自助探究：

1、勾股定理是直角三角形的定理；它的逆定理是直角三角形的定理.

2、请写出三组不同的勾股数：、、.

3、测得一块三角形麦田三边长分别为9m,12m,15m,则这块麦田的面积为

4、借助三角板画出如下方位角所确定的射线：

①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.

①②③

自助提升:

1、例1,某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，

各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12

海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航

行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：“远航”号航行方向已知，只要求出“海天”号与它的航向的夹角就可以知

道“海天”号的航行方向.

Q远航号

海天号R

海岸线

2、例2、已知在△ABC中，。是BC边上的一点，若AB=10,BD=6,AO=8,AC=