2024年四川省凉山州中考数学试卷

第1页（共1页）2024年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项的，请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置。1．（4分）下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，负数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（4分）如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（）A． B． C． D．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2ab+3ab＝5ab B．（ab2）3＝a3b5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a64．（4分）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时（）A．10° B．15° C．30° D．45°5．（4分）点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．56．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（）A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm7．（4分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（）A． B． C． D．8．（4分）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（）A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定9．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．10．（4分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm11．（4分）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（）A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm212．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝．14．（4分）方程＝的解是．15．（4分）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线．16．（4分）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝24，则四边形EFGH的周长是．17．（4分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3），交x轴于点C，则△AOC的面积为．三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）计算：+|2﹣|+2﹣1+cos30°﹣（﹣1）0．19．（5分）求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解．20．（7分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项）请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查的总人数是人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人；（2）补全条形统计图；（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．21．（7分）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2），测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.01m）22．（8分）如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于点A（m，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为．24．（5分）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，过点P作⊙M的切线，切点为Q．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）阅读下面材料，并解决相关问题：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，…，第n行有n个点…，容易发现（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为，前15行的点数之和为，那么，前n行的点数之和为．（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和（填“能”或“不能”）为500．（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC边上一个动点，连接AE，交BD于点N，连接EN、CN．（1）求证：EN＝CN；（2）求2EN+BN的最小值．27．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，∠F＝30°，求GM•GN的值．28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，求P点坐标；（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在

2024年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项的，请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置。1．（4分）下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，负数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：5＞0，是正数；，是负数；﹣8＜0，是负数；0既不是正数，也不是负数；﹣25.8＜0，是负数；+2＞6，是正数；∴负数有，﹣2，共3个．故选：C．2．（4分）如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上面可看，是一行两个相邻的正方形．故选：B．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2ab+3ab＝5ab B．（ab2）3＝a3b5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a6【解答】解：2ab+3ab＝6ab，则A符合题意；（ab2）3＝a5b6，则B不符合题意；a8÷a8＝a6，则C不符合题意；a2•a6＝a5，则D不符合题意；故选：A．4．（4分）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时（）A．10° B．15° C．30° D．45°【解答】解：由题意得，∠ABC＝45°，∵DF∥AB，∴∠FDB＝∠ABC＝45°，∴∠EDB＝∠FDB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，故选：B．5．（4分）点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5【解答】解：∵点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，∴a＝﹣2，b＝3，∴a+b＝1，故选：A．6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（）A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，∴AD＝DB，∵△ACD的周长为50cm，即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm，故选：C．7．（4分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（）A． B． C． D．【解答】解：因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小，所以注水过程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢．故选：C．8．（4分）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（）A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定【解答】解：∵观察甲、乙两团女演员身高的折线统计图，∴S甲2＜S乙2，故选：B．9．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a5﹣4＝0的一个根是x＝4，∴a2﹣4＝7且a+2≠0，解得：a＝3，故选：A．10．（4分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【解答】解：设圆心为O，连接OB，∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，∴BD＝20cm，∵CD＝10cm，OC＝OB，∴OD＝OB﹣10，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB6，∴（OB﹣10）2+202＝OB3，解得OB＝25，即圆形工件的半径为25cm，故选：C．11．（4分）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（）A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm2【解答】解：由题意可知，△A1B1C5与△ABC是位似图形，且位似比为：，∴△A7B1C1的面积是60÷＝375（cm3），故选：D．12．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2【解答】解：∵y＝（x﹣4）2+c，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，∴当x＜7时，y随x的增大而减小，∵（，y5）关于直线x＝1的对称点是（﹣，y3），∵﹣2＜﹣＜0＜8，∴y1＞y3＞y2，故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝﹣6．【解答】解：∵a2﹣b2＝12，∴（a+b）（a﹣b）＝12，∵a﹣b＝﹣7，∴a+b＝﹣6，故答案为：﹣6．14．（4分）方程＝的解是x＝9．【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣5，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解，故答案为：x＝615．（4分）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线100°．【解答】解：∵CD是边AB上的高，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝50°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝60°，∴∠CAB＝90°﹣∠ACD＝40°，∵AE是∠CAB的平分线，∴∠EAB＝∠CAB＝20°，∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝100°，故答案为：100°．16．（4分）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝24，则四边形EFGH的周长是42．【解答】解：∵四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，∴EF、FG、HE分别为△ABC、△ADC，∴EF＝AC＝，GH＝，FG＝×18＝9BD＝9，∴四边形EFGH的周长为：12+8+12+9＝42，故答案为：42．17．（4分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3），交x轴于点C，则△AOC的面积为9．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6），3）两点，∴，解得，∴一次函数解析式为y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，∴C（﹣8，0），∴S△AOC＝＝2．故答案为：9．三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）计算：+|2﹣|+2﹣1+cos30°﹣（﹣1）0．【解答】解：原式＝+2﹣++＝+2﹣++＝2．19．（5分）求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解．【解答】解：﹣3＜4x﹣6≤9，即，解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≤4，所以不等式组的解集是1＜x≤4，所以不等式组﹣5＜4x﹣7≤7的整数解是2，3，7．20．（7分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项）请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查的总人数是50人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有120人；（2）补全条形统计图；（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【解答】解：（1）本次调查的总人数是为：18×36%＝50（人），估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有1500×＝120（人），故答案为：50，120；（2）喜欢篮球的人数为：50×24%＝12（人），喜欢乒乓球的人数为：50﹣18﹣12﹣10﹣4＝2（人），补全条形统计图如下：（3）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为2，∴甲乙两位同学同时被抽中的概率为：＝．21．（7分）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2），测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.01m）【解答】解：由题意，知∠CBG＝30°，∠CGB＝∠CGE＝90°，BE＝67m，在Rt△CBG中，BG＝＝CG，在Rt△CEG中，EG＝＝CG，∵BG﹣EG＝BE，∴CG﹣，解得CG≈58.03（m），∴CF＝CG+GF＝58.03+1.8＝59.83（m），答：塔高CF为59.83m．22．（8分）如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于点A（m，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB【解答】解：（1）∵点A（m，2）在正比例函数图象上，∴2＝，解得x＝4，∴A（8，2），∵A（4，4）在反比例函数图象上，∴k＝8，∴反比例函数解析式为y2＝．（2）把直线y1＝x向上平移3个单位得到解析式为y＝，直线与y轴交点坐标为D（0，3），联立方程组，解得，（舍去），∴B（6，4），∴S△AOB＝S△ADO＝＝7．四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为3．【解答】解：∵y2﹣x＝0，∴y4＝x≥0，∵x2﹣6y2+x﹣3＝6，∴x2﹣3x+x﹣7＝0，即x2﹣8x﹣3＝0，解得：x4＝3，x2＝﹣2（舍去），即x的值为3，故答案为：3．24．（5分）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，过点P作⊙M的切线，切点为Q2．【解答】解：如图，连接MP，∵PQ是⊙M的切线，∴MQ⊥PQ，∴PQ＝＝，当PM最小时，PQ最小，当MP⊥AB时，MP最小，直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣3，0），4），∴OA＝OB＝8，∴∠BAO＝45°，AM＝8，当MP⊥AB时，MP＝AM•sin∠BAO＝8×，∴PQ的最小值为：＝＝2，故答案为：3．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）阅读下面材料，并解决相关问题：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，…，第n行有n个点…，容易发现（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为36，前15行的点数之和为120，那么，前n行的点数之和为．（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和不能（填“能”或“不能”）为500．（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成【解答】解：（1）由题知，三角点阵中前1行的点数之和为：1；三角点阵中前3行的点数之和为：1+2；三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+5；三角点阵中前4行的点数之和为：1+7+3+4；…，所以三角点阵中前n行的点数之和为：3+2+3+…+n＝．当n＝8时，，即三角点阵中前8行的点数之和为36．当n＝15时，，即三角点阵中前15行的点数之和为120．故答案为：36，120，．（2）不能．令得，解得n＝，因为n为正整数，所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500．故答案为：不能．（3）由题知，前n排盆景的总数可表示为n（n+1），令n（n+3）＝420得，解得n1＝﹣21，n2＝20．因为n为正整数，所以n＝20，即一共能摆20排．26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC边上一个动点，连接AE，交BD于点N，连接EN、CN．（1）求证：EN＝CN；（2）求2EN+BN的最小值．【解答】解：（1）连接AN，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴点A，点C关于直线BD轴对称，∴AN＝CN，∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，∴AN＝EN，∴EN＝CN；（2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，过点A作AH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BN＝2NG，∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，∴EN＝AN，∴2EN+BN＝8AN+2NG＝2（AN+NG）≥5AG≥2AH，∴2EN+BN的最小值为5AH，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴AH＝AB•sin60°＝，∴4EN+BN的最小值为2．27．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，∠F＝30°，求GM•GN的值．【解答】.（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DAE＝∠ODA，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接MD，AN，在Rt△