圆锥曲线中的求值、证明、探索性问题讲义-2025届高三数学一轮复习

第页培优课19圆锥曲线中的求值、证明、探索性问题培优点一求值问题典例1[2024·广东模拟]设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，A−2（1）求椭圆的方程.（2）若直线l与椭圆交于P，Q（异于A,B（审题③直线l①求直线BP与②若直线AP与BQ的斜率之和为−12（审题⑤由AP，BP解题观摩[解析]（1）依题意可得a=2当直线l经过点D−2,2时，代入x24+Δ=−122解得b2=1（2）①依题意可得直线l的斜率不为0如图，设l：x=my+由x=my+6则kBPkBQ=32②因为kAPk又因为kAP成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjsℎuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期+kBQ=−与x24+y2=1联立得Q在解析几何的学习中，离不开求“角度、距离、面积、比值”等量，最直接的办法就是把这些量表示出来，这就常常需要将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，用韦达定理将所求问题或题中的关系转化为x1+x2，x1从求直线方程变到求角度[2024·成都模拟]已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0（1）求椭圆C的标准方程；[解析]设Mx0,y0，x因为直线MA1与直线MA2的斜率之积为−34，所以y0x0+a⋅y0x（2）若直线A1M与直线x=a相交于点N，且E是线段A2[解析]设直线A1M的方程为y=由y=kx因为E是线段A2N的中点，A22,又F1,0所以tan∠EFA2由y=12x+2,x24+y2由椭圆的对称性可知，当k<0时，也有故∠EFM培优点二证明问题典例2[2024·邯郸模拟]已知双曲线C：x2a2−y2b（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点（审题②要讨论直线l的斜率是否存在），且P1A解题观摩[解析]（1）根据双曲线的对称性可知，P3−2所以P3,P4同时在双曲线C上，而P2则双曲线还经过点P12,0，则x2所以双曲线C的方程为x（2）ⅰ当直线l的斜率存在时设直线l的方程为y=kx+m，联立y=kx+由1−4且x1+x因为P12,0，所以因为P1即x1−2即1+所以1+化简得3m2+16km+所以m=−103当m=−2k时，直线l的方程为直线l过定点2,0，即点当m=−103k时，直线直线l过定点103（ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设l的方程为x=nn>2因为P1A⊥P1B，所以n24−解得n=2（舍去）或n=103，所以直线l的方程为x=103，直线l过点几何证明问题的解题策略1.圆锥曲线中的证明问题,主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不相等）.2.解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质,直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及数值计算等进行证明.从证明过定点变为证明三点共线[2021·新高考Ⅱ卷]已知椭圆C的方程为x2a2+y（1）求椭圆C的方程.[解析]由题意知,椭圆的半焦距c=2,且e=ca=6（2）设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2x>[解析]由（1）得,曲线方程为x2当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=当直线MN的斜率存在时,设Mx1,证必要性：若M,N,F三点共线,则可设直线MN的方程为y=kx由直线MN与曲线x2+y2=联立y=±x−所以x1+x所以MN=证充分性：设直线MN的方程为y=kx+由直线MN与曲线x2+y所以m2联立y=kx+所以x1+x所以MN==1化简得k2−12=0所以直线MN的方程为y=x−所以直线MN过点F2,0,即M,N故M,N,F三点共线的充要条件是MN=培优点三探索性问题典例3[2024·聊城模拟]已知M为双曲线C：x2a2（1）求证：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值（审题②点（2）已知C的左顶点A和右焦点F，直线AM与直线l:x=12相交于点N（审题③要讨论N是否是AM的中点）.试问是否存在常数解题观摩[解析]（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线x+3y−则a2+2a=3，则设点M的坐标为x0,y0，则双曲线的两条渐近线l1，l2的方程分别为3x−y=0,则d1所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值.（2）存在λ=2.①当x0=2时，所以∠AFN=∠MFN=45②当x0（ⅰ）当M在x轴上方时，由A−1,0,所以直线AM的方程为y=把x=12所以kNF=32由二倍角公式，可得tan2因为直线MF的斜率kMF=y所以tan∠AFM=y因为∠AFM∈0,πⅱ当M在x轴下方时，同理可得∠AFM=2∠AFN圆锥曲线中的探索性问题1.圆锥曲线中的探索性问题一般分为探索条件、探索结论两种.若探索条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在;若探索结论，则应先求出结论的表达式，再对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论.2.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：①探索点是否存在;②探索曲线是否存在;③探索命题是否成立.解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在,否则元素（点、直线、曲线或参数）不存在.反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.3.解决探索性问题的流程：从角度探究变为定值探究[2024·茂名模拟]已知F1，F2分别为双曲线E：x2a2（1）求双曲线E的离心率.[解析]由3PF1=7在△PF1所以F1即F1所以PF12所以在△OF2P(O为坐标原点)中，PF2⊥（2）若双曲线E的实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线E的右支于不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足QA=QB[解析]由（1）可知在双曲线E中有ba所以a=1，b=3,所以双曲线由于F22,0，故设直线联立y=kx因为直线l与双曲线右支交于不同的两点，所