小学奥数 完全平方数 知识点＋例题＋练习 （分类全面）

毅佳壹教育专属辅导讲义

校区：徐州段庄

学生姓名辛灵曦教师姓名张莹莹班主任张莹莹

日期年级5课时3K

教学内容完全平方数

教学目标掌握完全平方数的特征

重点完全平方数

难点完全平方数的特征

教学准备纸、笔

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教学过程

一、完全平方数的性质

（一）完全平方数常用的三条性质

1.完全平方数的末位数字必须是：0,1,4,5,6,9o

2.完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。

3.奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数

完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；

完全平方数除以4的余数只可能为为。或1；

偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。

（二）一些推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余

2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,

09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1,5,9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0,4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

（三）重点公式回顾：平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

（四）几个特殊的完全平方数（了解）

7744（四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同）；

1444（后三位数字相同的数中最小的）。

ir=i2i

111=12321

1111=1234321

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一、“平方族”成员典型特征一：个位是0,1,4,5,6,9。

例：下面是一个算式：1+1x2+1x2x3+1x2x3x4+1x2x3x4x5+1x2x3x4x5x60这个算

式的得数能否是某个数的平方。

巩固、一天，一个小骗子在街上招摇撞骗，声称自己是完全平方数，只见此人长得这个模样:

A=1+1X2+1X2X3+…+1X2X3X…X100,小帅侠偶指奇约一眼就瞅出了这家伙的可疑

之处，你发现了吗？

巩固、8,88,888,8888…中有完全平方数吗？

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二、完全平方数的等价条件：奇数个因数

注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相

乘所得的乘积就是因数的个数

例如：12=2X2X3

12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数：(2+1)X(1+1)=6个

180=2X2X3X3X5

180的质因数2有2个，质因数3有2个,质因数5有1个因数个数：(2+1)X(2+1)

X(1+1)m3X3X2=18个

自然数年为完全平方数。自然数N约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分

解中每个质因数出现的次数都是偶数次

例1、200名同学编号为1至200向南站成一排，第1次全体同学向右转(转后全体同学面朝

西)；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……第

200次编号为200的倍数的同学向右转；这时面向东、面向西的同学共有多少名？

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巩固、礼堂里有100盏灯，依次按1〜100的顺序排号。每盏灯由一根灯绳控制，拉一个亮,

再拉一下灭。100个学生依次进入礼堂，第1名学生把编号为1的倍数的灯都拉一下，第2

名学生把编号为2的倍数的灯都拉一下……第100名学生把编号为100的倍数的灯都拉一下;

最后礼堂里有_______盏灯是亮的？

例2、已知3528•a恰是自然数b的平方数，a的最小值是

巩固、已知勿，〃都是自然数，且4=126〃则〃的最小值为

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四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余。或1

注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1,偶数的平方

能被4整除

例1、形如n,HLmi,inn,…的数中有没有完全平方数？

巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4）,/是不是某个自然

数6的平方？如果是，写出氏如果不是，请说明理由.

例2、y+2?+3?+…+20172+20182除以4的余数是

巩固、/+22+32+…+2017,20192除以3的余数是

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例3、已知：1234567654321X49是一个完全平方数，求它是谁的平方？

巩固、1234567654321x(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)是的平方.

三、完全平方数的等价条件一：偶指性

已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值为一。(12!=12

X11X10X9X8X7X6X5X4X3X2X1)

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五、平方差公式的运用

例1、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？

巩固、能否找到这么一个数，它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数?

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1、1+1X2+1X2X3H---F1X2X3X-X50是不是一个完全平方数

2、A是由2000个“4”组成的多位数，A是不是某个自然数3的平方？如果是，写出8；如

果不是，请说明理由.

3、一个数减去14,加上17都是一个完全平方数，求这个数

4、22+42+62+82+102+122+142+...200?除以4的余数是

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5、12+22+32+42+52+62+72+.......