原创2023学年八年级数学上学期第二周周末提优训练

一、选择题

1.如图，下面是利用尺规作40B的角平

分线定的作法，在用尺规作角平分线

过程中，用到的三角形全等的判定方法J——

是（）

作法：

①以。为圆心，适当长为半径画弧，分别交力，仍于点〃，公

②分别以D,£为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在4OB

内交于一点C；

③画射线0C,射线%就是Z40B的角平分线.

A.ASAB.SASC.SSSD.AAS

2.如图所示在A4BC中，P、0分别是a'、/C上的

点，作PR1/B,PSLAC,垂足分别是乐S,

若/Q=PQ,PR=PS,下面三个结论：（1）4S=

AR;(2)PQ〃/B;(3)△PBRQAPCS,其中正确的是()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(2)(3)

3.已知：如图。为物的中点，

EF1BD于点、0,与AD,优分别交于点

E,立下列结论正确的是（）

①kBOF支DOE；②DE=DF；③BD平分4DF；(4)AE=

CF.

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

4.如图，在中，〃是a1的中点，ED1

BC,ZEAC+ZEAF=180°,EF1AB

于点R若力F=3,AC=10,则的长为

()

A.16B.15C.14D.13

5.在△4BC和AEMN中，已知上4=50。，=60。，/E=

70。，/M=60°,AC=EN,则这两个三角形（）

A.一定全等B.一定不全等C.不一定全等D.以上都不对

6.如图，/EOF内有一定点R过点户的一条

直线分别交射线在于A,射线0于5当满

足下列哪个条件时，A/lOB的面积一定最小

()

A.OA=OBB.8为△/OB的角平分线

C.。〃为△/OB的高D.8为△/OB的中线

7.如图：Rt^ABC^P，AC=BC,ZACB=90°;D为8c边中

点，CFJ.AD交AD于E,交AB于F；BE交AC于G；连如，下

列结论：（DAC=AF.②CD+DF=AD.③4DC=NBDF.

=B立⑤/BED=45°,其中正确的有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

8.如图，在等边△ABC中，AD=BE=CF,D,

E,夕不是中点，连结/反BF,CD,构成一些

三角形.如果三个全等的三角形组成一组，那

么图中全等的三角形的组数是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

9.如图，在等腰直角△力BC中，ZACB=90°,。是斜边力〃的中

点，点〃少分别在直角边〃；BC上,且/DOE=90°,DE交

0C于点P.则下列结论：

⑴力。+BE=AC；

(2)AD2+BE2=DE2；

⑶△ABC的面积等于四边形6W后面积的2倍;

(4)。。=0E.

其中正确的结论有()

A.①④B.②③C.①②③D.①②③④

二、填空题

10.已知：如图，在长方形/&Z?中，AB=4,

AD=6.延长或到点反使CE=2,连接〃瓦

动点尸从点8出发，以每秒2个单位的速度

沿BC—CD—D4向终点/运动，设点〃的运动时间为2秒,

当方的值为秒时，a/BP和△£)(：£＞全等.

11.如图，已知C/1BC,垂足为。，AC=

2cm,BC=6cm,射线BM1BQ,垂足

为B.动点P从C点、出发,以lcm/s的速

度沿射线&运动，点N为射线胤/上的

一个动点，满足PN=4B,且点力随着尸点的运动而运动.当

点、P运动秒时，△BC/与以点RN,4为顶点的三角

形全等.

12.如图是5x5的正方形网格，△/BC的

顶点都在小正方形的顶点上，像4

ABC这样的三角形叫做格点三角形，

画与△力BC只有一条公共边且全等的

格点三角形，在该网格中这样的格点

三角形（不与重合）最多可以画出个.

13.已知如图，在△力BC中，ZBAE=ZCAE,BE1/E于点反

若4BC=34CB,则45,和庞'之间的数量关系是

14.如图，已知中，AB=/C=24厘米，ZABC=ZACB,

BC=16厘米，点〃为4?的中点.如果点尸在线段为7上以4

厘米/秒的速度由4点向。点运动，同时，点0

在线段。上由。点向4点运动.当点0的运动

速度为cm/s时，能够在某一时♦a丫—

亥ij使ABPD与△CQP全等.

15.如图，△ABC中，/ACB=90°,AC=8cm,BC=15cm.点

〃从4点出发沿？I-C-B路径向终点运动，终点为夕点；点0

从夕点出发沿BTCTA路径向终点运动，终点、为A点、.点P

和。分别以2on/s和3on/s的运动速度同时开始运动，两点都

要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过〃和0作

PE1I于E,QF1［于F.设运动时间为t（秒），当t=秒时，

△PEC与全等.

16.如图，在等腰直角三角形力比1中，NC=90。,

AC=BC=4,点〃是4夕的中点，E.分在

射线4C与射线位上运动,且满足/E=CF；

当点£运动到与点。的距离为1时，则△DEF的面积为

17.如图，ZCDE=/E==90°,/C=BC,

AC1BC并且CD=2,BE=5,贝ij△4CD

的面积

是________________________________

三、解答题

18.观察猜想探究：在△4BC中，/ACB=2/B.

(1)如图①，当/C=90。，/〃为的平分线，求证：AB=

AC+CD；

(2)如图②，当4。90°,49为的平分线，线段力反

AC,必有怎样的数量关系？不需要证明，直接写出你的猜想;

(3)如图③，当4?为△8/C的外角平分线时一，线段/乐AC、CD

有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.

19.在△4BC中，AB=AC,=90。，点〃是夕。的中点,

点P是比边上的一个动点，连接AP,直线鳍垂直于直线AP,

交在于点反直线⑦垂直于直线心，交在于点尸.

(1)当点〃在线段初上时(如图。)，求证：CF=BE+EF-,

(2)当点P在线段〃。上时(如图②)，请画出图形，并直接写出

CF、BE、砥之间的关系(不需要证明).

(3)若直线应1交直线4〃于点M(如图③)，其他条件不变，找出

图中与炉相等的线段，并加以证明.

20.把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD

以〃为顶点作/MDN,交边亦、BC于欣N.

(1)若/4CD=30°,/MDN=6。°,当/MDN绕点。旋转

时,4伙的K/V三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

(2)当4CD+/MDN=90°时，AM、MN、m三条线段之间

有何数量关系？证明你的结论；

(3)如图③，在(2)的结论下，若将以N改在。、%的延长线

上，完成图3,其余条件不变，则/欣扬V、AM之间有何数量关

系（直接写出结论，不必证明）

21.【问题】

在//BC中，ZACB=90。，点£在直线山上（B,C除外），分

别经过点£和点8作4月和4?的垂线，两条垂线交于点凡研

究力£和用的数量关系.

【探究发现】

某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”

的数学思想，他们发现当点£是区中点时，只需要取4。边的

中点G（如图1）,通过推理证明就可以得到4?和"的数量关系，

请你按照这种思路直接写出力总和用的数量关系；

【数学思考】

那么点£在直线夕。上（B,C除外）（其他条件不变），上面得到的

结论是否仍然成立呢？请你从“点月在线段回上”“点£在

线段比1的延长线上”“点片在线段区的反向延长线上”三种

情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论.

图2

答案和解析

1.C

解：如图，连接£C、DC.

根据作图的过程知，

在^EOC与工DOC中，

0E=0D

OC=0C,

CE=CD

△EOC咨工DOC(SSS).

2.A

在△/PR和△/PS中，

•••NARP=ZASP=90°,

.•.在Rt△APR^Rt△APS中,

..(AP=AP

'\PR=PS'

••.△APR0AAPS(HL),

■.AS=AR,故①是正确的,

NBAP=ZSAP,

:.ZSAB=/BAP+ZSAP=2ZSAP,

在a/QP中，

AQ=PQ,

:.ZQAP=ZAPQ,

.••/CQP=/QAP+NAPQ=2/QAP=2ZSAP.

PQ//AB,故②是正确的，

RtJ^BRP^RtLCSP^,

只有PR=PS,

不满足三角形全等的条件，

故③是错误的.

3.C

证明：vED//BF,

NDEO=/BFO,

•・•。为初的中点，

•*.DO=BO,

在4£7)。和4FB。中，

'/DEO=ZBFO

'NEOD=NFOB，

WD=0B

：.^DEO^^FBO(AAS),故选项①正确;

:.DE=BF,

vEF1BD,且。为初中点，即以垂直平分切,

:.BF=DF,

:.DE=DF,选项②正确；

•••DE=DF,且。。1EF,

•••DB平分/4DF,选项③正确；

4后不一定等于CF,选项④错误，

则结论正确的有⑦②③.

4.A

解：如图，过点£作£^1a4,连接用，EC,

•••ZEAC+ZEAF=180°,ZEAC+ZEAG=180

:.ZEAG=ZEAF,

vEF1.AB,

ZEFA=ZEGA=90°,

vEA=EA,

EGA=△EFA,

:.EF=EG,AG=AF=3

•••AC=10,

:.CG=13,

•••D是笈的中点，ED1BC,

:.EB=EC,

Rt△EBF=R，t△ECG9

:.BF=CG=13,

:.AB=BF+AF=16,

5.A

解：

•••4=50°,/B=60°,

：.NC=70°,

在△ABC和中，

'NB=ZM

'NC=NE，

<AC=EN

△力BC也△NME(7L4S),

6.D

解：当点〃是48的中点时SMOB最小；

如图，过点P的另一条直线CD交OE、OF千点、a

D,设PD<PC,过点A作4G〃。尸交CD千G,

在△业；和4BPD中，

2G/P=NPBD

•AP=BP,

、4PG=/BPD

:.△APG9kBPD(ASA),

S四边形AODG=S^AOB•

S四边形AODG<S&COD,

,,,S&AOB<S&COD，

.•・当点P是月方的中点时SMOB最小;

7.D

解：•••CF1/D,不一定是NC/B的平分线,

.■.AC^AF,故。昔误；

如图，延长成到〃，使HF=DF,连接

•••ZBFD=ZCFA,

:.NBFC=ZAFD，

•••NBFC=NAFH,

:.ZAFD=ZAFH,

在△ADF与中，

DF=HFZDFA=ZHFAAF=AF,

•••△ADF^LAHF,

•••AH=AD,ZADF=NH,

•••ZACB=90",CE1AD,

:.ZACE=ZADC,

:./BDF=1800-ZADC-ZADF,NCAH=180°-

ZACF-NH,

：.NBDF=NCAH,

:.^ACH=/CAH,

AAH=CH,

vCH=CF+FH=CF+DF,

：.CF+DF=AD,故②正确；

如图，作交6F的延长线于点〃,

c

D

A-----------TT?B

V

H

VCF1AD,/ACB=90°,

:.NBCH+ZACE=90°,ZACE+ZCAD=90°,

:./BCH=NCAD,

在△4。。与^CHB中，

rZACD=/CHB=90°

'ZCAD=NBCH，

'<AC=BC

:.△ACDQ&CHB(AAS),

ACD=BH,NCDA=NCHB,

vCD=BD,

：.BH=BD,

vZCBA=/HBF=45°,

在^BFH与A8FD中，

(BD=BH

/DBF=NHBF,

BF=BF

•••△BFH^LBFD,

：./FHB=NFDB,NBFD=/BFH,

•••NBFH=ZCFA,

：.NBFD=ZAFC,/ADC=NBDF,故③正确;

同理BCWBE,/BEDw45°④侬昔误.

.••正确只有②③正确.

8.C

解：•・・△力BC是等边三角形，

：,AB=BC=AC,NABE=ZCAD=NBCF=60°

在△/BE与ABC/中，

(AB=BC

/ABE=/BCF,

BE=CF

同理可证：△/BE会△CAD；

即ABE^LBCF^LCAD；

同理可证：△/£＞，/段ZkBEB'之△CFC';

△ABB'BCC'CAAz;

△AB'/名△CA'EABCzD；

&ABF义卜CAE^LBCD.

9.D

10.1或7

设点刀的运动时间为方秒，则BP=2t,

当点〃在线段勿上时，

•••四边形ABC。为长方形,

:，AB=CD,/B=ZDCE=90°,

止匕时有△ABP也

BP=CE,即2t=2,解得t=l；

当点〃在线段上时，

・・,AB-4,AD=6,

・•・BC=6,CD=4,

・・.+CD+DA=6+4+6=16,

・•・AP-16—23

此时有△•格△CDE,

AP=CE=2,即16—2t=2,解得［=7；

综上，当七为1秒或7秒时，AABP和全等.

11.0或4或8或12

解：①当尸在线段比上，AC=BP时，AACB注APBN,

,:AC=2cm,

:，BP=2cm,

•\CP=6-2=4cm,

.••点夕的运动时间为4+1=4（秒）；

鸥〃在线段夕。上，/C=BN时，△4CB0△NBP,

这时BC=PN=6cm,CP=0cm,因此时间为0秒;

着当户在制上，4C=BP时一，AACB沁PBN,

vAC=2cm,

:.BP=2cm,

;CP=2+6=8cm,

点夕的运动时间为8+1=8（秒）；

色尸在制上，4C=NB时XACB支NBP,

vBC=6cm,

BP=6cm,

二CP=6+6=12cm,

点夕的运动时间为12+1=12（秒），

12.6

解：分三种情况找点,

①公共边是4。，符合条件的是△AC%;

②^共边是优；符合条件的是△48C,LA2BC,△&BC；

③公共边是48符合条件的是△ABC"ABC5.

13.AC=AB+2BE

解：延长交笈于点〃延长龙交4月于点E

•••/BAE=ZCAE,

:./I=Z2,

vBE1AE,

:.ZAEB=ZAEF=90°,

在a/EB和中

21=Z2

'AE=AE,

、/AEB=ZAEF

AEB=△AEF,

AAB=AF,-3=4,BE=EF,

:.BF=2BE,

•••2=^5+/C,

与=%+/C,

:.ZABC=与+4

:.ZABC=^5+NC+^5=2^5+/C=3/C,

•••^5=NC，

••.CF=BF=2BE,

•••AC-AF=FC,

：.AC-AB=2BE.

:.AC=AB+2BE.

14.4或6

解：设经过x秒后，使△8PD与△CQP全等，

•••A8=/C=24厘米，点〃为4?的中点，

:.BD=12厘米，

•••ZABC=NACB,

要使△BPD与人CQP全等，必须BD=CP或BP=CP,

即12=16—4%或4%=16—4%,

解得：x=1或％=2,

%=1时，BP=CQ=4,4+1=4；

%=2时，BD=CQ=12,12+2=6；

即点0的运动速度是4或6.

15.7或8或高

解：分为三种情况：物口图1,尸在〃'上，。在a1上,

•••PE1I,QF1I,

:./PEC=NQFC=90°,

•••ZACB=90°,

:.NEPC+/PCE=90°,/PCE+NQCF=90°,

A/EPC=NQCF,

则^PCE当工CQF,

：.PC=CQ,

即8-2t=15-3t,

则t=7；

v2t<8,

•••t<4,

P在〃1上，0在a1上（不存在）；

图2

•.•由协1：PC=CQ,

**•2t—8—31—15,

••・t=7；（符合题意）

第P、0都在比上时，如图3,

CP=2t-8=15—33

则”小

@当0到4点停止，

月在a'上时，AC=PC,21—8=8时,

解得t=8；

产和。都在/C上的情况不存在；

解：所在线段4。上，

•••在CDF中，

AD=CD,4=/DCF,AE=CF

.-.△XDF^ACDF,(S/S),

.•.同理^CDE2BDF,

四边形四平面积是△ABC面积的一半,

•••CE=1,.•.”=4-1=3,

△CEF的面积=2.CF=也

△DEF的面积=|x2V2x2V2一I=1.

②E，在延长线上，

vAEz=CF',AC=BC=4,NACB=90°,

:.CEf=BF',ZACD=NCBD=450,CD=AD=BD=242,

:./DCE'=/DBF'=135°,

•••在△CDE'和^BDF'中，CD=BD,/DCE'=/DBF',CE'

=BF',

CDEz之△BDF，,(S/S)

z

ADE=DF',/CDE'=NBDF，，

•••NCDE'+NBDE'=90°,

:./BDE'+/BDF'=90°,ZE7DFf=90°,

vDEz2=CE72+CD2-2CD-CE7cosl35°=1+8+2x

2V2x—=13,

2

■Sz—1DE72=—

,,dAEzDF~2~2,

17.3

解：如图所示，作/91DC,交〃C延长线于E作CG1BE,交

BE于G,

•••/CDE=/==90°

NCGE=90°,

CDEG是矩形，

:.EG=CD=2,DC11BE,

:.BG=5—2=3,

•••DC〃8E（已证），

:.NCBG=/FCB,

•••AC1BC,

ZFCB+ZACF=90°,

•••/CBG+/BCG=90°,

AZACF=/BCG,

•••ZCGB=NAFC=90

AC=BC,

AFC义kBGC,

AF=BG=3,

11

S^ADC=-DC-AF=IX2X3=3.

18.解：(1)过〃作交AB于点、E,如图/

①'

•••AD为的平分线，DC1AC,DE1AB,BDC

图①

:"DE=DC,

在Rt△ACD和Rt△/£■£)中，

3D=AD

Rt△ACD^Rt△AED(HL),

AC=AE,ZACB=ZAED,

•••NACB=2NB,

/AED=2/B,

又•••ZAED=/B+/EDB,

:.NB=/EDB,

:*BE=DE=DC,

则/B=BE+AE=CD+AC；

(2)/B=CD+AC,理由：

在上截取/G=/C,如图②，

为/B4C的平分线，

:./GAD=ZCAD,

(AG=AC

在△/DG和△ADC中，44D,

AD=AD

：.LADG^LADC(SAS'),

ACD=CG,ZAGD=ZACB,

VZACB=2NB,

：.ZAGD=2NB,

又•••ZAGD=4+/GDB,

:.NB=NGDB,

:.BE=DG=DC,

则/B=BG+AG=CD+AC；

(3)/B=CD-AC,理由：

在47上截取/G=4C,如图③，

•・・/。为4力。的平分线，

:，/GAD=ZCAD,

图③

(AG=AC

在△/DG和△/CD中，ZGAD=ZCAD,

AD=AD

：.LADG^LACD[SAS'),

•••CD=GD,ZAGD=ZACD,即/4C8NFGD，

•••NACB=2NB,

:.ZFGD=2NB,

又•••/FGD=^B+/GDB,

:./B=/GDB,

:.BG=DG=DC,

则=BG-AG=CD-AC.

19.(1)证明：•••BE1/P,CFLAP,

AZAEB=ZCFA=90°,

•••ZBAC=90°,

:.ZBAE=ZCAF,

在△B/E和△C/F中，

'/BAE=ZCAF

'ZAEB=ZCFA'

<AB=AC

BAE=^,CAF,

:.CF=AE,AF=BE,

ACF=BE+EF-,

(2)当点尸在线段加7上时，图形如图②所示:

CF=BE-EF,

证明：由(1)得，

:.CF=AE,AF=BE,

:.CF=BE-EF；

(3)CP=AM.

理由如下：•.•48=/C,点〃是用的中点，

BD=DC,AD±BC,

•••CF1AP,AD1BC,

:.ZPAD=NPCF,

在4石/时和^FCP中，

fZEAM=ZFCP

-AE=CF,

^AEM=ZCFP

：.^EAM^^FCP,

ACP=AM.

证明：延长力到E,使BE=AM,

vZA=NCBD=90°,

4=NEBD=90°,

在^ZZ4M和^DBE中

iAM=BE

ZA=NDBE,

AD=BD

四△QBE,

:./BDE=ZMDA,DM=DE,

V/MDN=ZADC=60°,

:./ADM=/NDC,

•••/BDE=/NDC,

/MDN=NNDE,

在^"。'和4£DN中

(DM=DE

/MDN=/NDE,

DN=DN

MDN"AEDN,

:.MN=NE,

vNE=BE+BN=AM+BN,

：.AM+BN=MN.

(2)4M+BN=MN,

证明：延长或到