中考数学试卷附答案解析

中考数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

项是符合题目要求的

1.（3分）（2019•荆门）-加的倒数的平方是

A.2B-fC.-2

2.（3分）（2019•荆门）已知一天有86400秒,一年按365天计算共有31536000秒，用科

学记数法表示31536000正确的是（）

A.3.1536X106B.3.1536X107

C.31.536X106D.0.31536X108

3x-2尸1，则/一2y2的值为（

3.（3分）（2019•荆门）已知实数x,y满足方程组,

x+y=2.

A.-1B.1C.3D.-3

4.（3分）（2019•荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相

垂直，则N1的度数是

）

A.95°B.100°C.105°D.110°

5.（3分）（2019•荆门）抛物线y=-/+以-4与坐标轴的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

’2x-l_3x+l45

6.（3分）（2019•荆门）不等式组《二二'下'的解集为（）

X.3（x-l）+l>5x-2（l-x）.

A.-X<%<0B.--<x^0C.D.-UxWO

2222

7.（3分）（2019•荆门）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a,b.那

么方程/+6+6=0有解的概率是（）

8.（3分）（2019•荆门）欣欣服装店某天用相同的价格。（«>0）卖出了两件服装，其中一

件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）

A.盈利B.亏损

C.不盈不亏D.与售价。有关

9.（3分）（2019•荆门）如果函数〉=匕+6（k,b是常数）的图象不经过第二象限，那么左,

b应满足的条件是（）

A.左20且bWOB.左>0且bWOC.%20且6<0D.左>0且b<0

10.（3分）（2019•荆门）如图，Rt^OCB的斜边在y轴上，OC=JG，含30°角的顶点与

原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt^OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC'

B\则8点的对应点次的坐标是

()

A.(J5，-1)B.(1,-J5)C.(2,0)D.(V5，0)

11.（3分）（2019•荆门）下列运算不正确的是（）

A.xy+x-y-1=(x-1)(y+1)

B.x2+y2+z2+x.y+yz+zx=(x+y+z)2

C.(x+y)(x2-xy+y2)=x3+y3

D.(x-y)3=x3-3/y+3孙之-J

12.(3分)(2019•荆门)如图，/XABC内心为/,连接A/并延长交AABC的外接圆于O,

则线段DI与DB的关系是()

D

A.DI=DBB.DI>DBC.DKDBD.不确定

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13.（3分）（2019•荆门）计算一t=+|sin30°-马+。匚红=

2+V3V8

14.（3分）（2019•荆门）已知xi,尤2是关于x的方程/+（3A+1）尤+2^+1=0的两个不相

等实数根，且满足（xi-1）（X2-1）=8次则/的值为.

15.（3分）（2019•荆门）如图，在平面直角坐标系中，函数y=k（%>0,x>0）的图象与

x

等边三角形OAB的边OA,分别交于点N,且0M=2MA,若AB=3,那么点N

的横坐标为

16.（3分）（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2,以A为圆心，1为半径作圆

分别交AB，AC边于。，E,再以点C为圆心，C。长为半径作圆交BC边于尸，连接E,

F,那么图中阴影部分的面积为.

17.（3分）（2019•荆门）抛物线y=a/+6x+c（a,b,c为常数）的顶点为P,且抛物线经

过点A（-l,0）,B（m,0）,C（-2,w<0）,下列结论：

@abc>Q,

②3a+c<0,

③a（m-1）+2b>0,

@a=-1时，存在点P使为直角三角形.

其中正确结论的序号为.

三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2—

18.（8分）（2019•荆门）先化简，再求值：（亘也）2.巨型一.鸦产包,其中

a-b3a+3b2b

b=M.

19.（9分）（2019•荆门）如图，已知平行四边形ABC。中，A2=5,BC=3,4。=2仍百.

（1）求平行四边形ABC。的面积；

（2）求证：BDLBC.

20.（10分）（2019•荆门）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识、拓展

视野、充实生活等诸多益处.为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅

读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册

书数的数据.

（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；

（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数;

（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6

册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？

21.（10分）（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为。，半径为R.

（1）求证：_^_=2R；

sinB

（2）若△ABC中NA=45°,NB=60°,ACj后,求BC的长及sinC的值.

22.（10分）（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度。E,小明同学先在操场上A处放

一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后

退到。处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（。，A,B,C,。在同一条直线上），测

得AC^2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF,DG为16，z,试确定楼的高度

OE.

23.（10分）（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空

地种植优质草莓.根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格机（元/公斤）与

’3x+15(l<x<15),

第尤天之间满足（尤为正整数），销售量"（公斤）与第x

-x+75(15<x<30).

天之间的函数关系如图所示:

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.

（1）求销售量”与第x天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日

销售利润=日销售额-日维护费）

（3）求日销售利润y的最大值及相应的x.

24.（12分）（2019•荆门）已知抛物线y=o?+6x+c顶点（2,-1）,经过点（0,3）,且与

直线>=尤-1交于A,B两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点°,M,N,S^QAB=S^MAB=S^NAB=S,求S的值;

（3）在A,2之间的抛物线弧上是否存在点尸满足NAPB=90°?若存在，求点尸的横

坐标；若不存在，请说明理由.

（坐标平面内两点M（尤1,yi）,N（尤2,丝）之间的距离（x]-乂2）2+（了]-丫2）"

中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

项是符合题目要求的

1.（3分）（2019•荆门）历的倒数的平方是（）

A.2B.1C.-2D.」

22

【考点】算术平方根；实数的性质.

【分析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可.

【解答】解：-血的倒数的平方为：（京"）2卷.

故选：B.

2.（3分）（2019•荆门）已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科

学记数法表示31536000正确的是（）

A.3.1536X106B.3.1536X107

C.31.536X106D.0.31536X108

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，”是正数；当原数的绝对值＜1时，”是负数.

【解答】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536X107.

故选：B.

3.（3分）（2019•荆门）已知实数x,y满足方程组'则/-2/的值为（）

x+y=2.

A.-1B.1C.3D.-3

【考点】97：二元一次方程组的解；98：解二元一次方程组.

【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可.

【解答】解：产-23大①，

lx+y=2②

@+（2）X2,得5%=5,解得x=l,

把尤=1代入②得，l+y=2,解得y=l,

-2/=12-2X12=1-2=-1.

故选：A.

4.（3分）（2019•荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相

垂直，则/I的度数是

A.95°B.100°C.105°D.110°

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角.

【分析】根据题意求出N2、Z4,根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可.

【解答】解：由题意得，N2=45°,N4=90°-30°=60°,

；./3=/2=45°,

由三角形的外角性质可知，/1=/3+/4=105°,

故选：C.

5.（3分）（2019•荆门）抛物线y=-/+4x-4与坐标轴的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点.

【分析诜计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程-f+4x

-4=0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断.

【解答】解：当x=0时，y=-$+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为（0,-4）,

当y=0时，-pMxT』，解得XI=%2=2,抛物线与工轴的交点坐标为（2,0）,

所以抛物线与坐标轴有2个交点.

故选：C.

’2xT_3x+la__5

6.（3分）（2019•荆门）不等式组的解集为（）

X.3（x-l）+l>5x-2（l-x）.

A.-L<x<0B.C.D.」《W0

2222

【考点】CB：解一元一次不等式组.

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.

’2x-l_3x+l4二①

【解答】解：<32飞127，

3（x-l）+l>5x-2（l-x）②

解①得：X2-1,

2

解②得x<0,

则不等式组的解集为-Lwx<0.

2

故选：C.

7.（3分）（2019•荆门）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a,b.那

么方程/+°犬+6=0有解的概率是（）

A.1B.1C.&D.至

231536

【考点】根的判别式；列表法与树状图法.

【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使4620,即/>你的结

果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：画树状图为:

3

2

123456123456123456

46

123456123456123456

共有36种等可能的结果数，其中使4620,即。2246的有19种,

方程/+以+6=0有解的概率是

36

故选：D.

8.（3分）（2019•荆门）欣欣服装店某天用相同的价格。（«>0）卖出了两件服装，其中一

件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）

A.盈利B.亏损

C.不盈不亏D.与售价•有关

【考点】一元一次方程的应用.

【分析】设第一件衣服的进价为尤元，依题意得：无（1+20%）=a,设第二件衣服的进

价为y元，依题意得：y（l-20%）—a,得出x（1+20%）=y（l-20%）,整理得：3%

=2»则两件衣服总的盈亏就可求出.

【解答】解：设第一件衣服的进价为尤元，

依题意得：x（1+20%）=a,

设第二件衣服的进价为y元，

依题意得：y（1-20%）—a,

：.x（1+20%）=y（1-20%）,

整理得：3x=2y,

该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x-0.2y=0.2x-0.3%=-0.1尤，

即赔了O.lx元，

故选：B.

9.（3分）（2019•荆门）如果函数y=fcc+6（k,b是常数）的图象不经过第二象限，那么女,

6应满足的条件是（）

A.左20且6W0B.左>0且6W0C.左20且b<0D.左>0且b<0

【考点】一次函数图象与系数的关系.

【分析】结合题意，分左=0和Q0两种情况讨论，即可求解；

【解答】-：y^kx+b（k,。是常数）的图象不经过第二象限，

当％=0,b<0时成立；

当k>0,bWO时成立；

综上所述，左NO,bWO；

故选：A.

10.（3分）（2019•荆门）如图，Rt/XOCB的斜边在y轴上，OC=J2含30°角的顶点与

原点重合，直角顶点C在第二象限，将RtZXOCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC'

B',则B点的对应点的坐标是

)

A.（V3--1）B.（1,-后C.（2,0）D.（V3，0）

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1,再利用旋转的性质得

至Uoc'=OC=V3>B'C=BC=1,ZB'CO=ZBCO=90°,然后利用第四象限

点的坐标特征写出点）的坐标.

【解答】解：如图，

在RtZkOCB中，VZBOC=30°,

BC=^-OC=J^-xJ3=l，

33

绕原点顺时针旋转120°后得到△OC'B',

：.OC=OC=V3，B'C=BC=1,NB'CO=ZBCO=90°,

点次的坐标为（M，-1）.

故选：A.

11.（3分）（2019•荆门）下列运算不正确的是（）

A.xy+x-y-\=(x-1)(y+1)

B.j?+y1+z1+xy->ryz->rzx-(x+y+z)2

C.(x+y)(x2-xy+y2)=x3+y3

D.(X-y)3=/_3%2y+3孙2_>3

【考点】多项式乘多项式；完全平方公式；因式分解-分组分解法.

【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可.

【解答】解：xy-^-x-y-l=x(y+1)-(y+1)—(x-1)(y+1),A正确，不符合题意；

xSW+WZ-=|[(x+y)，(x+z)2+(22],2错误’符合题意；

(x+y)(x2-xy+y2)=x3+)；3,C正确，不符合题意；

(x-y)3=/_3%2y+302_/，。正确，不符合题意；

故选：B.

12.(3分)(2019•荆门)如图，△A8C内心为/,连接A/并延长交△ABC的外接圆于。，

则线段DI与DB的关系是()

D

A.DI=DBB.DI>DBC.DKDBD.不确定

【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心.

【分析】连接8/,如图，根据三角形内心的性质得/1=/2,Z5=Z6,再根据圆周角

定理得到/3=/1,然后利用三角形外角性质和角度的代换证明/4=/£>8/,从而可判

断DI=DB.

【解答】解：连接8/,如图，

•/AABC内心为/,

/.Z1=Z2,Z5=Z6,

VZ3=Z1,

，N3=N2,

：N4=N2+/6=N3+/5,

即N4=ND8/,

:.DI=DB.

故选：A.

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13.（3分）（2019•荆门）计算2$§+kin30°-TT°|+:

【考点】实数的运算；零指数塞；特殊角的三角函数值.

【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数累的性质、立方根的性质分别化简得出答

案.

【解答】解：原式=2-J5+l-L-刍

22

=1-V3-

故答案为：1-V3-

14.（3分）（2019•荆门）已知xi,无2是关于x的方程/+（3A+1）龙+2武+1=0的两个不相

等实数根，且满足（XI-1）（X2-1）=8比则5的值为1.

【考点】根与系数的关系.

【分析】根据根与系数的关系结合（XI-1）（X2-1）=8语,可得出关于人的一元二次方

程，解之即可得出左的值，根据方程的系数结合根的判别式△>（）,可得出关于上的一元

二次不等式，解之即可得出上的取值范围，进而即可确定左值，此题得解.

【解答】解：X2是关于尤的方程7+（3RD尤+2必+1=0的两个实数根，

.'.Xl+X2=-（3^+1）,X\X2=21C+].

（XI-1）（X2-1）=8/，即尤1尤2-（X1+A2）+1=8必，

.•.2必+1+3左+1+1=8层

整理，得：2必-左-1=0,

解得：k\=-4->fo=l.

2

••・关于X的方程/+（3什1）x+2M+l=0的两个不相等实数根,

；.△=(3>1)2-4XlX(2记+1)>0,

解得：k<-3-或k>-3+2V3.

k=1.

故答案为：1.

15.（3分）（2019•荆门）如图，在平面直角坐标系中，函数y=Kx>0）的图象与

X

等边三角形048的边。4,A8分别交于点N,且OM=2M4,若A5=3,那么点N

的横坐标为叱返.

—2―

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质.

【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出0M,通过做垂线，利用解直角三

角形，求出点/的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横

坐标都不知道，因此可以用直线A8的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x

的值，再进行取舍即可.

【解答】解：过点A、M分别作AC，。'MD±0B,垂足为C、D,

是等边三角形，

.,.AB=0A=0B=3,60°

:又0M=2MA,

；.0M=2,MA=1,

在RtZXMOQ中，

OD=^.OM=l,MD=、22T2;a,

：.M（1,«）；

反比例函数的关系式为：y=e

X

在RtZXMOO中，

"=W'仁疗号2等

•A（33点

22_

设直线A8的关系式为尸质+6,把A（1,竽■）,B（3,0）代入得：

3k+b=0__

<3次巧解得：2-返，b=3>j3,

jk+b=-

.,.尸-Vs^+^Vs；

fy=W3x+3V3r-

由题意得：畲解得：x='一四,

v=^-2

Vx>T

16.（3分）（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2,以A为圆心，1为半径作圆

分别交AB,AC边于。，E,再以点C为圆心，。长为半径作圆交3c边于凡连接E,

F,那么图中阴影部分的面积为生+1•-?.

一12一2一4一

【考点】等边三角形的性质；扇形面积的计算.

【分析】过A作于EN1BC于N,根据等边三角形的性质得到4〃=返2。

2

=丑乂2=册,求得硒=乳〃=匹，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到

222

结论.

【解答】解：过A作AM_LBC于M,ENLBC于N,

:等边三角形ABC的边长为2,ZBAC=ZB=ZACB=60°,

:.AM=®BC=^■乂2=如,

22

\"AD=AE^1,

：.AD=BD.AE=CE,

：.EN=

・••图中阴影部分的面积=Sz\A3C-S扇形AOE-SaCE/-(SABC。-S扇形oc尸)=—X2xVs-

2

60•兀f05义返一(LX1X2XV3-30^2<.3)=生+退.3,

36022223601224

故答案为：工+返-3.

1224

17.（3分）（2019•荆门）抛物线y=a/+6x+c（a,b,c为常数）的顶点为尸，且抛物线经

过点A(-l,0),B(m,0),C(-2,n)(l<m<3,n<0),下列结论:

@abc>0,

②34+cV0,

③〃（m-1）+2。>0,

④。=7时，存在点尸使△B43为直角三角形.

其中正确结论的序号为②③.

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】由已知可以确定〃<0,b>0,c=b-a>0；

①〃Z?cV0；

②当％=3时，j<0,BP9a+3b+c=9a+3(a+c)+C=12Q+4C=4(3〃+C)<0；

③a(m-1)+2/?=-b+2b=b>0；

22

④a=-1时，尸(26+1+卜_),则△B48为等腰直角三角形，6+1+旦-=互+1,求出左

2442

=-2不合题意；

【解答】解：将A(-1,0),B(m,0),C(-2,〃)代入解析式y=o?+bx+c,

・•・对称轴兀=生工二

22a

--=m-1,

a

Vl<m<3,

ab<3

VM<0,

A/?>0,

Vtz-b+c=0,

•.C=8-Q>0

@abc<0；错误；

②当x=3时，yVO,

/.96z+3Z?+c=9(7+3(Q+C)+c=12〃+4c=4(3〃+c)<0,②正确；

@a(m-1)+2b=-b+2b=b>0,③正确；

@a=-1时，y=-f+fcc+c,

:.p也，b+l+li),

24

若△以B为直角三角形，则△%B为等腰直角三角形，

的直线解析式的左=1,

：.b+\+^-=^-+\,

42

:.b=-2,

'：b>0,

不存在点P使为直角三角形.

④错误；

故答案为②③；

三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（8分）（2019•荆门）先化简，再求值：（空也）2.巨型一义二七四，其中

a-b3a+3b2b

b=®.

【考点】分式的化简求值.

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把。、b的值代入进行计算即可.

【解答】解：原式=23+]4ab

3(a-b)3(a+b)(a-b)

一2(a+b)2-4ab

3(a+b)(a-b)

_2(a2+b2)

3(a+b)(a-b)

当a=«,6=加时，

百光—2(3+2)________10

3(V3+V2)(V3W2)"V

19.(9分)(2019•荆门)如图，已知平行四边形ABC。中，AB=5,8C=3,AC=2V13.

(1)求平行四边形ABC。的面积；

【考点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质.

【分析】(1)作CELAB交AB的延长线于点E,设BE=x,由勾股定理列出关于x的方

程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；

(2)利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE=^~,BF=5-2=弛，DF=CE=^,

5555

从而求出BD的长，在ABCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直.

【解答】解：(1)作CELAB交AB的延长线于点E,如图：

在RtACEB中：d+/72=9①

在RtZkCEA中：(5+无)2+/I2=52@

联立①②解得：尸与，仁丝

55

・•・平行四边形ABCD的面积=A3・/z=12；

(2)作。尸J_A5,垂足为尸

：.ZDFA=ZCEB=90°

•・•平行四边形ABCD

：.AD=BC,AD//BC

：.ZDAF=ZCBE

又,：NDFA=NCEB=90°,AD=BC

：.AADF^^BCE(AAS)

.•.AF=BE=2,BP=5-2=迈，DF=CE=—

5555

在中：BD2=DF?+BF2=(—)2+(—)2=16

55

：.BD=4

：BC=3,OC=5

/.CD1=DB1+BC2

：.BD±BC.

20.(10分)(2019•荆门)高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识、拓展

视野、充实生活等诸多益处.为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅

读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册

书数的数据.

(1)求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；

(2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数;

(3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6

册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？

【考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数；

众数.

【分析】(1)设阅读5册书的人数为无，由统计中的信息列式计算即可；

(2)该校1200名学生数X课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到

结论；

(3)设补查了y人，根据题意列不等式即可得到结论.

【解答】解：(1)设阅读5册书的人数为x,由统计图可知：一是一=30%,

8+x+12+6

条形图中丢失的数据是14,阅读书册数的众数是5,中位数是5；

(2)该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200X——其——=420(人),

8+14+12+6

答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；

(3)设补查了y人，

根据题意得，12+6+y<8+14,

：.y<4,

,最多补查了3人.

21.(10分)(2019•荆门)己知锐角△ABC的外接圆圆心为O,半径为R.

(1)求证:盖=2以

(2)若△ABC中NA=45°,/B=60°,求BC的长及sinC的值.

【考点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形.

【分析】(1)如图1，连接A。并延长交O。于连接C。，于是得到NCD=90°,Z

A2C=/ADC,根据三角函数的定义即可得到结论；

(2)由_^_=2R,同理可得：卫_.BC.=2R,于是得到2R=—叵==2,

sinBsinBsinCsinAsin60

即可得到8c=2R・sinA=2sin45°=近,如图2,过C作CELAB于E,解直角三角形

即可得到结论.

【解答】解：(1)如图1,连接A。并延长交。。于。，连接C。,

则NCQ=90°,ZABC=AADC,

Vsin/ABC=sin/ADC=^^~,

AD2R

:.典—=2R；

sinB

(2)；_^_=2R,

sinB

同理可得：F~~”.=-呼_=2凡

sinBsinCsinA

：.2R=-叵「=2,

sin60

：.BC=2R'sinA=2sm45°=&,

如图2,过C作CELAB于E,

.,.BE—BCtcosB—,^2cos6Q°AE=AC，cos45°

:.AB=AE+BE=^+M,

2

\'AB=AR'sinC,

.smC=AB=V6+V2,

2R4

22.（10分）（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度。E,小明同学先在操场上A处放

一面镜子，向后退到8处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后

退到。处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O,A,B,C,。在同一条直线上），测

得AC=2m,BD=2Am,如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6%，试确定楼的高度

OE.

E

DCBAO

【考点】相似三角形的应用.

【分析】设E关于。的对称点为M,由光的反射定律知，延长GC、项相交于点连

接GF并延长交0E于点“，根据GF//AC得到利用相似三角形的对

应边的比相等列式计算即可.

【解答】

解：设E关于。的对称点为由光的反射定律知，延长GC、相交于点M,

连接GF并延长交0E于点H,

'：GF//AC,

：./\MAC^/\MFG,

-AC_MA_M0

'*FG=MF=MH?

即.AC_OE_OE_OE

：而二MH=MO+OH=OE+BF'

■OE2

"OE+1.6=2.1'

，。£=32,

答：楼的高度OE为32米.

E

D―O

23.（10分）（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空

地种植优质草莓.根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格根（元/公斤）与

‘3x+15(l<x<15),

第尤天之间满足（X为正整数），销售量W（公斤）与第X

-x+75(15<x<30).

天之间的函数关系如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.

（1）求销售量〃与第尤天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日

销售利润=日销售额-日维护费）

（3）求日销售利润y的最大值及相应的x.

【考点】二次函数的应用.

【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题.

（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量”与第x天之间的函数关系式，

（2）然后根据销售利润=销售量X（售价-进价），列出每天的销售利润y与第尤天之

间的函数关系式，

（3）再依据函数的增减性求得最大利润.

【解答】解：

（1）当IWXWIO时，设"=依+匕，由图知可知

（12=kx+b,解得（k=2

l30=10k+blb=10

・••几=2%+10

同理得，当10VxW30时，〃=-1.4%+44

'2x+10,(l<x<10)

销售量〃与第X天之间的函数关系式:

-1.4x+44,(10<x<30)

(2)'：y=mn-80

，(2x+10)(3x+15)-80,(l<x<10)

二尸(-1.4x+44)(3x+15)-80,(10<x<15：

(-1.4x+44)(-x+75-80,(15<x<30)

’6X2+60X+70,(1<X<10)

整理得，y=,-4.2x^+lllx+580,(10<x<15)

1.4X2-149X+3220,(15<X<30)

(3)当IWXWIO时，

'."y=6x2+60x+70的对称轴尤=一—=一&"-=-5

2a2X6

此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大

...尤=10时，y取最大值，则yio=127O

当10cxe15时

Vy=-4.2/+111尤+580的对称轴是x=-'=~里一=_11L心13.2V13.5

2a-4.2X28.4

尤在x=13时，y取得最大值，此时y=1313.2

当15WxW30时

：丫=1.4/-149x+3220的对称轴为了=一上=骚2>30

2a2.8

此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小

.*.x=15时，y取最大值，y的最大值是>15=1300

综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元

24.(12分)(2019•荆门)已知抛物线y=a/+6x+c顶点(2,-1),经过点(0,3),且与

直线y=x-l交于A,8两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在抛物线上恰好存在三点。，M,N,满足&QAB=SAMAB=%MIB=S,求S的值;

(3)在A,8之间的抛物线弧上是否存在点尸满足NAPB=90°?若存在，求点尸的横

坐标；若不存在，请说明理由.

(坐标平面内两点M(xi,yi),N(X2,”)之间的距离MN=力-々)2)

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)已知抛物线顶点坐标，故可设其顶点式为y=“(x-2)2-1,再把点C(0,

3)代入即求得a的值，进而得到抛物线解析式.

(2)把抛物线解析式与直线y=x-1