人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：5 7 三角函数的应用

5.7三角函数的应用

【学习目标】1.会用三角函数解决一些简单的实际问题2体会三角函数是描述周期变化现象

的重要函数模型.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点一三角函数的应用

1.三角函数模型的作用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题，在刻画囿

期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用.

2.用函数模型解决实际问题的一般步骤

收集数据一画散点图一选择函数模型一求解函数模型一检验.

知识点二函数y=Asin(cox+0)，A>0,。>0中参数的物理意义

预习小测自我检验

1.函数y=3sin&-号的初相为

『答案』

2.某人的血压满足函数式五。=24sinl60兀t+110,其中八。为血压(单位：mmHg),/为时间(单

位：min),则此人每分钟心跳的次数为.

『答案』80

3.电流/(A)随时间f(s)变化的关系式是/=5sin(l(W+，)，则当f=急时，电流为A.

『答案』I

4.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要s往返一次.

『答案』0.8

『解析』观察图象可知，此简谐运动的周期7=0.8,所以这个简谐运动需要0.8s往返一

题型探究探究重点素养提升

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一、三角函数在物理中的应用

例1已知电流/与时间t的关系为/=Asin(0f+o).

⑴如图所示的是/=Asin(0f+9)(o>O,I9闾在一个周期内的图象，根据图中数据求1=

Asin(co/+O)的『解析』式；

\p

[-300

(2)如果/在任意一段击的时间内，电流/=Asin(o/+p)都能取得最大值和最小值，那么co的

最小正整数值是多少？

解(1)由题图可知A=300,设fi=-go。,々=[80，

则周期T=2(t2f)=2岛+点|=表.

又当片击时，即sin(150兀・击+夕)=0,

血|夕|<5，♦・9=不

故所求的『解析』式为/=300sin(150兀什?).

(2)依题意知，周期TW奇，即藉W焉(。>0),

.♦.oN3007r>942,又。GN*,

故所求最小正整数0=943.

反思感悟处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与

对应的三角函数知识结合解题.

跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位

置的位移5(单位：cm)与时间(单位：s)的函数关系是S=6sin(2兀

(1)画出它的图象;

(2)回答以下问题：

①小球开始摆动(即r=0)时，离开平衡位置是多少？

②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？

③小球来回摆动一次需要多少时间？

解(1)周期T=|^=l(s).

列表：

15211

t01

612312

兀匹兀

-1713兀+£

2兀/+2712兀2

662~26

6sin360~603

描点画图:

(2)①小球开始摆动(即f=0)时，离开平衡位置为3cm.

②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm.

③小球来回摆动一次需要1s(即周期).

二、三角函数在生活中的应用

例2通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin@x+9)+6的图

象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出

现在凌晨2时，最低温度为零下2℃

⑴求出该地区该时段的温度函数y=Asin(ox+0)+6(A>0,fo>0,\(p\<n,xG『0,24))的表达式;

(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃,教室就要开空调，请问届时

学校后勤应该开空调吗？

4=8,

解⑴由题意知［+Q—2,解得

b=6,

T兀

易知］=14-2,所以T=24,所以①=五,

易知8sin信义2+，+6=—2,

即sin佶'X2+9)=

-1,

7171

故无X2+g=—/+2女兀，无£Z,

-Til/H271

又磔<兀，侍9=一可，

所以y=8sinC^x—芝)+6(%£『0,24)).

(-7T271、

(2)当x=9时，y=8sin[j^X9一司+6

Jr7T

=8sin丘+6<8si%+6=10.

所以届时学校后勤应该开空调.

反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤

读懂题目中的“文字”“图象”“符号”

I审清题意修等语言，理解所反映的实际问题的背

景，得出相应的数学问题

整理数据，引入变量，找出变化规律，

运用已掌握的三角函数知识、物理知

建立函数模斗

I识及其他相关知识建立关系式，即建

立三角函数模型

利用所学的三角函数知识解答得到的

I解答函数模亦三角函数模型，求得结果

|得出结论H将所得结论翻译成实际问题的答案|

跟踪训练2已知某地一天从4〜16时的温度变化曲线近似满足函数尸lOsin像一堂+20,

尤G『4,16』.

（1）求该地这一段时间内温度的最大温差；

（2）若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长

时间？

解（1）当x=14时函数取最大值，此时最高温度为30℃,

当x=6时函数取最小值，此时最低温度为10℃,

所以最大温差为30℃-10℃=20℃,

⑵令10sin（$—苧）+20=15,

得sin信/）=一；,

而『4,16』，所以1=行.

令lOsin信-苧）+20=25,

得sin件—中）=3，

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而元金『4,16』，所以兀=亍.

当xe［当,胡时，

所以y在［拿胡上单调递增.

故该细菌能存活的最长时间为学一专=/小时•

随堂演练基础巩固学以致用

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1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、0B为终边的角0（一兀〈6<%）与时间f（s）满

足函数关系式0=/m（2/+野，则当f=0时角。的大小，及单摆的频率是（）

A.1,-B.2,­cA,兀D.2,7i

『答案』A

『解析』当片。时，0=加1埼I，T1，由函数『解析』式易知单摆的周期为号O-jr=兀，故单摆

的频率为］

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2.在两个弹簧上各有一个质量分别为Mi和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间f（s）

离开平衡位置的位移si（cm）和S2（cm）分别由si=5sin（2f+^）,S2=lOcos2f确定，则当/=全

时，S1与S2的大小关系是（）

A.51>52B.S1<S2

C.S1=S2D.不能确定

『答案』c

『解析』当上争时，si=5sin（^+§=5siW=-5,

当/=个时，52—10cos^=10X2）=-5,

故Sl=$2.

3.如图表示电流强度/与时间/的关系（/=Asin（s+9）（A>0,①>0））在一个周期内的图象，则

该函数『解析』式可以是（）

A./=300sin(50兀f+§

B./=300sin(50兀

C./=300sin(100加+£|

D./=300sin(100L

『答案』C

『解析』A=300,T=2(J^+^J)==,。=半=100兀，/=300sin(1007t?+cp).

代入点(一壶，0),得10(kX(—V+p