常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷（1）

一、填空题（30%）

1、方程"（羽丁）公+N。,，）加°有只含%的积分因子的充要条件

是（）。有只含y的积分因子的充要条件是。

2、称为黎卡提方程，它有积分因子。

3、称为伯努利方程，它有积分因子。

4、若Xi⑺审2⑺，，X”⑺为〃阶齐线性方程的〃个解，则它们线

性无关的充要条件是。

5、形如的方程称为欧拉方程。

6、若阿）和收⑺都是％=4小的基解矩阵，则阿）和〃⑺具有的

关系是。

7、当方程的特征根为两个共甄虚根是，则当其实部为时，零解

是稳定的，对应的奇点称为。

二、计算题（60%）

1、必一（％+『）办=。2、x"+x=sint-cos2r

217

A=一141试求方程组%，=心的解，2_1并求

3、若

-4xy—+8y2=0—=x+y2

4、dx5、求方程办经过（0,0）

的第三次近似解

dx.dy_

———x-y+1,——x—y—5

6.求山dt的奇点，并判断奇点的类型及稳

定性.

三、证明题(10%)

1、〃阶齐线性方程一定存在〃个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)

一、填空题30%

1、形如的方程，称为变量分离方程，这里./⑴小。）分别为

的连续函数。

2、形如的方程，称为伯努利方程，这里p（x）ea）为先的连续

函数w0」是常数。引入变量变换-------，可化为线性方程,

3、如果存在常数八0,使得不对于所有

（%,为）,（苍%）6火都成魏，为利普希函数称为在R

上关于》满足利普希兹条件。

4、形如的方程，称为欧拉方程，这里qg，是常数。

5、设。⑺是/=A无的基解矩阵，。⑺是+/⑺的某一解，

则它的任一解/⑺可表为。

一、计算题40%

1+士工口手=6工_移2的通解。卡工口勺+上="'iVi、宙冷刀

1.求方程公X2.求程公%的通斛。

3.求方程x"+6x'+5x=e?，的隐式解。

4.求方程

包=%+、2通。、0）过

dx

二、证明题30%

「21「°1「

rt22匹

1.试验证①（/）」21」是方程组（一”X

7jL2,在任何不包含原点

的区间aWY。上的基解矩阵。

2.设①Q）为方程’（A为x常数矩阵）的标准基解矩阵（即①（0））,

证明：①⑺①T（t。）=①（t。）其中t。为某一值.

常微分方程期终试卷(3)

一,解下列方程(10%*8=80%)

dy2.(y+—)2

2.dx=Qxy23.>=2x+y-1

4.1♦+76.{(一+产)}0

8.已知f(x)Io/⑺”=lwO,试求函数f(x)的一般表达式。

二.证明题(10%*2=20%)

9.试证：在微分方程。中，如果M、N试同齐次函数，且*0,则

1

(即必)是该方程的一个积分因子。

常微分方程期终试卷（4）

一、填空题

1、（）称为变量分离方程，它有积分因子

（）。

2、当（）时，方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=O称为

恰当方程，或称全微分方程。

3、函数称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如

果（）。

4、对毕卡逼近序列，茄⑴一味（刈«（）。

5、解线性方程的常用方法有

（）。

6、若*«）«=1，2,...,〃）为齐线性方程的"个线性无关解，则这一齐

线性方程的所有解可表为（）。

7、方程组，=A⑺x

（）o

8、若。⑺和“⑺都是的基解矩阵，贝IJ0⑺和〃⑺具有关系：

（）o

9、当方程组的特征根为两个共相虚根时，则当其实部

（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）o

10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当

（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为

（）。当（）时，零解是不稳定的，对应

的奇点称为（）o

11、若。⑺是x'=A⑺X的基解矩阵，则V=A⑺x=/'⑺满足%%）=〃

的解（）o

二、计算题

求下列方程的通解。

—=Ae~ysinx-1

丝=X+丫2

3、求方程dx-y通过Q。）的第三次近似解。

求解下列常系数线性方程。

4、%"+£+%=00

5、X”'一X=d°

试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一

步判断奇点的类型及稳定性：

6、dt

三、证明题。

1、1、设阿）为方程（A为〃x八常数矩阵）的标准基解

矩阵（即。（0）=E）,证明。⑴“乜）="（一%）其中九为某一值。

常微分方程期终考试试卷（5）

一.填空题（30分）

1.='9+如）称为一阶线性方程，它有积分因子）3,

其通解为。

2.函数/（x»）称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如

果。

3.若。⑴为毕卡逼近序列加⑹的极限，则有

4.方程区="'定义在矩形域尺：-2<心2,-2</2上，则经过点

（0,0）的解的存在区间是。

5.函数组e'，e，e”的伏朗斯基行列式为。

6.若七。）（；1，2,为齐线性方程的一个基本解组，x«）为非齐线

性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为。

7.若①⑺是1=A（小的基解矩阵，则向量函数。⑺二是

%=4，）%+/⑺的满足初始条件。&）=。的解；向量函数。⑺二

是X=AQ）x+/Q）的满足初始条件。&）=〃的解。

8.若矩阵A具有〃个线性无关的特征向量匕》，••/“，它们对应的

特征值分别为人办…儿，那么矩阵中⑺=是常系数线性方程

组工=Ax的一个基解矩阵。

9.满足的点（九*/*）,称为驻定方程组。

计算题（60分）

10.求方程4—y2dx+2（/y—1）6=。的通解。

11.求方程公一的通解。

虫……

<dx

12.求初值问题〔y（f=°尺：卜+1归中⑷的解的存在区间，并

求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

13.求方程X'+9x=/sin3t的通解。

14.试求方程组％=人龙+/⑺的解火。

--11Fl2

9(0)=],A=彳3"。)=

dx_t/y_

15.试求线性方程组了=*一'区=、一*的奇点，并判断奇

点的类型及稳定性。

三.证明题（10分）

16.如果。⑺是x=Ax满足初始条件。依）=〃的解，那么

^）=[expA（r-r0）]77

常微分方程期终考试试卷（6）

三.填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1、当时，方程M（）（）0称为恰当方程，或称全

微分方程。

2、称为齐次方程。

dy

dx

3、求（）满足。（%。）=%的解等价于求积分方程的连续解。

4、若函数f（）在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，

则方程M八羽，）的解。（乂％，％）作为羽/，%的函数在它的存

在范围内是。

5、若七⑺①⑺-巧⑺为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无

关的充要条件是。

6、方程组丁=4》的称之为f=A（小的一个基本解组。

7、若阿）是常系数线性方程组y=Ax的基解矩阵，则。

8、满足的点（%*，y*）,称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共辗虚根时，则当其实部时，零解

是稳定

的，对应的奇点称为。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

dyX-y+1

1、求解方程：dx=x+y-+3

2、2、解方程：（221）（2）0

dy_31

3、讨论方程了=5/在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的

条件，并求通过点（0,0）的一切解

4、求解常系数线性方程：x//-2x/+3x=e-jcosz

（12、

苴中A为

5、试求方程组/=Ax的一个基解矩阵，并计算‘八（43）

dx_dy_

6、试讨论方程组加=以，方（1）的奇点类型，其中

为常数，且彳0。

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果。⑺是小满足初始条件/。）=〃的解，那么

常微分方程期终试卷(7)

一、选择题

1.，阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()

个.(A)n(B)n-1(C)n+1(D)〃+2

2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的()

条件.

(A)充分(B)必要(C)充分必要(D)必要非充分

电=、/13有(工1)

3.方程网"v过点(2'，共有()个解.

(A)一(B)无数(C)两(D)三

4.方程£=捱。+”()奇解.

(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个

dy=1~

5.方程瓦—"的奇解是().

(A)》=尤(B)>=1(C)y=T(D)>=°

二、计算题

20

3.(x+2y)dx-xdy=0

电=上+1

4.dxx

—dx+(y3+Inx)dy=0

5・%

三、求下列方程的通解或通积分

y2

Ldz=x(l-y)

ck

dz

dx

dy

一

2dx+3y=e2x

四.证明

x

1.设％(X),y2()是方程

/+p{x）y'+q（x）y=0

的解，且满足%（%。）&（%。）0,HQ。,这里。（幻，式幻在（-0+8）上

连续，%：.试证明：存在常数C使得上⑴为（x）.

2.在方程y"+pa）V+q（x）y=。中，已知?⑴，“⑴在（-0+8）上连

续.求证：该方程的任一非零解在孙平面上不能与x轴相切.

常微分方程期终试卷（8）

一、填空（每空3分）

1、称为一阶线性方程，它有积

分因子，其通解

2、函数”x，y）称为在矩形域R上关于》满足利普希兹条件，如果

3、若不⑺，/⑺,…，与⑺为”阶齐线性方程的〃个解，则它们线性无

关的充要条件

是o

4形如

的方程称为欧拉方程。

5、若①⑺和甲⑺都是x'=A⑺x的基解矩阵，则①⑺和5⑺具有的关

系：o

6、若向量函数g«；y）在域R上,

则方程组2=g（s）’*。’打）=打的解。存在且惟一。

7、当方程组的特征根为两个共辗虚根时，则当其实

部，零解是稳定的，对应的奇点称

为O

二、求下列方程的解

1、(y-3/)dx—(4y—x)dy=o（6分）

2、ydx-xdy=(x2+y2)dx（8分）

3、/(y-i)=(2-y)2（8分）

4、dxx（8分）

5、x''+6x'+5x-e2r（6分）

%"+%=-^―

6、sint（8分）

7、2x-（8分）

三、求方程组的奇点,并判断奇点的类型和稳定性（8分）

常微分期中测试卷(2)

■.解下列方程(10%*8=80%)

1.1.y)/+/

2.2.0

3.3.{(%2+r)}0

4.4.2{x2+y2V+y2}o

dyy

------2

5.dx=6A：y

，(上r

6.y=2x+yT

7.已知f(x)1/⑺试求函数f(x)的一般表达式。

8.一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个

和时间成正比(比例系数为占)的力作用在它上面，此外质

点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比(比例系数为

左2)。试求此质点的速度与时间的关系。

二.证明题(10%*2=20%)

1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法

求得它的通解。

2.试证：在微分方程0中，如果瓜N试同齐次函数，且

]

则由T而是该方程的一个积分因子。

M*+yN)-加,+N+yN)N®+yN)-N(xM,+。+VN)

(xM+yN)*12(xM+yN)2

常

常微分方程期终试卷(9)

一、填空题(每小题5分，本题共30分)

dy._X

1.方程瓦+*血％=6的任一解的最大存在区间必定

是.

2.方程V'+4y=。的基本解组是.

3.向量函数组匕(琉匕(尤)，…，匕⑴在区间I上线性相关的条件是在

区间I上它们的朗斯基行列式卬(幻=。.

4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的

条件.

2〃阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线

性空间.

6.向量函数组耳(立乂⑺，…，匕⑴在其定义区间/上线性相关的

条件是它们的朗斯基行列式W(x)=。，xw/.

、计算题（每小题8分，本题共40分）

求下列方程的通解

8.（/+呼2）也+。2'+'3）①=。

9.ey+y'-x=0

10.求方程y"-5y，=sin5x的通解.

11.求下列方程组的通解.

dx

曳=4x+y

[dt

三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12.设y=%（x）和丁=。2@）是方程y"+4（x）y=。的任意两个解,求证:

它们的朗斯基行列式卬⑴三。，其中c为常数.

13.设9（%）在区间（-8,+8）上连续.试证明方程

dy/、•

—=（p{x）siny

dx

的所有解的存在区间必为（-8,+⑹.

常

常微分方程期终试卷（10）

一、填空（30分）

]/■=g（'）]八斗,士加上工口/■=尸⑴丁？+Q（x）＞+R（x）工八斗采勿上+日

1、dxx称为齐次方程，dx称为黎卡提

方程。

2、如果/（X，V）在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程

瓦存在唯一的解y=0（x）,定义于区间卜—x。区”上，连续且

b

满足初始条件。（%）=%,其中〃=而心,瓦），八煨犷（2）|。

3、若%，⑺。=1,2,……,〃)是齐线性方程的〃个解，以力为其伏

朗斯基行列式，则似，)满足一阶线性方程体⑺+%⑺丽)=0o

MI^T

4、对逼卡逼近序列，血⑴-%⑴区二厂―人二

5、若①⑺和甲⑺都是％=4小的基解矩阵，则①⑺和甲⑺具有关系

呼”①⑺。。

6、方程"(x，y)dx+N(x,y)办=。有只含x的积分因子的充要条件是

dMdN8MdN

dydxdydx

。有只含y的积分因子的充要条件是F—二°c

dy_y*12-1

7、方程瓦经过(。，0)点的解在存在区间是(f+8)。

二、计算(60分)

1、求解方程*办+(丁+%'4)公=。。

解：所给微分方程可写成

(xdy+ydx)+x2y4dx=0

即有d(xy)+x2y4dx=0

d（xy）

H——dx=0

上式两边同除以(孙)4,得（孙）4

1____j_

由此可得方程的通解为3（孙）3X

即l+3x2y3=c%3j3

2、求解方程照

解：所给方程是关于y可解的，两边对X求导，有

2=(2〃+602)半

dx

(1)当。=。时，由所给微分方程得＞=。；

(2)当dx=(2+6p)即时,得x=2p+3P2+c。

因此，所给微分方程的通解为

3

x=2p+3p-+cfy=p-+2p(P为参数)

而，=。是奇解。

3、求解方程x"-4x+4x=d+1

解：特征方程下-44+4=0,4,2=2,

故有基本解组e”，商、

对于方程X-4x+4x=e\因为4=1不是特征根，故有形如

无⑺=Ad的特解，

2,A=一

将其代入X,-4x+4x=e*得2Ae2，=e,解之得2,

对于方程％-4x+4x=l,因为2=0不是特征根，故有形如

弓⑺=人的特解，

A.1

将其代入％-4X+4X=1,得一4,所以原方程的通解为

x(z)—(Cj+02%)+~+]

4、试求方程组％=Ax的一个基解矩阵，并计算exp4,其中

A=Pq

l-l2j

解：p(/l)=det(M-A)=0,,%=-6,均为单根，

设4对应的特征向量为匕，则由0E-A)%=。，得

(7、

1。+V5)%,aw0

[1][1、

取[12+同，同理可得4对应的特征向量为”12一同，

则乌《)=1%,均为方程组的解,令①”)=(例⑺必⑺)，

w(0)=det①(0)=r—I—=—y/3工0

又2+V32-V3,

fe四e心)

所以①⑺即为所求基解矩阵I。+后产(2-6)产I

_Z-Y-V-5

5、求解方程组〔以•的奇点，并判断奇点的类型及

稳定性。

x+y+1=0fx-2

解：令h-y-5=0,得ty=-3,即奇点为(2,-3)

—=X+Y

dt

‘X=x-2dY

令W—+3,代入原方程组得——=X-Y

112-1-1

=-2^0=K2-2=0

因为1-1，又由-12+1

解得4=痣，4=-行为两个相异的实根,

所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。

◎…丫2

6、求方程公，经过（0,0）的第二次近似解。

解：仰(尤)=0,

%(x)=0+jf(x,Q)dx=—x1

o2,

0?（九）=°+j/（九，51一）dx=-%-+/

三、证明（10分）

假设机不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组

x=Ax+ceM

有一解形如

西）=P*

其中c，。是常数向量。

证：设方程有形如g）=P*的解，贝UP是可以确定出来的。

事实上，将P*代入方程得7即尸=Ap*+c*,

因为e"—O,所以〃zp=Ape+c,

（jnE—A）P=c（］）

又相不是矩阵A的特征值，det（m£-A）^O

所以（加E-4广存在，于是由（1）得p=（加E-存在。

故方程有一解浓）=（mE—人尸ce”=peM

常微分方程期终试卷（11）

一.填空

1.称为一阶线性方程，官有积分因

子--------------------，其通解

为。_

2.称为黎卡提方程，

若它有一个特解y(x),则经过变

换，可化为伯努利方程。

3.若9(x)为毕卡逼近序列如⑴｝。的极限，则有M(x)一。“⑴R

4.若不⑺(1,2,-)是齐线形方程的n个解，w(t)为其伏朗斯

基行列式，则w(t)满足一阶线性方

程--------------------。

5.若七⑺(1,2,-)是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非

齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表

为O

6.如果A(t)是nXn矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在ww匕

满足

时，方程组x'=A(t)f(t)满足初始条件x(to)=〃的解在ww

上存在唯一。

7.若。(t)和夕(t)都是x'=A(t)x的基解矩阵，则。(t)

与“(t)具有关系：

8.若。(t)是常系数线性方程组才=心的基解矩阵，则该方程

满足初始条件-优)=〃的解少⑺

9.满足的点('*/*),称为方程组的奇点。

10.当方程组的特征根为两个共甄虚根时，则当其实部

时，零解是稳定的，对应的奇点称为。

二.计算题(60分)

1.ydx-(x+y3)4dy=0

(雪-4孙女+8y2=0

2.dxdx

—=x+y*12

3.求方程公经过(0,0)的第三次近似解

4.xff+x=sinr-cos2?

21彷

A=。⑺,。（。）=77=

5.若「I4」试求方程组x'=Ax的解，2_1并求

dx.dy_

———JC-v+1——=%—v—3

6.求应'出的奇点，并判断奇点的类型及稳

定性.

三.证明题（10分）

设/（%,、）及ay连续,试证方程（）0为线性方程的充要条件是它有

仅依赖与X的积分因子.

常微分方程期终测试卷（12）

一、填空题（30%）

1.若［（x）,2（x）是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则

用这两个解可把其通解表示为.

2.方程也，满足解的存在唯一性定理条件的区域

是.

3.45份连续是保证方程祟="5初值唯一的

条件.

一条积分曲线.

dY-A（x）Y

4.线性齐次微分方程组a一㈠的一个基本解组的个数

不能多于

个，其中xwR,YeR.

5.二阶线性齐次微分方程的两个解尸?⑴，尸外。）成为其

基本解组的充要条件是.

dy=.

6.方程后—即"8"满足解的存在唯一性定理条件的区域

是.

dy_2.

、———xtany,.、一、吐,力口

7.万程dx•的所f有常数解是.

8.方程xsinydx+ycosxdy=0所有常数解是.

9.线性齐次微分方程组的解组耳（。、（。…,匕（］）为基本解组

的条件是它们的朗斯基行列式Mx）。。.

10.〃阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为

个.

二、计算题（40%）

求下列方程的通解或通积分：

^=2+tanZ

1.drxx

电cosy-cos%sin?y=siny

2.dx7

3.(2xy-cosx)dx+(x2-l)dy=0

4.

dx

L+y

—=-2x+3y

5.d

三、证明题（30%）

1.试证明：对任意X。及满足条件°<%<1的％,方程

dyy（y-i）

dx1+%?+y?

的满足条件丁（尤。）=%的解尸丁⑴在（-8,+8）上存在.

2.设了⑴在［。，+8）上连续，且J型/⑴=°,求证：方程

$=f（x）的任意解y=小）均有场小）=0.

3.设方程比一八"中，/（y）在（-8,+8）上连续可微，且

外（y）<0,（"0）.求证：该方程的任一满足初值条件y（x°）=y。的

解y（x）必在区间K，+到上存在.

常微分方程期终试卷(13)

一、填空题(30分)

1、方程M()()0有只含x的积分因子的充要条件是

电-如=N°(x)

(②泳)，有只含y的积分因子的充要条件是

“，、

-d-M-----d-N-=-M(p(y)

(办私)o

X

©ff(x,y)dx

2、求dx()满足。(龙。)=，。的解等价于求积分方程(。士)。

3、方程公,定义在矩形域2口＜2,-24”2上，则经过点

(0,0)的即位存在区间是(厂—4)。

4、若X，(t)(1,2…)是齐线性方程的n个解，W(t)为伏朗斯基

行列式，则W(t)满足一阶线性方程(M(t)Mt)W(t)=0)。

5、若X1(t),X2(t)…"(t)为n阶齐线性方程的n个解,则

它们线性无关的充要条件是(W[X।(t),X2(t)

•••n(t)]。0)。

6、在用皮卡逐步逼近法求方程组X，(t)(x)(t。)虫的近似解

t

(S)+

(Pk«)=(〃+_[f(s)]ds

时，贝I]Q)o

7、当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部(为零)

时，零解是稳定的，对应的奇点称为(稳定中心)。

8、满足(X()=0()=0)的点(X*，),称为方程组的奇点。

9、若阿和〃⑺都是X,(t)X的基解矩阵，则。⑺和〃⑺具有关

系：(甲⑺=。⑺C(C为非奇异矩阵))。

„dny“"y

10、形如(dxn!dx--1…+%y=。)的方程称为欧拉方程。

二、计算题

求下列方程的通解（1—2）

3

y++（f+y^^dy—0

dM1

=2x+x+y\^-=2x

解：因为②dx

dMdN

-----------=NA7

又因为力出

所以方程有积分因子：u(x)二e，

方程两边同乘以"得：

2—^dx+cx(^x+y^dy—0

(2xy^xy+37v)一

3

尸—………

exx2y+,ex—y=c

也即方程的解为3.

33

2x+y-3^=o(y=^)

—=y'=p=tx

解：令，公)”,贝IJ

_3t

^+t24a=6gpx-i+?

3t2

P=tx=7

从而1+r

/3t3t2

(——(——可)出+c

又"1+r1+r

31+4-

--------+c

=2（1+?）2

故原方程的通解为

3t

%二l+t3T

31+4-

y=-------------r-r+c

2(1+户产

t为参数

—=x+y2

3、求方程办经过（0,0）的第三次近似解

解:①o=%=°

2

不「7%

①1a

o2

x4x2x

220

X410

XXX

①3=

440020

0

x1x5P?

一+一++

=2204400160

求爷-2年-3%=2/+1

4、的通解

d2xdx

—z—2-----3%=0

解：