全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）2

全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合人=仅收2-*-2<0},B={x-1<X<1},则（）

A.AWBB.BCAC.A=BD.AAB=0

2.（5分）复数z=£±的共辗复数是（）

2+i

A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i

3.（5分）在一组样本数据（xi,yi）,（X2,丫2）,…，（xn,yn）（nN2,Xi,X2,…,

Xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（Xi,yi）（i=l,2,n）都在直线

y=lx+l±,则这组样本数据的样本相关系数为（）

2

A.-1B.0C.1D.1

2

22

4.（5分）设Fi、F2是椭圆E：与+J=1（a>b>0）的左、右焦点，P为直线

2,2

ab

x=包上一点，AFaPFi是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为（）

2

A.1B.2C..5.D..1

2345

5.（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1,1）,B（1,3）,顶点C在第一象限,

若点（x,y）在aABC内部，则z=-x+y的取值范围是（）

A.（1-V3-2）B.（0,2）C.（V3-1-2）D.（0,1+5）

6.（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（NN2）和实数ai,a2,

an,输出A,B,则()

A.A+B为ai,a2,an的和

B.A也为ai,a2,…，an的算术平均数

2

C.A和B分别是ai,a2,…，an中最大的数和最小的数

D.A和B分别是ai,a2,…，an中最小的数和最大的数

7.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视

图，则此几何体的体积为（）

A.6B.9C.12D.18

8.（5分）平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离为血,

则此球的体积为（）

A.遍兀B.4遂冗C.4加兀D.6«兀

9.（5分）已知3>0,0<4）<n,直线x=2■和x=$ZL是函数f（x）=sin（3x+。）

44

图象的两条相邻的对称轴，则6=（）

7TC.—口•平

~32

10.（5分）等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的

准线交于点A和点B,|AB|=4、后则c的实轴长为（）

A.V2B.272C.4D.8

11.（5分）当0<xW!时，4x<logx,则a的取值范围是（）

9a

（返）（返，）

A.0,B.1C.（1,V2）D.（加,2）

22

12.（5分）数歹！］由｝满足an+i+（-1）1n=2n-1,则｛aj的前60项和为（）

A.3690B.3660C.1845D.1830

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.（5分）曲线y=x（3lnx+l）在点（1,1）处的切线方程为.

14.（5分）等比数列心力的前n项和为Sn，若S3+3S2=0,则公比q=.

15.（5分）已知向量£石夹角为45。,且臼=i,I2W-EIWI?则尼|=

16.（5分）设函数f（x）=G+1）：+sinx的最大值为乂，最小值为m,则

x2+1

M+m=_______

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（12分）已知a,b,c分别为^ABC三个内角A,B,（:的对边，c=«asinC

-ccosA.

（1）求A；

（2）若a=2,4ABC的面积为近，求b,c.

18.（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每

枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（I）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需

求量n（单位：枝，n©N）的函数解析式.

（口）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

日需求量n14151617181920

频数10201616151310

（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位:

元）的平均数；

（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求

量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

19.（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，ZACB=90°,

AC=BC=lAAnD是棱AAi的中点.

2

（I）证明：平面BDCi，平面BDC

（H）平面BDCi分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

20.(12分)设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为I,ARC,已知以

F为圆心，FA为半径的圆F交I于B,D两点；

(1)若NBFD=90。，^ABD的面积为班，求p的值及圆F的方程；

(2)若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个

公共点，求坐标原点到m,n距离的比值.

21.(12分)设函数f(x)=ex-ax-2.

(工)求f(x)的单调区间；

(II)若a=l,k为整数，且当x>0时，(x-k)fz(x)+x+l>0,求k的最大值.

22.(10分)如图，D,E分另U为^ABC边AB,AC的中点，直线DE交^ABC的

外接圆于F,G两点，若CF〃AB,证明：

(1)CD=BC；

(2)ABCD^AGBD.

23.选修4-4；坐标系与参数方程

已知曲线Ci的参数方程是1x=2cos®(巾为参数)，以坐标原点为极点，x轴的

ly=3sin0

正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是p=2,正方形ABCD的顶

点都在C2上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,2L).

3

(1)求点A,B,C,D的直角坐标；

(2)设P为J上任意一点，求|PA|2+|PB|2+1PC|2+|PD|2的取值范围.

24.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2

①当a=-3时，求不等式f(x)三3的解集；

②f(x)W|x-4］若的解集包含［1,2］,求a的取值范围.

全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合人=仅仅27-2<0},B={x|-l<x<l},则（）

A.A£BB.BCAC.A=BD.AAB=0

【考点】18：集合的包含关系判断及应用.

【专题】5J：集合.

【分析】先求出集合A,然后根据集合之间的关系可判断

【解答】解：由题意可得，A={x1-l<x<2},

VB={x|-1<X<1},

在集合B中的元素都属于集合A,但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例

如x=2

2

BSA.

故选：B.

【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题.

2.（5分）复数z=£±的共辗复数是（）

2+i

A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i

【考点】Al：虚数单位i、复数；A5：复数的运算.

【专题】11：计算题.

【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共辗复数，把复数化为a+bi的形式,

然后求法共辗复数即可.

【解答】解：复数z=H±L=（-3+i）（2-i）=-5+5i=_i+i.

2+i（2+i）（2-i）5

所以复数的共辗复数为：-17.

故选：D.

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力.

3.（5分）在一组样本数据（X1，yi）,（X2，丫2），…，（Xn，yn）（nN2,Xi，X2，

Xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（Xi,y）（i=l,2,…，n）都在直线

y=lx+l±,则这组样本数据的样本相关系数为（）

2

A.-1B.0C.1D.1

2

【考点】BS：相关系数.

【专题】29：规律型.

【分析】所有样本点（xi,y）（i=l,2,n）都在直线y=lx+l上，故这组样

2

本数据完全正相关，故其相关系数为L

【解答】解：由题设知，所有样本点（xi,y）（i=l,2,n）都在直线y=Lx+l

2

上，

•••这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1,

故选：D.

【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题.

22

4.（5分）设Fi、F2是椭圆E：工+匚=1（a>b>0）的左、右焦点，P为直线

2,2

ab

x=包上一点，aFaPFi是底角为30。的等腰三角形，则E的离心率为（）

2

A.1B.2C.WD..1

2345

【考点】K4：椭圆的性质.

【专题】11：计算题.

【分析】利用△F2PF1是底角为30。的等腰三角形，可得|PF21=|F2FI|,根据P为

直线x=至上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率.

2

【解答】解：•.•△F2PF1是底角为30。的等腰三角形，

PF2=1F2F1

为直线X=Z_上一点

2

.3

**2(-a-c)=2c

,・•p—__—c=—3

a4

故选：C.

【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于

基础题.

5.(5分)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,

若点(x,y)在^ABC内部，则z=-x+y的取值范围是()

A.(1-V3-2)B.(0,2)C.(近-1,2)D.(0,1+73)

【考点】7C：简单线性规划.

【专题】11：计算题.

【分析】由A,B及AABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各

顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围

【解答】解：设C(a,b),(a>0,b>0)

由A(1,1),B(1,3),及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2

即(a-1)2+(b-1)2=(a-1)2+(b-3)2=4

，b=2,a=l+立即C(1+“，2)

则此时直线AB的方程x=l,AC的方程为y-1=1(x-1),

_3

直线BC的方程为y-3二-1(x-1)

3

当直线x-y+z=O经过点A(l,工)时，z=0,经过点B(l,3)z=2,经过点C(l+«,

2)时，z=l-遮

zmax-2,

故选：A.

【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想.属于基本

题型.

6.（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（NN2）和实数ai,a2,

an,输出A,B,则（)

A.A+B为ai,a2,an的和

B.A也为ai,a2,…，an的算术平均数

2

C.A和B分别是ai,a2,…，an中最大的数和最小的数

D.A和B分别是ai,a2,…，an中最小的数和最大的数

【考点】E7：循环结构.

【专题】5K：算法和程序框图.

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知:

该程序的作用是求出ai,a2,…，an中最大的数和最小的数.

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，

可知，该程序的作用是：求出ai,a2,…，an中最大的数和最小的数

其中A为ai，a2，…，an中最大的数，B为a］，a?,…，an中最小的数

故选：C.

【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分

析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题.

粗线画出的是某几何体的三视

D.18

【考点】L!：由二视图求面积、体积.

【专题】11：计算题.

【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即

可.

【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；

底面三角形斜边长为6,高为3的等腰直角三角形，

此几何体的体积为V=1X-X6X3X3=9.

32

故选：B.

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算

能力.

8.（5分）平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离为加,

则此球的体积为（）

A.加TiB.4y/jnC.4y/^nD.65田

【考点】LG：球的体积和表面积.

【专题】11：计算题.

【分析】利用平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离

为加，求出球的半径，然后求解球的体积.

【解答】解：因为平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的

距离为亚，

所以球的半径为：4（加）2+1=5.

所以球的体积为：巧）3=4«H.

3

故选：B.

【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力.

9.（5分）已知3>0,直线x='_和x=$2L是函数f（x）=sin（3x+。）

44

图象的两条相邻的对称轴，则6=（）

AB.—c.—D.22L

-T324

【考点】HK：由y=Asin（wx+4））的部分图象确定其解析式.

【专题】11：计算题.

【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及巾的范围，确定”

的值即可.

【解答】解：因为直线x=2L和是函数f（x）=sin（3X+0）图象的两条相

44

邻的对称轴，

所以T=2X（卫工）=2几所以3=1,并且sin（匹+力）与sin（旦L+6）分别

[44，44

是最大值与最小值，0（巾<71,

所以6=工.

4

故选：A.

【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算

能力.

10.(5分)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的

准线交于点A和点B,|AB|=4«,则C的实轴长为()

A.A/2B.2-\/2C.4D.8

【考点】KI：圆锥曲线的综合.

【专题】11：计算题；16：压轴题.

【分析】设等轴双曲线C：x2-y2=a2(a>0),y2=16x的准线I：x=-4,由C与抛

物线y2=i6x的准线交于A,B两点，|AB|=4后，能求出C的实轴长.

【解答】解：设等轴双曲线C：x2-y2=a2(a>0),

y2=16x的准线I：x=-4,

与抛物线y2=16x的准线I：x=-4交于A,B两点，|AB|=4代

.'A(-4,273),B(-4,-2心，

将A点坐标代入双曲线方程得a2=(_4)2_屹/)2=4,

a=2,2a=4・

故选：c.

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖

掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化.

11.(5分)当0<xWL时，4x<logaX,则a的取值范围是()

2

A.(0,返)B.(返，1)C.(1,V2)D.(&,2)

22

【考点】7J：指、对数不等式的解法.

【专题】11：计算题；16：压轴题.

【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成

立问题加以解决即可

【解答】解：•.•OVxW工时，1<4X^2

2

x

要使4<logax,由对数函数的性质可得OVa<l,

数形结合可知只需2<l0gaX,

、10ga10gaX

即O<1对0<xW工时恒成立

a2>x2

’0<a<l

解得返<a<1

2

故选：B.

【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题

的一般解法，属基础题

12.（5分）数列&｝满足am+（-1）a=2n-1,则｛a#的前60项和为（）

A.3690B.3660C.1845D.1830

【考点】8E：数列的求和.

【专题】54：等差数列与等比数列.

【分析】由题意可得a2-ai=l,33+32=3,a4-as=5,a5+a4=7,-a5=9,

a7+a6=ll,...a5o-a49=97,变形可得

a3+ai=2,34+32=8,37+35=2,as+a6=24,39+37=2,ai2+aio=4O,ai3+an=2,ai6+ai4=56,...

利用

数列的结构特征，求出｛an｝的前60项和.

【解答】解：由于数歹U⑸｝满足an+i+(-1)口an=2n-1,故有32-ai=l,a3+a2=3,

a4-33=5,

85+34=7,36-35=9,37+36=11?...350-349=97.

+

从而可得as+ai=2,a4+a2=8,a7a5=2,a8+a6=24,an+ag=2,ai2+aio=4O,ai5+ai3=2,

316+314=56,...

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2,

从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等

差数列.

｛an｝的前60项和为15X2+(15X8+.15X1^X16)=1830,

2

故选：D.

【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的

结构特征，属于中档题.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.(5分)曲线y=x(3lnx+l)在点(1,1)处的切线方程为y=4x-3.

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】11：计算题.

【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程.

【解答】解：求导函数，可得y，=3lnx+4,

当x=l时，y-4,

曲线y=x(3lnx+l)在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.

故答案为:y=4x-3.

【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题.

14.(5分)等比数列｛aj的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比a=-2.

【考点】89：等比数列的前n项和.

【专题】11：计算题.

【分析】由题意可得，qWl,由S3+3S2=0,代入等比数列的求和公式可求q

【解答】解：由题意可得，qWl

VS3+3S2=0

.a1(1-Q3)3a((1-q2)

••—l---q--+—l---q---=。

.*.q3+3q2-4=0

(q-1)(q+2)2=0

Vq^l

，q=-2

故答案为：-2

【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否

为1

15.(5分)已知向量石夹角为45。,且臼=i,|21-b|=V10-^lbl=^V2_.

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹

角.

【专题】11：计算题；16：压轴题.

【分析】由已知可得，a-b=lallblcos45°=与向，代入

2之-bl刃£工)2刃二2-八立+铲斗4-2&|E万钎=疝可求

【解答】解：：＜彳，石＞=45°，团=1

a*b=IaIIbIcos45°=^-1b|

；・2a司=7(2a-b)2=V4a2-4a'b+b2=74-2V2lb|+|b|2=^

解得历

故答案为：3^/2

【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质1|=/

是求解向量的模常用的方法

16.(5分)设函数f(x)=G+1)，+sinx的最大值为最小值为m)则M+m=

x2+1

2.

【考点】3N：奇偶性与单调性的综合.

【专题】15：综合题；16：压轴题.

［分析］函数可化为f(x)=&+1)f+sinx=］+2x+sinx,令g&)=2x+sinx,则

x2+lx2+lx2+l

g(x)=2x+”nx为奇函数,从而函数g(x)=2x+”nx的最大值与最小值的和为

x2+lx2+l

0,由此可得函数f(x)=G+1)，+sinx的最大值与最小值的和.

x2+1

【解答】解：函数可化为f(x)=(x+l)2+sinx2x+sinx,

2

x2+1x+l

令g(x)=2x+”nx,则g6)=2x+”nx为奇函数,

x2+lx2+l

...g&)=2x+jinx的最大值与最小值的和为o.

x2+l

...函数f(x)=G+1)2+sinx的最大值与最小值的和为l+l+0=2.

x2+1

即M+m=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，

转化为利用函数的奇偶性解题.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(12分)已知a,b,c分别为^ABC三个内角A,B,(:的对边，c=«asinC

-ccosA.

（1）求A；

（2）若a=2,△ABC的面积为加，求b,c.

【考点】HU：解三角形.

【专题】11：计算题.

【分析】（1）由正弦定理有：V3sinAsinC-sinCcosA-sinC=0,可以求出A；

（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c.

【解答】解：（1）c=J5asinC-ccosA,由正弦定理有：

«sinAsinC-sinCcosA-sinC=0,即sinC・（“sinA-cosA-1）=0,

又，sinCWO,

所以«sinA-cosA-1=0,即2sin（A-2L）=1,

6

所以A二三；

3

（2）SAABC=—bcsinA=V3^所以bc=4,

2

a=2,由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,即4=b?+c2-be,

'bc=4

即有

.b.c2-bc=4

解得b=c=2.

【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式

的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础,

解题的关键是熟练掌握基本公式

18.（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每

枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（I）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需

求量n（单位：枝，n©N）的函数解析式.

（口）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

日需求量n14151617181920

频数10201616151310

（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位:

元）的平均数；

（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求

量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS：

概率的应用.

【专题】15：综合题；51：概率与统计.

【分析】（工）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建

立分段函数；

（口）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到

结论；

（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的

利润不少于75元的概率.

【解答】解：（工）当日需求量n217时，利润y=85；当日需求量n<17时，利

润y=10n-85；（4分）

・・利润关于当天需求量的函数解析式cln<17（）（分）

♦yn741.8+n@N*6

[85,n>17

（口）（i）这100天的日利润的平均数为55X10+65*20+75X16+85X54元;

100

（9分）

（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润

不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.（12分）

【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实

际问题，属于中档题.

19.（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，ZACB=90°,

AC=BC=1AAI,D是棱AAi的中点.

2

（I）证明：平面BDCi，平面BDC

（H）平面BDCi分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面

垂直.

【专题】11：计算题；14：证明题.

【分析】（I）由题意易证DCi，平面BDC,再由面面垂直的判定定理即可证得

平面BDCi，平面BDC；

（口）设棱锥B-DACJ的体积为Vi,AC=1,易求Vi=Lx上电X[X1=L,三棱

322

柱ABC-AiBiCi的体积V=l,于是可得（V-Vi）：Vi=l：1,从而可得答案.

【解答】证明：（]）由题意知BCLCJ,BC±AC,CCinAC=C,

BC,平面ACCiAi,又DJu平面ACCiAi,

ADCiXBC.

由题设知NAiDJ=NADC=45°,

AZCDCi=90",即DC」DC,又DCABC=C,

，DC」平面BDC,又DJu平面BDCi,

，平面BDC」平面BDC；

（2）设棱锥B-DACCi的体积为Vi,AC=1,由题意得Vi=LxU2x[X1=J_,

322

又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=l,

（V-Vi）：Vi=l：1,

平面BDCi分此棱柱两部分体积的比为1：1.

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用

与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题.

20.(12分)设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为I,A©C,已知以

F为圆心，FA为半径的圆F交I于B,D两点；

(1)若NBFD=90。，^ABD的面积为班，求p的值及圆F的方程；

(2)若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个

公共点，求坐标原点到m,n距离的比值.

【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合.

【专题】15：综合题；16：压轴题.

【分析】(1)由对称性知：4BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p点A到准线I的

距离d=|FA|=|FB|=V2P，由△ABD的面积SAABD=472，知

■^-XBDXd=v><2pXV2P=4V2;由此能求出圆F的方程•

则点关于点对称得:

(2)由对称性设A(X0.F(O,1A,BF

22

B(-x0，P于与=^-笠*=哈0*女=3「2，得：A(V5P，等A由此能求出坐标

乙卜*乙卜^乙乙

原点到m,n距离的比值.

【解答】解：(1)由对称性知：4BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p

点A到准线I的距离d=|FA|=|FB|=V^p,

*/AABD的面积SAABD=啦,

AyXBDXd=yX2PX近忻也

解得p=2,所以F坐标为(0,1),

二圆F的方程为x2+(v-1)2=8.

2

Xo

>oX贝n.F✓op

Xo-JJX(-

XO2p2

,:A,B,F三点在同一直线m上，

又AB为圆F的直径，故A,B关于点F对称.

由点A,B关于点F对称得：B(-X0,P上与=p-U"=-^Ox：=3p2

乙P乙P乙

3P,p

得:A(V5P，等)，直线m：y=x玲=x^>/5y]*P=0，

x2=2p六尸亚/=三=坐=*芈p=>切点P与，为

dppJJJb

直线n：y*=^"(x-^!^)=x-«y-^p=O

bJJb

坐标原点到m,n距离的比值为®.®=3.

【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简

单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理

地进行等价转化.

21.(12分)设函数f(x)=ex-ax-2.

(工)求f(x)的单调区间；

(口)若a=l,k为整数，且当x>0时，(x-k)fz(x)+x+l>0,求k的最大值.

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值.

【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想.

【分析】(I)求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母

a,故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；

(II)由题设条件结合(I),将不等式，(x-k)f(x)+x+l>0在x>0时成立

转化为k<®-+x(x>0)成立，由此问题转化为求g(x)=M_+x在x>0

ex-1ex-1

上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；

【解答】解：(I)函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f(x)=ex-a,

若aWO,则f(x)=ex-a20,所以函数f(x)=ex-ax-2在(-8,+8)上

单调递增.

若a>0,则当x£(-°°,Ina)时，「(x)=ex-a<0；

当x£(Ina,+8)时，f，(x)=ex-a>0；

所以，f(x)在(-8,|na)单调递减，在(Ina,+°°)上单调递增.

(II)由于a=l,所以，(x-k)「(x)+x+l=(x-k)(ex-1)+x+l

故当x>0时，(x-k)「(x)+x+l>0等价于k<"I+工(x>0)①

ex-1

令g(X)4-+x，则g，(x)=reX-1eX—xj)

eX-l(ex-l)(ex-l)

由(I)知，当a=1时，函数h(x)=ex-x-2在(0,+°°)上单调递增，

而h(1)<0,h(2)>0,

所以h(x)=ex-x-2在(0,+8)上存在唯一的零点，

故g(x)在(0,+8)上存在唯一的零点，设此零点为a,则有ae(1,2)

当xG(0,a)时，g'(x)<0；当xG(a,+°°)时，g'(x)>0；

所以g(x)在(0,+8)上的最小值为g(a).

又由g'(a)=0,可得ea=a+2所以g(a)=a+l£(2,3)

由于①式等价于k<g(a),故整数k的最大值为2.

【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的

关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最

小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理

判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出

错.

22.(10分)如图，D,E分另U为^ABC边AB,AC的中点，直线DE交^ABC的

外接圆于F,G两点，若CF〃AB,证明：

(1)CD=BC；

(2)ABCD^AGBD.

【考点】N4：相似三角形的判定.

【专题】14：证明题.

【分析】(1)根据D,E分别为^ABC边AB,AC的中点，可得DE〃BC,证明四

边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；

(2)证明两组对应角相等，即可证得4BCD〜aCBD.

【解答】证明：(1)VD,E分别为^ABC边AB,AC的中点

：.DF//BC,AD=DB

：AB〃CF,...四边形BDFC是平行四边形

.♦.CF〃BD,CF=BD

，CF〃AD,CF=AD

...四边形ADCF是平行四边形

.\AF=CD

,•*BC=AF»•*.BC=AF,.\CD=BC.

（2）由（1）知祕二益，所以前汞.

所以NBGD=NDBC.

因为GF〃BC,所以NBD